高中數(shù)學(xué)弧度概念教學(xué)再探究

徐遠(yuǎn)志

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念的教學(xué)具有基礎(chǔ)性，這種基礎(chǔ)性不應(yīng)當(dāng)因?yàn)槠渲皇腔A(chǔ)而忽視教學(xué)過(guò)程，而應(yīng)當(dāng)從學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的角度，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí). 尤其是對(duì)于像弧度這樣的概念教學(xué)而言，要促進(jìn)學(xué)生對(duì)引入概念必要性與合理的理解，通過(guò)比較與運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用概念的直覺. 調(diào)查表明，學(xué)生對(duì)弧度概念的學(xué)習(xí)存在著認(rèn)識(shí)上的不足，這種不足又由于教師忽視必要過(guò)程引起的. 充實(shí)、完善、精設(shè)概念教學(xué)的情境，對(duì)于提高包括弧度在內(nèi)的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，具有極為重要的意義.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；弧度；探究

從知識(shí)邏輯的角度來(lái)看，概念是規(guī)律建立的基礎(chǔ). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，大部分概念都是建立在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上的，也正因?yàn)榫拍炅x務(wù)教育的積累，學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中才能熟練地利用各個(gè)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行新的數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建. 但其中也存在一些特殊的概念，這些概念與原來(lái)所學(xué)的概念看似有聯(lián)系，但學(xué)生往往又尋找不到這種聯(lián)系. 對(duì)于這樣的概念而言，如果在教學(xué)中不給予高度重視，那學(xué)生在理解這些概念的時(shí)候很可能就是煮夾生飯，其對(duì)于這一概念的理解而言自然沒有好處，對(duì)于建立在這些概念之上的其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與理解，也會(huì)存在長(zhǎng)時(shí)間的隱性障礙. 因此，對(duì)于這些概念，在實(shí)際教學(xué)中必須高度重視，要引導(dǎo)學(xué)生知其然也知其所以然. 筆者以為，弧度就是這樣的一個(gè)概念.

弧度學(xué)習(xí)的真實(shí)情況掃描

弧度這一概念的學(xué)習(xí)情形到底怎樣？這個(gè)問題的回答憑教師猜想是不太可靠的，最可靠的答案應(yīng)當(dāng)在學(xué)生那里.

根據(jù)筆者近三年來(lái)對(duì)正在教的學(xué)生，與已經(jīng)畢業(yè)后的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)，其實(shí)相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)為什么要引入弧度表現(xiàn)出很大的困惑. 具體來(lái)說(shuō)有三種情況：一是部分學(xué)生想不通為什么要引入弧度，在他們看來(lái)，用角度來(lái)表示角是最自然、最簡(jiǎn)潔的方法，舍易而取難是沒有道理的. 用他們中部分學(xué)生的話來(lái)說(shuō)，總不能因?yàn)橐獙W(xué)三角函數(shù)所以才要學(xué)弧度吧. 二是部分學(xué)生認(rèn)為弧度制與角度制完全是兩回事，用角度來(lái)表示角，很形象，是用有理數(shù)來(lái)表示，而用弧度來(lái)表示角的時(shí)候，就有了圓周率π，這是一個(gè)無(wú)理數(shù)，角度怎么會(huì)與它有關(guān)系呢？三是一部分學(xué)生（主要是畢業(yè)后的學(xué)生，部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)還有一定的印象）認(rèn)為弧度制在學(xué)習(xí)一段時(shí)間之后，感覺其確實(shí)有角度制所無(wú)法替代的地方，但在新學(xué)的時(shí)候確實(shí)感覺到突兀，很長(zhǎng)時(shí)間里都是一個(gè)陰影.

根據(jù)學(xué)生的這些反映，筆者以為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于弧度這一概念，不能簡(jiǎn)單地照搬教材上的安排，而應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從弧度制引入的必要性角度來(lái)認(rèn)識(shí)其重要性，這樣才能在弧度這一概念的起始教學(xué)中不至于埋下太多的“隱患”.

為什么在數(shù)學(xué)中要引入弧度

為什么要引入弧度？這個(gè)問題對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)可能不是一個(gè)問題，一部分教師會(huì)認(rèn)為教材中既然有這樣的安排（筆者所使用的蘇教版數(shù)學(xué)必修四中，弧度概念出現(xiàn)在第一章“三角函數(shù)”的第一節(jié)），自然是要教的；也有一部分教師認(rèn)為，學(xué)生應(yīng)該會(huì)自然地理解教師所教的弧度，不需要給出特別的注意.事實(shí)是不是這樣呢？

根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)概念對(duì)于學(xué)生而言的真正的基礎(chǔ)性作用的理解，在于學(xué)生能夠在不對(duì)概念本身有任何懷疑的情況下，理解概念本身，并在概念的基礎(chǔ)上去建立新的數(shù)學(xué)知識(shí). 譬如弧度，蘇教版教材中是怎么安排的呢？是給出一段說(shuō)明（具體略），然后問出一個(gè)問題：720°角是怎樣的一個(gè)角？接著介紹“任意角”，并給出正、負(fù)角和零角的定義，經(jīng)由對(duì)任意角的一課時(shí)左右的學(xué)習(xí)之后，才給出“弧度制”的概念，其引入是借助于角度制與弧度制的簡(jiǎn)單比較來(lái)進(jìn)行的，定義1弧度為“長(zhǎng)度等于半徑的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角”，定義弧度制為“用弧度作為角的單位來(lái)度量角的單位制”. 這樣的安排，體現(xiàn)了教材編寫者基于角度制建立弧度的意圖，但從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的角度來(lái)看，仍然顯得比較簡(jiǎn)單.

翻開相關(guān)資料可以發(fā)現(xiàn)，弧度制在數(shù)學(xué)史上的引入比較復(fù)雜，而引入這段數(shù)學(xué)史對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)可能也有著重要的意義. 數(shù)學(xué)史上，弧度制顯然是在如何描述角的問題驅(qū)動(dòng)之下形成的. 描述角的方法其實(shí)很多，角度制與弧度制只是其中的兩種，兩者之間“360度=2π弧度”的關(guān)系，奠定了學(xué)生由已知到未知的基礎(chǔ). 事實(shí)上，弧度制的引入更多的是服務(wù)于弧形的計(jì)算，從弧形的周長(zhǎng)，到弧形的面積，用弧度制來(lái)計(jì)算都是極為簡(jiǎn)潔的，如圓弧長(zhǎng)度s就可以表示為rθ.要知道，“簡(jiǎn)潔”是數(shù)學(xué)最為基本的特征，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要推動(dòng)力，在教學(xué)中如果注重這個(gè)因素，那學(xué)生的思維障礙往往可以迎刃而解. （此外，從三角函數(shù)求導(dǎo)的角度建立弧度制的必要性也很重要，只是其對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無(wú)法產(chǎn)生直接作用，故此不贅述.）

高中數(shù)學(xué)教學(xué)弧度有效教學(xué)

那么，到具體的教學(xué)實(shí)際中，如何有效地實(shí)施弧度概念的教學(xué)呢？或者說(shuō)，怎樣的教學(xué)策略才是有效的呢？幾經(jīng)探索，筆者形成如下觀點(diǎn)：

其一，提供弧度制的建立必要性，打破學(xué)生原有的認(rèn)知平衡，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

這一策略重在給學(xué)生創(chuàng)設(shè)弧度制學(xué)習(xí)必要性的情境，筆者的做法是這樣的：先給學(xué)生提供兩個(gè)利用角度制解決問題的題目，讓學(xué)生回憶角度制的優(yōu)點(diǎn)與形象特征. 在此基礎(chǔ)上提供新的問題：某圓半徑為r，面積為S，則兩者關(guān)系是什么？這是一個(gè)極為簡(jiǎn)單的問題，瞬間即可完成. 在此基礎(chǔ)上，教師將面積公式S=πr2轉(zhuǎn)換成S=πr×r，然后問學(xué)生，此等式中πr是否存在著什么特別的含義？這個(gè)問題學(xué)生基本上是無(wú)法回答的，但他們會(huì)意識(shí)到既然老師提出了這個(gè)問題，那就可能有著某種意義. 在學(xué)生這一心理的基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生去觀察這個(gè)因式，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)其是由π和半徑r相乘而得. 這個(gè)時(shí)候教師再告訴學(xué)生，在某種表示角的單位制中，扇形的面積都可以表示為半徑平方與某個(gè)角的乘積的一半，即S=，那么，同學(xué)們能否從這兩個(gè)看起來(lái)沒有關(guān)系的表達(dá)式當(dāng)中發(fā)現(xiàn)一些聯(lián)系呢？學(xué)生在這一問題的驅(qū)動(dòng)之下就會(huì)仔細(xì)觀察，一般情況下，會(huì)有三五個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系，有三分之一的學(xué)生能夠隱約發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系，但無(wú)法準(zhǔn)確描述.有了這樣的思維基礎(chǔ)，教師再給出最終的闡述：新的表示角度的單位制中，1弧度角即為長(zhǎng)度等于半徑的圓弧所對(duì)的角. 學(xué)生就會(huì)尋找到上述兩個(gè)式子之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而完成從角度制向弧度制的轉(zhuǎn)換.

其二，讓學(xué)生闡述弧度制與角度制的異同，并提供具體情形，理解弧度制的優(yōu)點(diǎn).

在接受了弧度制之后，還要尋找到它的好處，才能讓學(xué)生接受弧度這一概念. 筆者首先讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“角度是幾何角度的理解，而弧度是函數(shù)角度的應(yīng)用”，然后在后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，只要運(yùn)用到弧度，就可以讓學(xué)生思考一個(gè)問題：如果此時(shí)不是弧度，而是角度，那么我們解決問題可能會(huì)遇到什么樣的困難？這樣的問題，常?？梢砸脤W(xué)生的會(huì)心一笑，弧度制應(yīng)用之廣泛也可以深入學(xué)生之心.

其三，提供足量訓(xùn)練，讓學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用弧度制的習(xí)慣. 足量的訓(xùn)練是十分重要的，只有學(xué)生在不斷的訓(xùn)練當(dāng)中生成運(yùn)用弧度的直覺，學(xué)生才會(huì)將弧度概念當(dāng)成一個(gè)基本的、可以直接運(yùn)用的數(shù)學(xué)概念. 當(dāng)然，這里所說(shuō)的足量訓(xùn)練應(yīng)當(dāng)是一種變式訓(xùn)練，而不是某一種類型題目的重復(fù)訓(xùn)練，這里還需要考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，不能產(chǎn)生厭惡情緒.

以上三個(gè)策略的運(yùn)用，一般可以讓學(xué)生知弧度之然，也可以知弧度之所以然. 事實(shí)上隨著高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)生可以在三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)，對(duì)于較好的學(xué)生，教師還可以適當(dāng)滲透微積分的基本概念，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到弧度制的應(yīng)用，要遠(yuǎn)比角度制廣泛，且更為簡(jiǎn)潔，因此成為更具廣泛性的度量角的方法. 在此過(guò)程中也可以引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展一定是向著廣泛與簡(jiǎn)潔兩個(gè)方向的，數(shù)學(xué)建模也是為了讓復(fù)雜的生活對(duì)象變成簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)對(duì)象. 這種規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，可以引導(dǎo)包括弧度概念在內(nèi)的很多數(shù)學(xué)概念的深層次理解.

弧度概念教學(xué)之后的再思考

弧度概念只是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)不太起眼的概念，可以從學(xué)生構(gòu)建概念的角度去了解學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，并提出更為有效的教學(xué)策略時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的研究空間還非常大，一些經(jīng)驗(yàn)性的教學(xué)行為當(dāng)中還存在著許多值得思考的地方.

就概念教學(xué)而言，一般認(rèn)為概念具有基礎(chǔ)性，這種基礎(chǔ)性不應(yīng)當(dāng)是因?yàn)橹挥谢A(chǔ)性而忽視，而應(yīng)當(dāng)注意到這種基礎(chǔ)既是概念本身的基礎(chǔ)，也是基于其上的其他概念與規(guī)律的基礎(chǔ). 同時(shí)更應(yīng)當(dāng)注意到在基礎(chǔ)概念的教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念的建立有其必然性與科學(xué)性，要讓學(xué)生形成關(guān)于數(shù)學(xué)的邏輯性發(fā)展認(rèn)識(shí)，只有建立這樣的認(rèn)識(shí)，學(xué)生才會(huì)發(fā)現(xiàn)自己所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)過(guò)程，就是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)不斷積累、數(shù)學(xué)大廈不斷形成的過(guò)程，這對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)來(lái)說(shuō)，也是有積極意義的.