桁架結(jié)構(gòu)的倒變量響應面法研究

紀祥飛， 郭　明

(1.山東理工大學 交通與車輛工程學院， 山東 淄博 255049;

2.山東玲瓏輪胎股份有限公司， 山東 煙臺 264000)

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桁架結(jié)構(gòu)的倒變量響應面法研究

紀祥飛1， 郭明2

(1.山東理工大學 交通與車輛工程學院， 山東 淄博 255049;

2.山東玲瓏輪胎股份有限公司， 山東 煙臺 264000)

摘要：介紹了響應面的基本思想，指出了多項式基響應面在擬合精度方面存在的問題.通過分析多項式形式的響應面方程在設(shè)計變量的形式上與結(jié)構(gòu)的位移解析解之間的區(qū)別，研究了基于倒變量的響應面方法，并結(jié)合算例分析驗證了該方法建立的靜定桁架結(jié)構(gòu)的位移表達式具有很高的精度.分析結(jié)果表明，提出的響應面方法能夠精確、快速地解決平面和空間桁架位移的顯式化問題.

關(guān)鍵詞：倒變量； 桁架結(jié)構(gòu)； 響應面

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型中，需要用優(yōu)化方法進行優(yōu)化調(diào)整的設(shè)計參數(shù)稱為設(shè)計變量，性能變量是結(jié)構(gòu)的各種性態(tài)變量，如應力、位移等等，約束條件為設(shè)計必須滿足的限制條件.其中，約束條件是性能變量的函數(shù)，也是設(shè)計變量的隱函數(shù)[1].這一性質(zhì)是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題區(qū)別于一般的數(shù)學規(guī)劃問題的一個重要特點，也由于這一特點，大大增加了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題的求解難度.要解決這一問題，就必須對約束條件進行顯式化，最常用的顯式化方法為響應面方法(Response Surface Methodology，RSM),它可以避免函數(shù)的求導以及積分，大大降低計算的工作量，也能夠保證足夠的精度.

響應面方法最初由Box和Wilson于1951年提出，其基本思想是通過一系列確定性實驗，用多項式函數(shù)來近似隱式極限狀態(tài)函數(shù)，最初主要用于化工領(lǐng)域[2]；1995年，Myers和Montgomery 對響應面及其應用進行了全面的闡述，并把響應面方法定義為“一種用于開發(fā)、改進、優(yōu)化的統(tǒng)計和數(shù)學方法”[3]；如今，響應面方法廣泛用于優(yōu)化設(shè)計中，即通過合理的試驗設(shè)計方法構(gòu)建目標函數(shù)、約束函數(shù)和設(shè)計變量之間的近似函數(shù)[4].

傳統(tǒng)的多項式基響應面是采用最小二乘法建立的逼近函數(shù)，擬合的精度偏低.本文結(jié)合桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題，提出基于倒變量的響應面法，以期有效提高在展開點附近響應面的擬合精度，這對于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計非常有利.

1傳統(tǒng)多項式基響應面法

1.1多項式基響應面算法簡介

根據(jù)相關(guān)理論研究以及工程實踐經(jīng)驗可知，常用的多項式基響應面法的形式為[5]：

線性型

(1)

可分離二次型

(2)

完整二次型(含交叉項)

(3)

為了推導方便，對式(3)進行統(tǒng)一符號，可得

(4)

(5)

每次試驗的表達式可統(tǒng)一寫成如下矩陣形式

Y=Xβ+ε

(6)

其中：

系數(shù)向量的無偏估計β可由最小二乘法獲得，即令每次試驗的誤差平方和δ為最小

δ=εTε=(Y-Xβ)T(Y-Xβ)→min

(7)

β=(XTX)-1XTY

(8)

1.2多項式基響應面算法的精度分析

在利用多項式基響應面方法進行顯式化時，響應面的擬合精度是必須要考慮的，我們用幾個簡單的算例對多項式基響應面方法的擬合精度進行探討.本文主要討論的是桁架結(jié)構(gòu)，選取桁架結(jié)構(gòu)的截面積為設(shè)計變量，選取兩種截面積變化范圍，分別為0.01～0.05m2和0.03～0.04m2，兩個范圍內(nèi)試驗點個數(shù)、分布應相同，且截面均為圓截面，彈性模量E=2.1×1011Pa，泊松比為0.3，以節(jié)點的位移為結(jié)構(gòu)的響應.

圖1　八桿靜定桁架結(jié)構(gòu)

利用結(jié)構(gòu)力學中的解析法求得節(jié)點C沿力F方向的位移的解析解如下：

(9)

利用多項式基響應面方法求得的八桿桁架的精度以及響應面形式的選擇情況見表1.

由表1可以看出：利用多項式基響應面方法對八桿桁架的位移進行顯式化求解時，線性型的響應面在檢驗點處相對誤差很高，不能滿足求解精度的要求，增加了交叉項對求解的結(jié)果影響很小；同時利用傳統(tǒng)多項式基響應面方法求得的顯式化方程在幾何形式上與通過解析法求得的解析解有很大的區(qū)別.對比不同檢驗點取值范圍的擬合精度可以發(fā)現(xiàn)，3種形式的擬合函數(shù)在較小的鄰域內(nèi)的精度要稍好.

表1八桿桁架的擬合精度及響應面形式的選擇

響應面形式檢驗點取值范圍/m2檢驗點最大相對誤差/%檢驗點最小相對誤差/%檢驗點平均誤差/%線性型0.01～0.0537.2920.039616.0960.03～0.0433.6350.023615.241二次型0.01～0.0515.5632.292×10-44.7470.03～0.0413.2552.011×10-44.124完整二次型0.01～0.0515.5632.292×10-44.7470.03～0.0413.2552.011×10-44.124

算例2以一個簡單的三桿超靜定桁架為例進行分析.三桿桁架的結(jié)構(gòu)以及工況如圖2所示.其中工況1：F1=1 000N，F(xiàn)2=0；工況2：F1=0，F(xiàn)2=1 000N，l=1m.由于桁架的結(jié)構(gòu)以及工況均對稱，可令A1=A3，同時只考慮第1種工況.

圖2　三桿超靜定桁架結(jié)構(gòu)

利用結(jié)構(gòu)力學中的知識得到三桿超靜定結(jié)構(gòu)的應力為

(10)

(11)

(12)

同時利用卡氏定理求得節(jié)點A在力的作用下沿水平方向的位移的解析解為

(13)

利用傳統(tǒng)多項式基響應面求解的三桿桁架的精度以及響應面形式的選擇情況見表2.

表2三桿桁架的擬合精度及響應面形式的選擇

響應面形式檢驗點取值范圍/m2檢驗點最大相對誤差/%檢驗點最小相對誤差/%檢驗點平均誤差/%線性型0.01～0.0531.5110.03411.9050.03～0.0430.2380.031110.751二次型0.01～0.0526.7760.0317.4000.03～0.0424.8670.2396.890完整二次型0.01～0.0513.2290.1815.4360.03～0.0412.1140.1744.618

依據(jù)求得的響應面方程及表2中的數(shù)據(jù)可以看出：利用多項式基響應面方法對三桿桁架的位移進行求解時，和靜定結(jié)構(gòu)類似，解析式中設(shè)計變量以截面積的倒數(shù)形式存在，響應面方程是依據(jù)橫截面積的直接形式構(gòu)建的；響應面方程中增加了交叉項能夠提高求解的精度，但是提高的效果不明顯，同時性能比評價也一般，在檢驗點處相對誤差很高，不能滿足擬合精度的要求.另外，同算例1一樣，在較小的鄰域內(nèi)，傳統(tǒng)多項式基構(gòu)造的函數(shù)擬合精度稍高一些.

2基于倒變量的響應面方法

由材料力學可知，利用莫爾定理求得的桁架結(jié)構(gòu)中某一節(jié)點在外力作用下沿某一方向的位移表達式如下：

(14)

在靜定結(jié)構(gòu)中，若外力已知，則各桿的內(nèi)力不隨設(shè)計變量(截面積)的變化而變化，因此節(jié)點的位移與倒變量之間是線性關(guān)系；在超靜定結(jié)構(gòu)中，各桿的內(nèi)力隨著設(shè)計變量的變化是相對變化的，但當設(shè)計變量增量不大時，可采用靜定化假設(shè)，即在一輪分析研究中，各桿內(nèi)力不隨設(shè)計變量的變化而變化，節(jié)點位移與倒變量之間呈線性關(guān)系.

基于上述分析，對多項式基響應面做出如下的改進：在利用響應面方法進行桁架結(jié)構(gòu)節(jié)點位移的顯式化求解時，以倒變量(設(shè)計變量的倒數(shù))為基函數(shù)進行響應面方程的構(gòu)建；對于靜定結(jié)構(gòu)，只需構(gòu)建線性型的響應面方程即可獲得較高的精度，對于超靜定結(jié)構(gòu)，需要構(gòu)建二次型及完整二次型來保證求解的精度[6].

因此，基于倒變量的多項式基響應面方程的一般形式如下：

(15)

式中：k為設(shè)計變量的個數(shù)；β0、βi、βii及βij分別為待求解的常數(shù)、線性響應的系數(shù)、二次響應的系數(shù)以及交叉的二次響應的系數(shù).待定系數(shù)的求解步驟如下：

(1)通過合理的試驗設(shè)計方案，選取m(m≥(k+1)(k+2)/2)個試驗點，通過試驗設(shè)計求得各試驗點對應的響應值.

(2)可通過式(8)確定由二次多項式表示的響應面函數(shù)，此時，式(8)中變量為

待定系數(shù)的確定有兩種情況：(1)若試驗次數(shù)為響應面方程求解所需最少的次數(shù)，即試驗次數(shù)為(k+1)(k+2)/2時，可采用直接解線性方程組得到相應的系數(shù)；(2)當試驗次數(shù)大于最少次數(shù)即m>(k+1)(k+2)/2時，可以采用式(8)求解待定系數(shù)，一般情況下試驗次數(shù)m都應大于(k+1)(k+2)/2，因為在試驗設(shè)計合理的情況下，試驗點數(shù)越多越能體現(xiàn)一般性，這樣求解的精度也會更高[7].

由最佳一致逼近原理可知，對已知的數(shù)據(jù)利用響應面方法進行近似求解時，構(gòu)建的近似函數(shù)在形式上與結(jié)構(gòu)響應的真實解的形式越接近，求解的精度就越高.因此，利用式(15)的形式構(gòu)建的基于多元有理函數(shù)的桁架結(jié)構(gòu)響應面方程，會比利用傳統(tǒng)多項式基響應面方程擬合的精度更高，求解的結(jié)果更接近于結(jié)構(gòu)的真實響應.

3算例驗證

傳統(tǒng)多項式基響應面方法，總是直接以設(shè)計變量的多項式形式來構(gòu)建響應面方程，而根據(jù)工程經(jīng)驗以及前面的幾個算例分析可知，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的性能函數(shù)中設(shè)計變量往往處于分母位置，因此以設(shè)計變量的倒數(shù)形式作為基函數(shù)來構(gòu)建響應面函數(shù)，在形式上能與解析解的形式相統(tǒng)一，求得的顯式化方程也更能體現(xiàn)出設(shè)計變量與性能函數(shù)之間真實的關(guān)系.下面利用基于倒變量的響應面方法驗證前兩個算例的求解精度.

算例3八桿靜定桁架結(jié)構(gòu)，利用改進后的響應面方法求得的節(jié)點C沿力F方向的位移與真實響應值之間的精度以及響應面形式的選擇情況見表3.

表3八桿桁架的擬合精度及響應面形式的選擇

響應面形式檢驗點取值范圍/m2檢驗點最大相對誤差/%檢驗點最小相對誤差/%檢驗點平均誤差/%線性型0.01～0.052.76×10-119.90×10-121.90×10-110.03～0.049.54×10-128.17×10-128.64×10-12二次型0.01～0.052.70×10-94.15×10-146.70×10-100.03～0.049.62×10-102.11×10-144.20×10-10完整二次型0.01～0.054.72×10-115.23×10-132.10×10-110.03～0.042.25×10-112.43×10-139.37×10-12

由表3可以看出，利用改進后的基于倒變量的響應面方法進行靜定結(jié)構(gòu)的顯式化求解時，在不同檢驗點的取值范圍內(nèi)，求解的精度都很高，相對誤差可以控制在1.0×10-8%之內(nèi)，可認為求解結(jié)果是非常準確的，求解的精度比利用傳統(tǒng)多項式基響應面方法求解的精度有了明顯的提高，證明了改進后的基于倒變量的響應面算法在靜定結(jié)構(gòu)顯式化求解中的適用性.

算例4三桿超靜定桁架結(jié)構(gòu)，利用改進后的響應面方法得的節(jié)點A沿力F方向的位移與真實響應值之間的精度以及響應面形式的選擇情況見表4.

表4三桿桁架的擬合精度及響應面形式的選擇

響應面形式檢驗點取值范圍/m2檢驗點最大相對誤差/%檢驗點最小相對誤差/%檢驗點平均誤差/%線性型0.01～0.0519.91423.6888.52130.03～0.0415.27720.6305.6810二次型0.01～0.050.82030.4680.043630.03～0.040.51140.2080.02172完整二次型0.01～0.057.73746.4711.7650.03～0.044.51244.1020.593

由表4可以看出：利用改進后的響應面方法求解超靜定結(jié)構(gòu)的位移時，檢驗點處的求解精度與利用傳統(tǒng)多項式基響應面求解的結(jié)果相比都有了明顯的改善，尤其是含交叉項的完整二次型，精度提高的最明顯，通過縮小檢驗點的取值范圍，同樣精度也得到了明顯的提高，且求解的精度基本能夠滿足工程實際的需要.

4結(jié)論

(1)利用基于倒變量的多項式基響應面方法求解靜定結(jié)構(gòu)的顯式化時，求解的精度極高，檢驗點處的相對誤差可以嚴格控制在萬分之一以內(nèi)，這主要是因為本文構(gòu)建的響應面方程與結(jié)構(gòu)的解析解在形式上保持了高度的一致，因此可以認為構(gòu)建的響應面方程可以全面地反映性能函數(shù)和設(shè)計變量之間的顯式關(guān)系.

(2)超靜定結(jié)構(gòu)的求解精度比靜定結(jié)構(gòu)的差了一些，這主要是由于在構(gòu)建響應面方程時，為了與靜定結(jié)構(gòu)的形式相統(tǒng)一，采用了靜定化假設(shè)，在實際求解過程中，各桿內(nèi)力的變化是伴隨著設(shè)計變量的變化而變化的，但是通過縮小檢驗點的取值范圍，求解精度得到了明顯的提高，且完整二次型的精度完全能夠滿足工程實際的需要，證明了基于倒變量的多項式基響應面方法可以有效地解決結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中隱函數(shù)的顯式化問題，且在較大的求解區(qū)域內(nèi)，精度都能夠得到保障.

參考文獻:

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(編輯：郝秀清)

The research of reciprocal variable of truss structure′s response surface method

JI Xiang-fei1, GUO Ming2

(1.School of Transportation and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China;2.Shandong Linglong Tire Company Limited, Yantai 264000, China)

Abstract:The basic idea of response surface is introduced, and the problems of the polynomial-based response surface in fitting accuracy are also pointed out. Through the literature query and the analysis of the difference between design variables form of the polynomial response surface and the analytical solution of structure displacement, the response surface method based on reciprocal variable is proposed and studied, the high precision of static structure displacement expression was verified by example. The results showed that the proposed response surface method can accurately and quickly solve the plane and space truss displacement explicit issues.

Key words:reciprocal variable; truss structure; response surface

中圖分類號：U467.1

文獻標志碼：A

文章編號：1672-6197(2016)02-0027-04

作者簡介：紀祥飛，男，15275995247@139.com; 通信作者： 郭明，男，guoming04073215@126.com.

收稿日期：2015-03-16