“古典概型”運(yùn)用要點(diǎn)剖析

趙紀(jì)青

(鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 河南鶴壁　458030)

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“古典概型”運(yùn)用要點(diǎn)剖析

趙紀(jì)青

(鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 河南鶴壁458030)

摘要：概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生規(guī)律的學(xué)科，其中規(guī)律是通過計(jì)算事件發(fā)生的概率來衡量的，從而概率的計(jì)算問題變得尤為重要。解決該問題的方法多種多樣，利用“古典概型”來計(jì)算隨機(jī)事件的概率，是概率論的核心基礎(chǔ)內(nèi)容之一?！肮诺涓判汀彪m然思想簡單，但在應(yīng)用時(shí)卻常常出錯(cuò)。為了更好地理解“古典概型”方法以及準(zhǔn)確快捷地利用它解決實(shí)際問題，通過實(shí)例對應(yīng)用“古典概型”計(jì)算概率的方法進(jìn)行剖析，總結(jié)出有助于理解以及合理應(yīng)用“古典概型”方法的四個(gè)要點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：古典概型；樣本空間；對立事件；二項(xiàng)分布

許多概率論的教材中對“古典概型”的介紹都是先敘述方法的基本思想即[1-4]：1)所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，譬如為n個(gè)，簡稱有限性；2)每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，簡稱等可能性；3)若事件A含有k個(gè)樣本點(diǎn)，在事件A發(fā)生的概率為

通過幾道不同類型的例題來鞏固“古典概型”方法。針對該情形，學(xué)習(xí)者一般是一教就會(huì)，但實(shí)際練習(xí)中常常出錯(cuò)。趙輝[5]對“古典概型”的三種基本模型的概率計(jì)算方法進(jìn)行了歸納，在一定程度上使學(xué)習(xí)者對“古典概型”的基本模型有一定的了解，但沒有分析容易出錯(cuò)的現(xiàn)象，難免會(huì)出現(xiàn)“一看就懂，一做就錯(cuò)”的現(xiàn)象；游玲杰、吳紹兵[6]與張旭[7]等從計(jì)算n、k一致性、準(zhǔn)確性、技巧性方面對古典概型概率計(jì)算中常見錯(cuò)題進(jìn)行了分析，但分析的角度還不夠細(xì)致；張健、徐傳勝[8-9]研究了如何選擇樣本空間而簡解古典概型，但研究角度稍顯單一。筆者通過古典概型的基本模型實(shí)例，從容易出錯(cuò)的情況詳細(xì)分析，總結(jié)出有助于更好理解以及應(yīng)用“古典概型”方法的四個(gè)要點(diǎn)。

1應(yīng)用“古典概型”方法的要點(diǎn)

1.1看清題意，簡化樣本空間

摸球模型中的放回摸球中有這樣的例題[10-13]。

例1有一袋內(nèi)裝有編號(hào)為1~5的5個(gè)球，從袋中有放回地任取3個(gè)球，問3個(gè)球的編號(hào)能組成奇數(shù)的概率？

錯(cuò)解要求“3個(gè)球編號(hào)能組成奇數(shù)”的概率，只需求“3個(gè)球的編號(hào)全部是偶數(shù)”的概率，再利用事件對立關(guān)系求解，于是解答過程如下：

這個(gè)分析過程錯(cuò)在忽略了題意中的“有放回地”。所求問題等價(jià)于求“第三次摸到奇數(shù)號(hào)球”的概率，所以正確解法：

此處利用了古典概型的方法求概率，其樣本空間Ω所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為53。樣本空間中的樣本點(diǎn)較多，從而思考在滿足有限性、等可能性的基礎(chǔ)上簡化樣本空間，得到了一下更加簡單的方法。

例2有一袋內(nèi)裝有編號(hào)為1~5的5個(gè)球，從袋中無放回地任取3個(gè)球，問3個(gè)球編號(hào)組成奇數(shù)的概率？

例2是把例1的有放回改成無放回，其他條件一樣，通常的分析是“把五個(gè)球全排列，只需第三個(gè)球的號(hào)碼是奇數(shù)”接著用古典概型的方法得到解法一：

例3袋中有a個(gè)白球和b個(gè)黑球，從中無放回地依次取出k個(gè)(1≤k≤a+b)，則最后一次取到的是白球的概率為多少？

例4將1，2，…,n任意排列，則數(shù)字2在1前面的概率為多少？

此錯(cuò)在于題意理解錯(cuò)誤即把“數(shù)字2在1前面”理解成了“數(shù)字2在1前面，并且相鄰”。通常的利用古典概型方法的正確解法為

首先要看清楚題意，然后在滿足有限性、等可能性的情況下盡可能地簡化樣本空間再利用古典概型方法求概率，就會(huì)大大地提高正確率與速度。

1.2確保所求事件A、Ω一致性

例59件產(chǎn)品中有2件不合格品，從中不放回地任取2件，求取出的產(chǎn)品中只有一件合格品的概率是多少？

例6從一個(gè)裝有n個(gè)白球和n個(gè)黑球的袋子里逐一把球取出，直至取完為止，求黑、白球恰好相間的概率為多少？

1.3轉(zhuǎn)化對立事件求解，減小難度

例7從5雙不同的鞋子中任取4只，求取出的4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率。

例8一個(gè)班級有50人，一年365 d，至少有2個(gè)人生日相同的概率是多少？

1.4轉(zhuǎn)二項(xiàng)分布，避免使用排列組合求解

例9一位郵遞員將3封信隨機(jī)地投入4個(gè)信箱，第一個(gè)信箱恰有一封信的概率是多少？

例10有5個(gè)不同的球，每個(gè)球都等可能落入10個(gè)盒子中的每一個(gè)，求在指定的一個(gè)盒子中恰有3個(gè)球的概率。

類似于上面兩道例題的古典概型問題可以轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)分布求解，而避免了使用排列組合的知識(shí)求解，則在排列組合中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就消除了從而提高了準(zhǔn)確率與速度。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]梁之舜,鄧集賢.概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 北京：高等教育出版社, 1988.

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[3]牟娟.基于數(shù)學(xué)史的高中概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)案例開發(fā)[D].蘭州:西北師范大學(xué),2014.

[4]郭朋貴.關(guān)于概率概念的教學(xué)研究[D].武漢:華中師范大學(xué),2006.

[5]趙輝.古典概型的模型歸納和計(jì)算方法[J].教材與教法,2003(6):62-63.

[6]游玲杰,吳紹兵.古典概型計(jì)算原則及錯(cuò)解透視[J].教學(xué)參考,2006(82):29-30.

[7]張旭.古典概型概率計(jì)算中常見錯(cuò)題剖析[J].讀與寫,2008(6):68-69.

[8]張健.古典概型下樣本空間的選取及其意義[J].唐山高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),1999 (4):3-9.

[9] 徐傳勝.巧選樣本空間簡解古典概型[J].數(shù)學(xué)通訊,2003(12):17.

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[12]肖玉蘭,劉瑞元.古典概型問題的數(shù)學(xué)模型[J].青海師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009(1):12-15.

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The Highlights of the Use of “Classical Probability Model”

ZHAO Jiqing

(Hebi Polytechnic, Hebi 458030, China)

AbstractProbability is a discipline that studies the law of random phenomena, in which the law is measured by the probability of occurrence, so the problem of calculating the probability becomes very important and has many computing methods. Classical probability model, one of the core elements of the probability theory, is simple but often makes mistakes in the application. For this purpose, the paper analyses the probability calculated by using classical probability in illustrative examples and summarizes four main points that are helpful to understand and solve practical problems accurately.

Key wordsclassical probability model; sample space; opposition event; binomial distribution

文章編號(hào)：1009-0312(2016)01-0115-04

中圖分類號(hào)：O211

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

作者簡介：趙紀(jì)青(1976—)，女，河南遂平人，副教授，碩士，主要從事組合數(shù)字研究。

收稿日期：2015-10-20