非對稱結(jié)構(gòu)振型向量的海森陣算法

張 淼

（長春工程學(xué)院理學(xué)院，吉林長春 130012）

0 引 言

目前在最優(yōu)化領(lǐng)域中，多元函數(shù)的海森陣及多元函數(shù)的二階泰勒展開式已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，但關(guān)于多元向量值函數(shù)的海森陣問題的討論，一直很少有文獻(xiàn)提及，實(shí)際上海森陣問題構(gòu)成需要計算向量值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。自1965年發(fā)展至今，有關(guān)對稱系統(tǒng)振型向量一階導(dǎo)數(shù)的計算無論從算法到應(yīng)用都已相當(dāng)成熟［1－2］，相關(guān)的一階泰勒展開式也隨之發(fā)展應(yīng)用。但非對稱系統(tǒng)的振型向量二階導(dǎo)數(shù)問題一直沒有很好的解決方案。導(dǎo)數(shù)問題在工程中也稱為靈敏度問題，文獻(xiàn)［3］提出了針對非保守系統(tǒng)的靈敏度分析方法，文獻(xiàn)［4］綜述了計算各種振系模態(tài)靈敏度的統(tǒng)一算法，文中在此基礎(chǔ)上，首先給出了多元向量值函數(shù)的海森陣定義，然后提出了非對稱系統(tǒng)振型向量的海森陣算法，并形成了非對稱系統(tǒng)正則固有振型在設(shè)計參數(shù)發(fā)生擾動后的二階泰勒近似算法，為工程應(yīng)用提供可靠且高效的算法基礎(chǔ)。

1 多元函數(shù)的海森陣

對于多元函數(shù)f（x），其中，x＝（x1x2…xn）T，f（x）的一階導(dǎo)數(shù)稱為它的梯度

式中：o（‖x－x（0）‖2）——高階無窮小。

仿此，下面給出多元向量值函數(shù)的海森陣概念及算法。

2 多元向量值函數(shù)的海森陣

若u＝（u1（b），u2（b），…，uN（b））T每一維分量均為向量b＝（b1，b2，…，bq）T的函數(shù)，因此，u＝（u1（b），u2（b），…，uN（b））T是多元向量值函數(shù)，下面考慮它的二階導(dǎo)數(shù)及海森陣算法。

定義1 設(shè)多元向量值函數(shù)u＝（u1（b），u2（b），…，uN（b））T的二階偏導(dǎo)數(shù)為：

則u＝（u1（b），u2（b），…，uN（b））T的海森陣為：

若記

那么海森陣還可改寫為

事實(shí)上，多元向量值函數(shù)的海森陣只是一個矩陣形式而已，而并不能構(gòu)成通常意義上的矩陣，因它的每個元素仍是向量，但它可方便用于向量值函數(shù)的二階泰勒展開，因此仍可沿用海森陣的名稱。

3 振型向量的海森陣算法及應(yīng)用

對N自由度的線性離散振動系統(tǒng)的運(yùn)動方程為：

式中：M——對稱系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，M∈RN×N；

C——對稱系統(tǒng)的阻尼矩陣，C∈RN×N；

K——對稱系統(tǒng)的剛度矩陣，K∈RN×N。

結(jié)構(gòu)有限元分析時，作拉普拉斯變換x（t）＝u ewt＝u eiωt（w＝iω）代入式（2）可得（w2Mu＋w Cu＋Ku）ewt＝0。令C＝0，則無阻尼固有頻率（i＝1，2，…，N，w2＝－ω2）與振型向量為ui（i＝1，2，…，N），滿足無阻尼特征方程

為表達(dá)方便，記λi＝－（i＝1，2，…，N），上式可寫成

實(shí)際上，方程（3）是關(guān)于矩陣M和K的廣義特征問題。

研究在設(shè)計參數(shù)變化時所引起的振型的變化具有廣泛的應(yīng)用。由于在設(shè)計參數(shù)發(fā)生微小變化時，結(jié)構(gòu)動力特性和動力響應(yīng)可能會引起很大的變化，在工程中用導(dǎo)數(shù)來反映這種變化的程度，有時也稱為靈敏度分析。因此，這一領(lǐng)域的研究在結(jié)構(gòu)動力分析、識別、修改、模態(tài)分區(qū)及振動控制和優(yōu)化設(shè)計等工程問題中扮演了重要的角色。例如現(xiàn)實(shí)工況中設(shè)計參數(shù)不得不面對損傷，探測及銹蝕等變化，所以人們?nèi)舨徽曉谔囟ōh(huán)境下的這種變化所引起的嚴(yán)重反映，就可能直接影響著結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的穩(wěn)定性［5］。另一方面，由于泰勒展開式在設(shè)計參數(shù)發(fā)生擾動后結(jié)構(gòu)參數(shù)隨之發(fā)生擾動的幅度的計算中具有良好的應(yīng)用性，因此，計算結(jié)構(gòu)參數(shù)及模態(tài)參數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)更加成為一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，但目前靈敏度計算所能達(dá)到的應(yīng)用水平卻很低，許多有限元程序分析軟件中關(guān)于導(dǎo)數(shù)的使用最多的表達(dá)式仍然是差分格式，Ansys中的靈敏度分析實(shí)際上是將變量變動1%，然后重新計算變動后的函數(shù)值，再用一階和二階差分來作為近似導(dǎo)數(shù)，這需要多次重復(fù)地計算，因此，文中的研究具有較好的應(yīng)用價值。

對于N自由度的線性離散振動系統(tǒng)（2），若其在設(shè)計、修正和動力分析過程中可以被設(shè)計參數(shù)向量b＝（b1，b2，…，bq）T所描繪，系統(tǒng)的性質(zhì)矩陣乃至振型向量均可看成是設(shè)計向量的函數(shù)，相應(yīng)地特征方程（3）應(yīng)為（b）u（b）＋λ（b）M（b）u（b）＝0，為了討論方便，以下仍記為如式（3）的形式。考慮系統(tǒng)的初始狀態(tài)，即設(shè)計參數(shù)取值為b（0）＝時，若取得設(shè)計參數(shù)的微小擾動Δb＝（Δb1，Δb2，…，Δbq）T時，那么振型會產(chǎn)生多大的擾動呢？與有關(guān)多元函數(shù)的泰勒展開方法類似，工程中也考慮在設(shè)計參數(shù)的初始位置處對振型作二階泰勒近似

首先規(guī)范化每個振型，規(guī)范化后的振型向量在應(yīng)用中常稱為無阻尼正則固有振型。設(shè)每個正則化系數(shù)為ai，即

記aiui＝φi，則Φ＝［φ1，φ2，…，φN］為無阻尼正則固有振型矩陣，對單頻對稱系統(tǒng)而言，不同頻率所對應(yīng)的振型關(guān)于矩陣M和K是加權(quán)正交的，即有

但如果系統(tǒng)為非對稱系統(tǒng)，無法證明不同頻率所對應(yīng)的實(shí)模態(tài)是關(guān)于質(zhì)量和剛度陣加權(quán)正交［6］，因此，需引入新的向量來實(shí)現(xiàn)類似式（5）的規(guī)范正交化。先將特征方程轉(zhuǎn)化為一般特征問題

令

則上式寫成

φi（下文中也稱為D的右特征向量）并不能對角化D，因?yàn)镈一般為非對稱矩陣，因此引入左特征向量。

定義2 對向量Ψk∈RN，如果有

則稱Ψk∈RN為矩陣D的左特征向量。

對式（7）右乘φi，對式（6）左乘，然后相減，顯然對于λk≠λi，有

并由式（8）可知

上式說明，對不同的特征值，矩陣D的左、右特征向量不僅滿足正交性，而且滿足關(guān)于D的加權(quán)正交性。適當(dāng)規(guī)范化這些左右特征向量，令

則根據(jù)式（7）有

且為了后文需要補(bǔ)充一個規(guī)范化要求：令Ψi，φi第ni個分量元素是相等的［3］，即

｛·｝i代表向量的第i個分量，其次ni的選取是依據(jù)下列原則

記Ψ＝［Ψ1，Ψ2，…，ΨN］為左特征向量矩陣，那么由式（8）～式（11）構(gòu)成下面規(guī)范正交化條件

然后是對第l個設(shè)計參數(shù)bl求二階導(dǎo)數(shù)得

整理得

將式（11）代入上式，并左乘ΨT得

可見除了方程組中的第i個方程外，均可解得

然后是關(guān)于第l個設(shè)計參數(shù)bl求導(dǎo)得做與式（16）類似的假定，將Ψi，jl在其完備的左特征空間中展開為

將式（16）與式（20）代入式（19），并使用正交性（見式（8））得

把式（16）與式（20）代入上式得

依據(jù)式（12），即

由式（22）和式（23）兩個方程可解得

上述公式中所需要的一階導(dǎo)數(shù)公式及梯度公式見文獻(xiàn)［7］。

4 結(jié) 語

克服了系統(tǒng)的非對稱性的影響，給出了左特征向量的定義，用左特征向量與振型向量的正交性來實(shí)現(xiàn)解耦功能。提出了多元向量值函數(shù)的海森矩陣的概念及計算非對稱系統(tǒng)的振型向量的海森陣算法，從而構(gòu)成了系統(tǒng)無阻尼固有振型在設(shè)計參數(shù)發(fā)生擾動后的二階泰勒近似式，為工程應(yīng)用打下了良好的基礎(chǔ)。

［1］ 張淼，于瀾，鞠偉.虧損振系廣義狀態(tài)向量靈敏度的移頻算法［J］.計算力學(xué)學(xué)報，2013，30（6）：872-878.

［2］ 張淼.基于松馳技術(shù)的重頻密頻結(jié)構(gòu)模態(tài)靈敏度分析［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，35（12）：1605-1609.

［3］ 于瀾，張淼，鞠偉，等.非保守系統(tǒng)復(fù)模態(tài)的規(guī)范正交性及其應(yīng)用［J］.華南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，45（4）：21-24.

［4］ 張淼，鞠偉.計算各種振系模態(tài)靈敏度的統(tǒng)一算法［J］.長春工程學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，13（4）：119-122.

［5］ 于瀾.模態(tài)參數(shù)的靈敏度分析在結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域中的應(yīng)用［J］.長春工程學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，13（3）：1-3.

［6］ 李德葆，陸秋海.實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析及其應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2001：79-81.

［7］ 張淼.實(shí)模態(tài)的梯度矩陣算法［J］.長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，34（5）：551-554.