例說抽象函數(shù)問題的常用對(duì)策

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○學(xué)習(xí)指導(dǎo)○

例說抽象函數(shù)問題的常用對(duì)策

張建軍

(江蘇省如東縣教師發(fā)展中心，226400

抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式,只是給出一些條件的函數(shù),它是中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點(diǎn)．本文就求解抽象函數(shù)問題的常用對(duì)策舉例說明,僅供參考．

一、函數(shù)性質(zhì)法

解抽象函數(shù)問題時(shí),若能從題目的條件出發(fā)挖掘出此函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性、周期性、單調(diào)性等性質(zhì),問題就可以解決．

1.周期函數(shù)型

分析由條件對(duì)x,y取特殊值后,就可得此函數(shù)的周期性.

將x換成x+1，得f(x+1)=f(x+2)+f(x),聯(lián)立得f(x+2)=-f(x-1), 將x換成x+1，得f(x+3)=-f(x).

∴f(x+6)=f(x+3+3)

=-f(x+3)=f(x),

2.單調(diào)函數(shù)型

若f(x)的單調(diào)性可由題目中給出的條件得到,則可利用函數(shù)f(x)的簡(jiǎn)單圖形,解決問題.

例2(2015年全國(guó)高考題)設(shè)f ′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí),xf′(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()

(A)(-∞,-1)∪(0,1)

(B)(-1,0)∪(1,+∞)

(C)(-∞,-1)∪(-1,0)

(D)(0,1)∪(1,+∞)

分析研究函數(shù)在(0,+∞)上的單調(diào)性,可得出f(x)的大致圖象,問題就能解決.

3.對(duì)稱函數(shù)型

關(guān)于函數(shù)圖象的對(duì)稱性，有以下兩個(gè)熟知的結(jié)論：

結(jié)論1函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,b)對(duì)稱?f(x)+f(2a-x)=2b,特別地，f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?f(x)+f(-x)=0.

結(jié)論2函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱?f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x).

例3(2009年全國(guó)高考題)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù),則()

(A)f(x)是偶函數(shù)

(B)f(x)是奇函數(shù)

(C)f(x)=f(x+2)

(D)f(x+3)是奇函數(shù)

分析已知f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù),就可得到f(x)的對(duì)稱性，然后再向答案轉(zhuǎn)化.

解∵f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù),

∴f(x+1)=-f(-x+1),

把x換成x+1，得

f(x+2)=-f(-x)；

①

又f(x-1)=-f(-x-1)，

把x換成x-1，得

f(x-2)=-f(-x).

②

由①,② 得f(x+2)=f(x-2),

把x換成x+2，得f(x+4)=f(x)，

∴函數(shù)f(x)的周期為4.

由f(x-1)=-f(-x-1)，得

f(x-1+4)=-f(-x-1+4)，

∴f(x+3)=-f(-x+3),

即f(x+3)是奇函數(shù)，故選D.

4.奇偶函數(shù)的結(jié)論

我們知道，偶函數(shù)的絕對(duì)值還是偶函數(shù),奇函數(shù)的絕對(duì)值是偶函數(shù),一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之積為奇函數(shù),一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之積為偶函數(shù),一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之積為偶函數(shù)．此外，還有：

結(jié)論如果f(x)為偶函數(shù),則有f(x)=f(-x)=f(|x|).

例4(2014年全國(guó)高考題)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是()

(A)f(x)g(x)是偶函數(shù)

(B)|f(x)|g(x)是奇函數(shù)

(C)f(x)|g(x)|是奇函數(shù)

(D)|f(x)g(x)|是奇函數(shù)

分析由f(x)的奇偶性的性質(zhì)得結(jié)論．

解由于偶函數(shù)的絕對(duì)值還是偶函數(shù),一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之積為奇函數(shù),故正確選項(xiàng)為C.

5. 特殊函數(shù)型

有些抽象函數(shù)可由取特殊函數(shù)后得到的結(jié)果,使問題得到解決.

例5(2015年福建高考題)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=-1, 其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)>k>1,則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是()

分析此題已知函數(shù)關(guān)系,可由f(x)構(gòu)造特殊函數(shù)得解.

二、函數(shù)模型法

解抽象函數(shù)問題時(shí),若能從研究抽象函數(shù)的條件入手,通過類比,猜想出它可能是某種基本函數(shù)的模型,就可很快獲得解題思路.

1.線性函數(shù)型

對(duì)任意x、y∈R,有f(x±y)=f(x)±f(y)+a,則其模型為f(x)=kx-a(k≠0).

例6(2008年重慶高考題)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意x1,x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,則下列說法一定正確的是()

(A)f(x)為奇函數(shù)

(B)f(x)為偶函數(shù)

(C)f(x)+1為奇函數(shù)

(D)f(x)+1為偶函數(shù)

分析由此函數(shù)的條件猜想f(x)=kx-1,∴f(x)+1=kx,從而很快得選項(xiàng).

解令x1=x2=0,得f(0)=-1.

令x1=x,x2=-x,得

f(0)=f(x)+f(-x)+1，

∴f(x)+f(-x)+2=0，

即f(x)+1為奇函數(shù), 故選C.

2.指數(shù)函數(shù)型

例7定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)m,n,總有f(m+n)=f(m)·f(n),

且當(dāng)x>0時(shí),0

(1)試求f(0)的值;

(2)判斷f(x)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論;

分析根據(jù)題意,將一般問題特殊化,也即選取適當(dāng)?shù)奶刂?是解決有關(guān)抽象函數(shù)問題的非常重要的手段;另外,此題有一個(gè)適合題目條件的函數(shù),如y=ax(0

解(1)在f(m+n)=f(m)·f(n)中,令m=1,n=0，得f(1)=f(1)·f(0)，

因?yàn)閒(1)≠0,所以f(0)=1.

(2)任取x1,x2∈R,且設(shè)x1

∵x2-x1>0,∴0

而f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)

=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)

=f(x1)[f(x2-x1)-1].

在f(m+n)=f(m)·f(n)中,令m=x,n=-x,則得

f(x)·f(-x)=1.

∵x>0時(shí),0

∴f(x2)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]

<0，

∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減.

(3)首先利用f(x)的單調(diào)性,將有關(guān)函數(shù)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含f的式子.

∵f(x2)·f(y2)>f(1)，

∴f(x2+y2)>f(1),

∴x2+y2<1.

3.對(duì)數(shù)函數(shù)型

例8已知函數(shù)f(x)是滿足定義域在(0,+∞)上的函數(shù),對(duì)于任意的x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),當(dāng)且僅當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0成立.

(1)設(shè)x,y∈(0,+∞),求證：

(2)設(shè)x1,x2∈(0,+∞),若f(x1)

(3)解關(guān)于x的不等式

f(x2-(a+1)x+a+1)>0.

分析本題是以對(duì)數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù),可以參考對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)解題.

證明(1)∵f(xy)=f(x)+f(y),

(2)∵x1,x2∈(0,+∞)時(shí)f(x1)

∵當(dāng)且僅當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0成立,

∴當(dāng)f(x)<0時(shí),x>1,

(3)令x=y=1，代入f(xy)=f(x)+f(y)，得f(1)=f(1)+f(1),故f(1)=0,f(x2-(a+1)x+a+1)>0=f(1).由(2)可知函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上是減函數(shù),∴01時(shí),10成立;當(dāng)a<1時(shí),a0成立;當(dāng)a=1,x≠1時(shí)，x2-(a+1)x+a+1>0成立．