“極限化”策略在選擇題中的應(yīng)用

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“極限化”策略在選擇題中的應(yīng)用

陳瑞清林新建

(福建省莆田第六中學(xué)，351111)(福建省漳州第一中學(xué)，363000)

“極限化”是重要的數(shù)學(xué)解題策略之一,是“有限與無(wú)限思想”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用．

有限與無(wú)限相比,有限顯得具體,無(wú)限顯得抽象,對(duì)有限的研究往往先于對(duì)無(wú)限的研究；反之,當(dāng)積累了解決無(wú)限問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)之后,可以將有限問(wèn)題轉(zhuǎn)化成無(wú)限問(wèn)題來(lái)解決．

這種無(wú)限化有限、有限化無(wú)限的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略就是極限化策略,它可以幫助我們快速探明問(wèn)題的解決方向,輕松得到問(wèn)題的答案．

以下就它在課標(biāo)卷選擇題中的應(yīng)用舉例賞析,以饗讀者．

解本題是一道考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的好題,求解方法多,但都不如運(yùn)用極限化策略求解簡(jiǎn)單快捷.

例2(2010年全國(guó)高考題)已知函數(shù)

若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則abc的取值范圍是()

(A)(1,10)(B)(5，6)

(C)(10,12)(D)(20,24)

解同樣,本題運(yùn)用極限化策略求解輕松快捷,唾手可得.

令a<1且a→1,b>1且b→1,則f(a)=f(b)→0,從而由f(c)→0，得

結(jié)合選項(xiàng)即知正確答案為C．

例3(2013年全國(guó)高考題)已知函數(shù)

若|f(x)|≤ax,則a的取值范圍是()

(A)(-∞,0](B)(-∞,1]

(C)[-2,1](D)[-2,0]

解本題依常規(guī)方法求解很難,若結(jié)合圖形運(yùn)用極限化策略求解，則輕松快捷.

當(dāng)x→-∞時(shí),因a不能趨向于-∞,故可排除選項(xiàng)A、B;

例4(2013年全國(guó)高考題)已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將ΔABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是()

解本題運(yùn)用常規(guī)方法求解極為繁瑣,運(yùn)用極限化策略求解簡(jiǎn)單快捷.

其實(shí),歷年的全國(guó)卷試題都注重對(duì)極限思想與極限化策略的考查,以下再舉幾例．

例5(2001年全國(guó)高考題)一間民房的屋頂有如圖1三種不同的蓋法:① 單向傾斜;② 雙向傾斜;③ 四向傾斜,記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3．

若屋頂斜面與水平面所成的角都是α,則()

(A)P3>P2>P1

(B)P3>P2=P1

(C)P3=P2>P1

(D)P3=P2=P1

解本題運(yùn)用常規(guī)方法求解較為繁瑣,而運(yùn)用極限化策略瞬間可得.

令α→0,則Pi→P0(i=1,2,3),故正確選項(xiàng)為D．

例6(2002年高考全國(guó)卷試題)已知0

(A)loga(xy)<0

(B)0

(C)1

(D)loga(xy)>2

解本題運(yùn)用常規(guī)方法求解也不難,但遠(yuǎn)不如運(yùn)用極限化策略求解來(lái)得輕松快捷.

令y→x→0+,則xy→0+,loga(xy)→+∞,結(jié)合選項(xiàng)即知正確答案為D．

例7(2003年全國(guó)高考題)已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1)．一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后,依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4(入射角等于反射角)．設(shè)P4的坐標(biāo)為(x4,0)．若1

以上例子凸顯了極限化策略的解題威力,教學(xué)或平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)滲透和應(yīng)用．