基本解法在三維涂層結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)中的應(yīng)用

公顏鵬， 周愛華， 張耀明

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東 淄博 255049)

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基本解法在三維涂層結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)中的應(yīng)用

公顏鵬， 周愛華， 張耀明

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東 淄博 255049)

摘要：研究三維涂層結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)問題的基本解法,給出求解此類問題的新途徑,同時(shí)也拓展了基本解法的應(yīng)用范圍.對(duì)結(jié)構(gòu)厚度小到1×10-10的涂層結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)問題進(jìn)行了研究,所取得的數(shù)值結(jié)果與精確解相當(dāng)?shù)匚呛?表明基本解法是求解涂層結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)問題的強(qiáng)有力工具,且方法簡(jiǎn)單、易于程序設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：基本解法; 涂層結(jié)構(gòu); 溫度場(chǎng)

隨著現(xiàn)代材料科學(xué)技術(shù)的發(fā)展以及實(shí)際工程的需要,具有耐高溫、耐氧化、耐磨損、抗腐蝕等優(yōu)良特性的涂層結(jié)構(gòu)愈來愈引起人們的重視,其應(yīng)用范圍已涉及汽車、航空、建筑、陶瓷、刀具制造等諸多領(lǐng)域[1-3].然而,一般涂層材料的厚度較薄,約在微米級(jí)甚至納米級(jí),受其厚度尺寸的限制,涂層材料中物理量的數(shù)值分析一直是工程中的難點(diǎn).有限元法是常用數(shù)值分析方法,采用有限元法計(jì)算時(shí),為了避免畸形單元，必須按照結(jié)構(gòu)的厚度劃分網(wǎng)格,這將導(dǎo)致百萬甚至幾百萬個(gè)離散單元，計(jì)算工作量劇增[4].邊界元法可有效地處理涂層問題[5-6],但需要處理復(fù)雜的幾乎奇異積分.

基本解法(MFS)是由Kupradze和Aleksidze[7]在1964年提出的，它具有精度高、收斂速度快、程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、無需對(duì)區(qū)域和邊界劃分網(wǎng)格、無需計(jì)算奇異及幾乎奇異積分、適合處理復(fù)雜區(qū)域和高維問題等諸多優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于固體力學(xué)、流體力學(xué)及熱傳導(dǎo)等問題的求解，取得了很好的效果. 然而，基本解法在三維涂層結(jié)構(gòu)問題中的應(yīng)用至今仍鮮有報(bào)道. 本文研究三維涂層結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)問題的基本解法，為該類問題的研究開辟新的途徑，拓展其應(yīng)用領(lǐng)域.

1三維位勢(shì)問題的基本解法

本文假定Ω是R3中的一個(gè)有界區(qū)域,Γ=?Ω是其邊界. n=(n1,n2,n3)是區(qū)域Ω的邊界Γ在x點(diǎn)處的單位外法向量.在邊界外部選取N個(gè)源點(diǎn)yj,j=1,2,…,N，則計(jì)算點(diǎn)x處的位勢(shì)為

若在邊界Γ上選取M個(gè)配置點(diǎn)xi,i=1,2,…,M,則邊界配置點(diǎn)處的位勢(shì)和法向梯度可表示為

(1)

(2)

2三維涂層問題的基本解法

圖1　分域法結(jié)構(gòu)圖

由方程(1)、(2), 在Ω1上可建立如下矩陣方程:

(3)

同理, 在Ω2上可建立如下矩陣方程:

(4)

對(duì)于適定的邊值問題,或者邊界上的溫度已知或者法向梯度已知. 邊界離散化后, 每個(gè)節(jié)點(diǎn)上都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)代數(shù)方程, 方程的個(gè)數(shù)與虛邊界節(jié)點(diǎn)處待求密度函數(shù)的個(gè)數(shù)相同, 因而可以數(shù)值求解. 分域法將區(qū)域Ω1與Ω2看成兩個(gè)獨(dú)立的問題來處理, 在各自區(qū)域上利用虛邊界元法進(jìn)行計(jì)算, 但在Ω1與Ω2的共同邊界ΓΙ上, 溫度與溫度梯度都是未知的, 因此未知參量的個(gè)數(shù)大于代數(shù)方程的個(gè)數(shù). 要使得邊值問題可解,必須引入如協(xié)調(diào)條件：

(a)邊界ΓΙ上的溫度協(xié)調(diào)條件

(5)

(b)邊界ΓΙ上的熱流協(xié)調(diào)條件

(6)

若邊界Γ1,Γ2上節(jié)點(diǎn)的位勢(shì)已知, 根據(jù)條件(5)和(6), 式(3)和式(4)可合并成

(7)

若邊界Γ1,Γ2上節(jié)點(diǎn)的位勢(shì)梯度已知, 根據(jù)條件(5)和(6), 式(3)和(4)可合并成

(8)

類似地, 可寫出混合邊界條件相應(yīng)的方程組.

式(7)或式(8)即為涂層結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)虛邊界元法的基本列式. 通過式(7)或式(8), 可求出Ω1與Ω2虛邊界上的節(jié)點(diǎn)密度函數(shù),進(jìn)而可以利用內(nèi)點(diǎn)積分方程求出內(nèi)點(diǎn)的物理參量.

顯然,以上過程可以直接推廣到多涂層結(jié)構(gòu)問題,只是聯(lián)立方程的個(gè)數(shù)有所增加,這里就不再過多闡述.

3數(shù)值算例

考慮2個(gè)涂層結(jié)構(gòu)的數(shù)值算例來驗(yàn)證本文方法的有效性. 為了表明方法數(shù)值解的準(zhǔn)確性, 定義平均相對(duì)誤差

(9)

算例1研究球殼涂層結(jié)構(gòu)的熱流問題. 圖中2(a)、2(b)是本文考察的空心球殼結(jié)構(gòu)及網(wǎng)格模型. 圖3(b)是球殼涂層結(jié)構(gòu)被x2x3平面切割的截面圖, 圖3給出了涂層結(jié)構(gòu)及虛邊界計(jì)算模型被x2x3平面切割的截面圖. 基體是一內(nèi)半徑為r1=1, 外半徑為r2=2的球殼, 涂層外徑為r3. 涂層厚度記為δ=r3-r2. 邊界條件如圖3(a)所示, 基體內(nèi)表面溫度為10°C, 涂層外表面溫度為20°C. 基體導(dǎo)熱率為k1=1,涂層導(dǎo)熱率為k2=2.

圖2　空心球殼結(jié)構(gòu)

圖3　球殼涂層結(jié)構(gòu)的熱流問題截面圖

定義涂層區(qū)域特征值最小尺寸與最大尺寸之比δ=(r3-r2)/r1為狹長(zhǎng)比. 計(jì)算此模型時(shí), 我們將每個(gè)虛邊界均劃分為64個(gè)單元, 總共256個(gè)單元. 為了更全面地反映方法的計(jì)算精度, 在基體與涂層接觸面上選取均勻分布的64個(gè)計(jì)算點(diǎn), 并且虛實(shí)邊界距離設(shè)定為d1=0.4,d2=10. 圖4給出了不同狹長(zhǎng)比下,即δ從10-1到10-10變化時(shí), 涂層與基體接觸面上溫度與熱流量的平均相對(duì)誤差的變化曲線. 由圖4可以看出, 利用該方法計(jì)算的結(jié)果精度很高, 即使狹長(zhǎng)比到10-10也能得到很理想的結(jié)果. 此外, 圖5(a)、5(b)給出了狹長(zhǎng)比δ=1.0×10-7時(shí), 接觸面上所取計(jì)算點(diǎn)的溫度解與熱流數(shù)值解的相對(duì)誤差曲面，可看出數(shù)值結(jié)果的相對(duì)誤差相當(dāng)?shù)匦? 表明該方法非常有效.

圖4　接觸面溫度與熱流量數(shù)值解的平均相對(duì)誤差

圖5　涂層與基體接觸面溫度與熱流解的相對(duì)誤差曲面

圖6給出了在狹長(zhǎng)比與虛實(shí)邊界距離不變的情況下, 隨著單元數(shù)的增加, 基體與涂層接觸面上所取計(jì)算點(diǎn)處的溫度解、熱流解的平均相對(duì)誤差變化曲線即收斂曲線. 可以看出, 隨著單元數(shù)的增加,相對(duì)誤差迅速減小, 說明該方法具有良好的收斂性.

圖6　接觸面溫度解與熱流解的收斂曲線

算例2薄板涂層結(jié)構(gòu)的熱傳導(dǎo)問題. 如圖7(a)所示, 基體長(zhǎng)L=2, 高H=0.1, 涂層厚度為h. 已知基體下表面溫度為10°C, 涂層上表面溫度為20°C, 其余各側(cè)面熱流q=0. 基體導(dǎo)熱率為k1=1,涂層導(dǎo)熱率為k2=2.

圖7　薄板涂層結(jié)構(gòu)圖

取虛邊界與結(jié)構(gòu)外表面的幾何形狀相似. 圖7(b)給出基體結(jié)構(gòu)及虛邊界計(jì)算模型, 圖7(c)給出涂層薄體結(jié)構(gòu)及虛邊界計(jì)算模型. 基體虛實(shí)邊界間的距離與涂層虛實(shí)邊界間的距離已在圖7(b)與圖7(c)中標(biāo)示. 基體上、下虛邊界以及涂層上、下虛邊界均劃分為64個(gè)單元,其余各側(cè)面虛邊界均劃分為8個(gè)單元, 共320個(gè)單元, 即本模型共有320個(gè)配點(diǎn). 為了更全面地反映方法的計(jì)算精度, 在基體與涂層界面上及涂層上表面各選取均勻分布的400個(gè)計(jì)算點(diǎn). 當(dāng)涂層的厚度h從1×10-1變化到1×10-9時(shí), 虛實(shí)邊界間的距離分別取d=2、 20、 40,圖8與圖9分別給出了界面上計(jì)算點(diǎn)處的溫度解和熱流解的平均相對(duì)誤差變化曲線. 可看出,d=20和d=40時(shí),數(shù)值解的精度非常高,d=2時(shí),解的精度較差,但精度仍可接受. 表明虛實(shí)邊界間的距離選取范圍非常地寬泛.

圖8　界面上溫度解的平均相對(duì)誤差

圖9　界面上熱流解的平均相對(duì)誤差

單元?jiǎng)澐智闆r不變, 取涂層厚度為10-9, 虛實(shí)邊界距離為d=10, 圖10(a)、10(b)分別給出了界面上所取400個(gè)計(jì)算點(diǎn)處的溫度解與熱流解的相對(duì)誤差曲面；可看出, 數(shù)值結(jié)果的相對(duì)誤差都非常地小. 表明該方法能夠準(zhǔn)確高效地求解厚度小到納米級(jí)的涂層溫度場(chǎng)問題.

(a)溫度

(b)熱流圖10　涂層與基體接觸面溫度與熱流解的相對(duì)誤差曲面

另外，圖11給出了在節(jié)點(diǎn)數(shù)目相同的情況下，分別用邊界元(BEM)和基本解法(MFS)計(jì)算接觸面上溫度時(shí)平均相對(duì)誤差(ARE)隨涂層厚度的變化情況.容易看出，雖然兩種方法都能得到比較好的結(jié)果，但是本文解法(MFS)的精度比邊界元法高出好幾個(gè)數(shù)量級(jí).表明本文方法在處理涂層問題時(shí)，比邊界元法在精度上有很大優(yōu)勢(shì).

4結(jié)束語

本文研究基本解法求解三維位勢(shì)涂層結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)問題, 給出求解涂層結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)問題的新途徑,拓展了基本解法的應(yīng)用范圍. 數(shù)值算例表明, 基本解法是求解涂層結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)問題的強(qiáng)有力工具, 即使結(jié)構(gòu)的厚度小到10-10, 依然可獲得高精度的數(shù)值解.

圖11　涂層與基體接觸面溫度的平均相對(duì)誤差隨涂層厚度的變化情況

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(編輯：郝秀清)

Method of fundamental solutions of the temperature field in 3D coating structures

GONG Yan-peng, ZHOU Ai-hua, ZHANG Yao-ming

( School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:The method of fundamental solutions (MFS) for solving coating problems in 3D potential theory is developed, which not only provides a new approach to deal with such problems but also extends its application fields. Numerical examples demonstrate that the proposed method can effectively solve coating structure problems even when their thicknesses are as small as the nanometer scale, showing that the MFS is a simple and powerful tool for solving 3D coating problems.

Key words:MFS; coating structures; temperature field

中圖分類號(hào)：O342

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-6197(2016)02-0013-05

作者簡(jiǎn)介：公顏鵬, 男, gyp2011@sina.com; 通信作者： 張耀明, 男, zymfc@163.com

基金項(xiàng)目：山東省自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(ZR2010AZ003)

收稿日期：2015-03-07