高中數(shù)學空間線面位置關(guān)系的內(nèi)容與證明

李仲甫

摘 要： 在高中數(shù)學學習中，空間線面位置關(guān)系的題目是一個重要問題，在平時的練習中和高考中都有所涉及，題目也常常以解答題的形式進行考查，考查的重點是空間線面平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明.作者結(jié)合自己的教學實踐和經(jīng)驗談?wù)劯咧袛?shù)學空間線面位置關(guān)系的內(nèi)容與證明.

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學 空間線面位置關(guān)系 證明

一、空間點、線、平面之間的位置關(guān)系

此類問題涉及的知識面較廣，綜合性較強，?？疾榭臻g線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，以考查學生的分析、解決問題的能力，難度適中.

【例1】如圖所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC=■AD，BE=■AF，G、H分別為FA、FD的中點.

（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；

（2）C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？

[解題思路]要證明四邊形BCHG是平行四邊形，只要證明GH∥BC或GB∥HC即可；要證明C，D，E，F(xiàn)共面，可通過證明四邊形CDEF中至少有一組對邊平行或兩邊的延長線相交即可.

（1）證明：由題意知，F(xiàn)G=GA，F(xiàn)H=HD，所以GH=■AD.

又BC=■AD，故GH=BC.所以四邊形BCHG是平行四邊形.

（2）解：C、D、F、E四點共面.理由如下：

由BE=■AF，G是FA的中點知，BE=GF，所以EF=BG.

由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面.又點D在直線FH上，所以C、D、F、E四點共面.

【方法指導】解決空間線面位置關(guān)系的組合判斷題常有以下方法：

（1）借助空間線面位置關(guān)系的線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷來解決問題；

（2）借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，肯定或否定某些選項，并作出選擇.

二、線線、線面位置關(guān)系

此類問題多以多面體為載體，求證線線、線面的平行與垂直，在解答題中往往作為第一問，難度一般不大，適當添加輔助線是解題的常用方法，考查學生靈活應(yīng)用線線、線面的平行與垂直的相互轉(zhuǎn)化能力.

【例2】如圖所示，正三棱柱A■B■C■ABC中，點D是BC的中點，BC=■BB■，設(shè)B■D∩BC■=F.求證：（1）A■C∥平面AB■D；（2）BC■⊥平面AB■D.

[解題思路]本題可先挖掘正三棱柱中有關(guān)的線面平行及垂直關(guān)系，第（1）問可利用“線線平行”或“面面平行”，第（2）問可利用“線線垂直”證“線面垂直”.

證明（1）連接A■B，設(shè)A■B與AB■交于E，連接DE.

∵點D是BC中點，點E是A■B中點，

∴DE∥A■C，∵A■C？埭平面AB■D，

DE？奐平面AB■D，

∴A■C∥平面AB■D.

（2）∵△ABC是正三角形，點D是BC的中點，∴AD⊥BC.

∵平面ABC⊥平面B■BCC■，

平面ABC∩平面B■BCC■=BC，AD？奐平面ABC，

∴AD⊥平面B■BCC■，

∵BC■？奐平面B■BCC■，∴AD⊥BC■.

∵點D是BC的中點，BC=■BB■，∴BD=■BB■.

∵■=■=■，∴Rt△B■BD∽Rt△BCC■.

∴∠BDB■=∠BC■C.

∴∠FBD+∠BDF=∠C■BC+∠BC■C=90°.

∴BC■⊥B■D.因為B■D∩AD=D，

∴BC■⊥平面AB■D.

【方法指導】將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，是解決立體幾何問題的很好途徑，其中過特殊點作輔助線，構(gòu)造平面是比較常用的方法.當然，記住公式、定理、概念等基礎(chǔ)知識是解決問題的前提.

三、面面位置關(guān)系

此類問題多以多面體為載體，結(jié)合線線、線面的位置關(guān)系，涉及的知識點多，綜合性強，通常用于考查面面位置關(guān)系的判定及性質(zhì)，以及學生的推理論證能力.

【方法指導】解決空間兩個平面位置關(guān)系的思維方法是“以退為進”，即面面問題退證為線面問題，再退證為線線問題，充分利用面面、線面、線線相互之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

參考文獻：

[1]柯厚寶，柯延偉.空間直線、平面位置關(guān)系的判斷及證明[J].試題與研究，2009.

[2]歐陽亮.空間點、線、面位置關(guān)系學習引導[J].中學生數(shù)理化（高一版），2011.