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    參數(shù)已知下比例函數(shù)系數(shù)線性模型的局部多項式估計

    2014-03-26 07:32:16常克亮陳貴景
    長春工業(yè)大學學報 2014年2期
    關(guān)鍵詞:正態(tài)維數(shù)線性

    ??肆?, 陳貴景

    (山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院,山西大同 037009)

    0 引 言

    函數(shù)系數(shù)模型是由Tibshirani和Hastie[1]在1993年提出的,由于函數(shù)系數(shù)模型里面存在的維數(shù)問題產(chǎn)生了很多不便,由此出發(fā),統(tǒng)計專家們對其進行了研究,提出來很多不同的解決辦法,文獻[2-5]都有體現(xiàn)。文獻[6]提出了如下模型:稱為比例函數(shù)系數(shù)線性模型。其中Y是因變量,X=(X1,X2,…,Xp)T和Z=(Z1,Z2,…,Zp)T是自變量,X與Z的獨立性不確定;但是ε獨立于X和Z,且E(ε)=0,Var(ε)=1;假定σ(·,·)是從R2p到R的確定可測函數(shù);g(·)是從R到R的一個未知可測函數(shù);Cα(γ),(α=1,2,…,p)是參數(shù)γ的已知函數(shù),γ=(γ1,γ2,…,γp)T的可知性不清楚,現(xiàn)在來考慮在假設(shè)γ已知的條件下,討論系數(shù)函數(shù)局部多項式估計及其漸近正態(tài)性,記

    1 估計和漸近正態(tài)性

    由局部多項式思想來求解:

    即關(guān)于{aα,α=1,2,…,p}和{bα,α=1,2,…,p}的極小值,設(shè)~gα(x)是使式(2)達到極小化的解的前p個值,由局部多項式思想:

    可見,x=(x1,x2,…,xp)T,eα,2p是單位向量,它的維數(shù)為2p,而且第α個分量為1,U是一個矩陣,維數(shù)是n×2p,U的第i行是

    易知W=diag(W11,W22,…,Wpp),Wii=Khα(Xiα-xα)是W的第i個對角線元素,Xiα,Ziα分別是Xα和Zα的第i個觀察值,Khα(·)=K(·/hα),K(·)是一個概率密度函數(shù),而且有緊支撐,并關(guān)于0對稱,有界非負的Lipschitz連續(xù)的,hα=hnα>0是窗寬。

    條件:

    A1:X的聯(lián)合密度p(x)以及Xα的邊際密度pα(xα)是有緊支撐的,有界的,而且是Lipschitz連續(xù)的;

    2 證 明

    引理1 令

    在假設(shè)A1和A2都成立的條件下有:

    從而

    引理2 令Mn,r(x0)=(Mn,r,λ(x0))pλ=0,在假設(shè)A1和A2都成立的條件下有:

    從而

    引理3 令Qn,r(x0)=(Qn,r,λ(x0))pλ=0,在假設(shè)A1和A2都成立的條件下有:

    從而

    由引理1、引理2和引理3得:

    3 結(jié) 語

    把局部多項式方法用到了比例函數(shù)系數(shù)線性模型的估計中,得到系數(shù)函數(shù)的局部多項式估計,并且討論了估計的漸近正態(tài)性。

    [1] Hastie T,Tibshirani R.Varying-coefficient models[J].Statist.Soc.B,1993,55(4):757-796.

    [2] Cai Z,F(xiàn)an J.Avreage regression surface for dependent[J].Multivaraiate Anal,2000,75:112-142.

    [3] Cai Z,F(xiàn)an J,Yao Q.Function-coefficient models for nonlinear time series[J].American Statist,As-soc,2000,95:451.

    [4] Fan J,Zhang J.Two-step estimation of functional lineat models with applications to longitudinal data[J].R.Statist,2000,62B:303-322.

    [5] Zhang R Q,Li G Y.Avreage estimation of function-coefficient regression models with different smoothing variables[J].Statistics &Probability,2007,77:455-461.

    [6] 張日權(quán),盧一強.變系數(shù)模型[M].北京:科學出版社,2004.

    [7] ??肆?,陳貴景.參數(shù)已知下比例函數(shù)線性模型的平均估計[J].佳木斯大學學報:自然科學版,2012(6):917-919.

    [8] 施三支,趙鳴霖.一階雙重線性時間序列模型的參數(shù)估計[J].長春理工大學學報:自然科學版,2004(1):64-68.

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