概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的數(shù)學(xué)建模案例

孫建英

（青島理工大學(xué)琴島學(xué)院基礎(chǔ)部，山東青島 266106）

0 引 言

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》與《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)》并稱為理工類高等本科院校的三大基礎(chǔ)學(xué)科，它的重要性已不言而喻。尤其是隨著計(jì)算機(jī)的迅猛普及，概率統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)、管理、金融、保險(xiǎn)、醫(yī)學(xué)、生物等方面的應(yīng)用更是得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，但是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有很多抽象的概念、定理，學(xué)生理解起來(lái)都比較困難，更別提應(yīng)用自如了，而且現(xiàn)在很多院校使用的教材從知識(shí)的講解角度來(lái)講，雖無(wú)可挑剔，堪為經(jīng)典，但是案例過(guò)于陳舊，數(shù)量不足，這就要求高校教師要不斷地自我學(xué)習(xí)，更新案例，使學(xué)生深刻體會(huì)到概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門學(xué)科強(qiáng)大的生命力和發(fā)展動(dòng)力［1－6］。文中將數(shù)學(xué)建模的案例和思想引入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課堂中，教學(xué)中從問(wèn)題到理論，再?gòu)睦碚摰綉?yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)到“學(xué)以致用”的真正含義，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索精神。

1 數(shù)學(xué)建模案例在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用

1.1 案例1：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的引入

“興趣是最好的老師”，緊緊抓住學(xué)生的好奇心，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程第一堂課要做的事情。概率論最早起源于歷史上兩位偉大的數(shù)學(xué)家帕斯卡和費(fèi)馬關(guān)于賭資分配問(wèn)題的一次偉大的通信。我們把它變成這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。甲、乙兩個(gè)人去射擊，各自押了50元錢，看誰(shuí)能射中靶心，規(guī)則是先正中靶心三局的贏得全部賭資。結(jié)果三局后，賭局被迫中斷了，此時(shí)，乙一勝兩負(fù)，問(wèn)如何分配這100元賭資。這個(gè)問(wèn)題可以留給學(xué)生們課下討論，學(xué)完等可能事件的概率后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)進(jìn)行五局比賽后，一定能分出勝負(fù)，已經(jīng)進(jìn)行了三局，剩下的兩局共有四種情況，甲贏的情況有三種，所以甲乙按照3∶1來(lái)分賭資，甲分得75元，乙分得25元。

1.2 案例2：全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用

概率中的很多問(wèn)題與人們的生活是息息相關(guān)的。像常說(shuō)的“三個(gè)臭皮匠頂個(gè)諸葛亮”，可以用獨(dú)立事件的概率來(lái)分析，“狼來(lái)了”的故事就可以用全概率和貝葉斯公式來(lái)分析。把“狼來(lái)了”這個(gè)故事抽象成這樣一個(gè)數(shù)學(xué)模型，假設(shè)小孩第一次喊狼來(lái)了時(shí)是半真半假的，他說(shuō)假話時(shí)，狼真的來(lái)的概率為0.25，他說(shuō)真話時(shí)，狼真來(lái)的概率為0.8，當(dāng)他說(shuō)了兩次假話后，村民還會(huì)相信狼真的來(lái)了嗎？

解：設(shè)Ai表示“小孩第i次喊話時(shí)，狼沒(méi)來(lái)”，Bi表示“小孩第i次說(shuō)謊”，i＝1，2，則

村民第一次受騙的概率為：

村民第一次受騙后，小孩說(shuō)謊的概率就上升為：

村民第二次受騙的概率為：

同時(shí)小孩說(shuō)謊的概率就上升為：

大家說(shuō)，村民們受了兩次騙后，第三次還會(huì)去幫助這個(gè)愛(ài)說(shuō)謊的孩子嗎？

1.3 案例3：棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理的應(yīng)用

保險(xiǎn)問(wèn)題近幾年一直是個(gè)熱點(diǎn)話題，保險(xiǎn)公司確定的遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于保險(xiǎn)費(fèi)的賠償金會(huì)不會(huì)導(dǎo)致保險(xiǎn)公司賠本？保險(xiǎn)公司如何來(lái)確定每個(gè)人交付的保險(xiǎn)費(fèi)？我們把這些問(wèn)題抽象成這樣一個(gè)數(shù)學(xué)模型。某保險(xiǎn)公司開(kāi)辦一年人身保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，被保險(xiǎn)人每年交付保險(xiǎn)費(fèi)160元，若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故，保險(xiǎn)公司支付2萬(wàn)元賠償金，已知一個(gè)人一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的概率為0.005，如今有5 000人參加保險(xiǎn)，問(wèn)保險(xiǎn)公司盈利的概率為多少？

解：設(shè)X為一年中發(fā)生重大人身事故的人數(shù)，則X～B（n，p），n＝5 000，p＝0.005，np＝25，由棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理得，保險(xiǎn)公司盈利的概率為

這是一個(gè)很經(jīng)典的案例，我們可以把它擴(kuò)充的更豐富一些，就能用一個(gè)簡(jiǎn)單的案例卻讓學(xué)生多角度、深層次地把握這個(gè)知識(shí)。思考如下：

問(wèn)題（1）：保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從該項(xiàng)業(yè)務(wù)得到的收益在10萬(wàn)元到20萬(wàn)元之間的概率為多少？

問(wèn)題（2）：從保險(xiǎn)公司的角度，如果每個(gè)人要交的保險(xiǎn)金為b元，要保證公司這個(gè)業(yè)務(wù)盈利的可能性大于99%，那么這個(gè)b該如何確定？

問(wèn)題（3）：要保證公司這個(gè)業(yè)務(wù)盈利超過(guò)10萬(wàn)元，則如何確定每個(gè)人要交的保險(xiǎn)金b元？

2 結(jié) 語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模進(jìn)入大學(xué)課堂的20多年，可以說(shuō)已從星星之火迅速發(fā)展成為燎原之勢(shì)，除了數(shù)學(xué)建模大賽的推動(dòng)外，數(shù)學(xué)建模這門課程本身的這種提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、模型建立、模型求解、模型檢驗(yàn)、修正模型等解決問(wèn)題的思想越來(lái)越被廣大的教育工作者所接受，并廣泛應(yīng)用到各自的專業(yè)領(lǐng)域里，取得了良好的效果［7－8］。但是在運(yùn)用過(guò)程中，教師們也要把握住幾點(diǎn)：

1）如何把這些案例恰如其分地引入到課堂上，既能幫助學(xué)生們理解和應(yīng)用所學(xué)到的知識(shí)，又不喧賓奪主地占用過(guò)多的課堂時(shí)間，不能把概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)課堂變成數(shù)學(xué)建模課；

2）除了課堂上，課外也可以布置一些開(kāi)放性的數(shù)學(xué)建模案例，通過(guò)學(xué)生們自己動(dòng)手查資料，討論，激發(fā)他們自主學(xué)習(xí)的興趣，還能進(jìn)一步鞏固課堂知識(shí)；

3）對(duì)教師們也提出了更高的要求，教師們自己也要廣泛地涉獵其它專業(yè)領(lǐng)域，尋找合適的案例更新自己的案例庫(kù)，提高教學(xué)水平和科研能力。

［1］ 王新春，肖繼光，劉曉紅.案例在概率論教學(xué)中的應(yīng)用［J］.河北理工大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2010，10（2）：105-107.

［2］ 葛玉麗，徐少賢，邵曙光.在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)探討［J］.南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，9（12）：86-88.

［3］ 霍玉洪.切比雪夫不等式及其應(yīng)用［J］.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，33（6）：712-714.

［4］ 陳海杰，沙榮方，劉明華.應(yīng)用案例分析提高概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)效果［J］.東北農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2012，10（01）：98-100.

［5］ 王昕，程希明.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)案例教學(xué)探析［J］.沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，31（3）：372-375.

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［7］ 唐小峰，姚云飛.數(shù)學(xué)建模案例融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的研究［J］.阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，30（2）：87-89.

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