基于梯度優(yōu)化法的基坑整體穩(wěn)定可靠度及模糊可靠度分析

朱海陶,廖　瑛,黃　斌,3,郭宇飛,黃　波

1． 蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011;2． 同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092;3． 同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海200092

基于梯度優(yōu)化法的基坑整體穩(wěn)定可靠度及模糊可靠度分析

朱海陶1,2,廖瑛1,黃斌1,3,郭宇飛1,黃波1

1． 蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011;2． 同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092;3． 同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海200092

作為一類重要的基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)，重力式擋土墻整體穩(wěn)定性研究一直備受眾多學(xué)者極大的關(guān)注。從可靠度的幾何意義出發(fā)，通過MATLAB編寫程序，對最危險滑弧面所對應(yīng)圓心進(jìn)行全域搜索，并利用梯度優(yōu)化法計(jì)算整體穩(wěn)定可靠度，提高了整體穩(wěn)定可靠度的計(jì)算精度。同時，計(jì)算了其模糊可靠度，對比計(jì)算結(jié)果可知，模糊可靠度理論能更加科學(xué)、全面、客觀地反映復(fù)雜的巖土工程可靠度問題的實(shí)質(zhì)。

梯度優(yōu)化法;MATLAB;全域搜索;穩(wěn)定可靠度;模糊可靠度

重力式擋土墻的整體失穩(wěn)[1]是其主要的失穩(wěn)形式之一，其整體穩(wěn)定性分析具有保證基坑穩(wěn)定的重要意義。目前，該領(lǐng)域的研究方法展現(xiàn)出以可靠度理論為基礎(chǔ)的極限狀態(tài)設(shè)計(jì)法的趨勢。但是，基于結(jié)構(gòu)可靠度理論的基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題的研究，其對應(yīng)的某種失穩(wěn)形式的功能函數(shù)往往是高度非線性函數(shù)，根據(jù)驗(yàn)算點(diǎn)法等計(jì)算可靠度需要將功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)處線性化，這不僅會降低計(jì)算精度還可能導(dǎo)致收斂速度減緩乃至不收斂，故而由可靠指標(biāo)的幾何意義出發(fā)，采用優(yōu)化算法解決這一問題是行之有效的途徑。此外，由于巖土工程問題的復(fù)雜性，基坑整體穩(wěn)定性問題除了具有隨機(jī)性特點(diǎn)以外，往往還具有模糊性特點(diǎn)，故而采用模糊可靠度理論同時考慮問題的隨機(jī)性和模糊性特點(diǎn)更為科學(xué)全面[2]。

針對基坑的整體穩(wěn)定性研究，常用方法有瑞典圓弧法、簡單條分法等。本文以簡單條分法為例，利用梯度優(yōu)化法和MATLAB編寫相應(yīng)分析程序，并利用模糊可靠度理論對某重力式擋土墻進(jìn)行整體穩(wěn)定性分析。

1　基坑整體穩(wěn)定可靠度分析

1.1整體穩(wěn)定性功能函數(shù)的建立

基坑整體穩(wěn)定性計(jì)算方法，采用圓弧滑動面簡單條分法，按總應(yīng)力法取單位墻寬，可得整體穩(wěn)定安全系數(shù)為[3]：

(1)

式中，cj、φj分別為第j土條滑弧面處土的粘聚力和內(nèi)摩擦角；bj、lj分別為第j土條的寬度和底面面積；qj為作用在第j土條上附加均布載荷標(biāo)準(zhǔn)值；△Gj為第j土條的自重，按天然重度計(jì)算；θj為第j土條對應(yīng)滑弧中點(diǎn)處法線與豎直線所成夾角。

則按照可靠度理論，當(dāng)假設(shè)地下水位位于墻體以下時，可設(shè)整體穩(wěn)定性的功能函數(shù)為：

(2)

1.2最危險滑弧面及圓心的確定

根據(jù)大量工程經(jīng)驗(yàn)和研究已知，若以樁頂中心為原點(diǎn)建立笛卡爾坐標(biāo)系并將其劃分為A、B、C、D4個區(qū)域，則最危險的滑弧通過樁最底端c點(diǎn)且其對應(yīng)圓的圓心在如圖1所示的D區(qū)域[4]。故可對該區(qū)域利用MATLAB編程進(jìn)行全域搜索，尋找最危險的滑弧面和圓心。

圖1　全域搜索示意圖Fig.1　Sketch map of global search

假定樁最底端為c點(diǎn)，滑弧左端a的初始搜索點(diǎn)為a0，滑弧右端b的初始搜索點(diǎn)為b0，則搜索步驟為：

①假定初始時a、b點(diǎn)均在樁的邊界a0、b0處，且a、b的迭代步長為0.5 m;

②假設(shè)滑弧端a、b各自搜索的總長度按工程研究經(jīng)驗(yàn)[5]取約為4.5倍的基坑深度；a每迭代一次，b就相應(yīng)地從0～4.5H的范圍內(nèi)迭代搜索，即若a向左迭代m次，b向右迭代n次，則共迭代m×n次?；端每迭代一次就判斷圓心位置，并對圓心位置在D區(qū)域的滑弧利用簡單條分法和梯度優(yōu)化法求解相對應(yīng)的可靠度；

③對D區(qū)域圓心對應(yīng)的可靠度集進(jìn)行比較，求最小可靠度。則此最小可靠度值所對應(yīng)的圓弧即為最危險圓弧，并求出相應(yīng)失效概率即可。

按上述①、②步驟利用MATLAB求解可靠度集的流程如圖2所示。

圖2　MATLAB搜索流程圖Fig.2　Flow chart of MATLAB search

1.3梯度優(yōu)化法

為簡便起見，設(shè)基本變量X=(X1,X2,…,Xn)為相互獨(dú)立的正態(tài)變量，同時，引入標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)隨機(jī)變量Y，使得Yi=(Xi-μXi)/σXi,(i=1,2,…,n)。通過變換，可得到一組相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Y=(Y1,Y2,…,Yn)。

于是功能函數(shù)即(2)式也可轉(zhuǎn)化到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間，即

(3)

(4)

利用梯度優(yōu)化法求解(4)式這一優(yōu)化問題可得驗(yàn)算點(diǎn)Y*，其中所用的迭代格式如下：

(5)

式中，Yi表示第i次迭代計(jì)算所求得的驗(yàn)算點(diǎn)；G(Yi)的梯度向量為

2　基坑整體穩(wěn)定模糊可靠度分析

傳統(tǒng)擋土墻整體穩(wěn)定性分析是以安全系數(shù)來衡量其穩(wěn)定程度，但此方法忽略了擋土墻穩(wěn)定性分析中的隨機(jī)不確定性和模糊不確定性。因此，在可靠度理論分析中同時考慮問題的隨機(jī)性和模糊性特點(diǎn)則更為科學(xué)、全面。

根據(jù)模糊數(shù)學(xué)理論，設(shè)Z是描述模糊事件狀態(tài)的隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為fZ(z)，μA(z)是描述模糊事件狀態(tài)程度的隸屬函數(shù)，則基坑失穩(wěn)的模糊失效概率為

(6)

相應(yīng)的模糊可靠度為

(7)

令基坑整體穩(wěn)定性分析的功能函數(shù)為Z=R-S，其中R為結(jié)構(gòu)抗力，S為荷載效應(yīng)。同時假定c、φ為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量、結(jié)構(gòu)抗力R和荷載效應(yīng)S均服從正態(tài)分布，則有功能函數(shù)Z亦服從正態(tài)分布，且概率密度函數(shù)為

(8)

其中，μz和σz分別為Z的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，可分別按下述公式計(jì)算[8]：

(9a)

(9b)

對于隸屬函數(shù)可選取如式(10)所示的降嶺形分布

(10)

對其模糊過渡區(qū)上下限的確定可根據(jù)模糊類型，結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)和文獻(xiàn)[9]選定為a=0.8,b=1.1。

則，將式(8)和式(10)代入式(6)、(7)即可求出整體穩(wěn)定性的模糊失效概率和模糊可靠度。

3　實(shí)例分析

根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的實(shí)際工程，某大酒店的基坑開挖深度H=5.78 m，地面均布垂直荷載為q=10 kPa，采用直徑為φ=0.8 m的鉆孔灌注樁，樁長14 m。為簡化起見，樁身所在土層的土性參數(shù)粘聚力c、摩擦角φ和土層重度γ可按土層厚度進(jìn)行加權(quán)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1　土體參數(shù)及概率特征

將實(shí)例數(shù)據(jù)代入MATLAB程序，以及利用Mathematica計(jì)算所得的失效概率及各自相應(yīng)的可靠度如表2所示。其中，根據(jù)MATLAB搜索最危險的滑弧所對應(yīng)的圓心坐標(biāo)為(-8.16,177.21)，且根據(jù)對最危險滑弧面所對應(yīng)可靠度的迭代計(jì)算如表3所示：

表2　各計(jì)算模型所求失效概率及可靠度

表3　最危險滑弧面梯度優(yōu)化法迭代次數(shù)及其穩(wěn)定可靠度

由于基坑失穩(wěn)所對應(yīng)的概率標(biāo)準(zhǔn)目前尚無規(guī)定，一般多以10-2～10-3為參考。對比分析表2可知，利用模糊可靠度理論所求得的失效概率較之于利用梯度優(yōu)化法所求得的失效概率偏大，但兩種方法所求得的基坑都是安全的，這與工程實(shí)際是相符合的。并且，由表3可知，梯度優(yōu)化法具有迭代次數(shù)少、計(jì)算量小的特點(diǎn)。

4　結(jié)論

(1)通過MATLAB編程進(jìn)行最危險滑弧面所對應(yīng)圓心的全域搜索，使擋土墻整體穩(wěn)定性問題的研究程序化，提高了擋土墻穩(wěn)定可靠度計(jì)算的精度。從某種程度上，推動了重力式擋土墻整體穩(wěn)定性的研究。

(2)在簡單條分法的基礎(chǔ)上，從可靠度的幾何意義出發(fā)，利用梯度優(yōu)化法求得相應(yīng)可靠度，避免了傳統(tǒng)方法處理高次非線性問題的誤差和發(fā)散問題。

(3)對比模糊可靠度和穩(wěn)定可靠度不難發(fā)現(xiàn)：由于模糊可靠度理論既考慮了問題的隨機(jī)性又考慮了模糊不確定性特點(diǎn)，因此模糊可靠度理論能更科學(xué)、全面地反映復(fù)雜巖土工程問題的實(shí)質(zhì),為巖土工程問題研究提供一種新的思路。

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(責(zé)任編輯：張英健)

StableReliabilityandFuzzyReliabilityAnalysisofFoundationPitBasedonGradientOptimizationMethod

ZHUHaitao1,2，LIAOYing1，HUANGBin1,3，GUOYufei1，HUANGBo1

1． School of Civil Engineering，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou Jiangsu 215011，China;2． School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics，Tongji University，Shanghai 200092，China;3． School of Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China

Asakindofimportantfoundationpitsupportingstructure,thegravityretainingwallhasalwaysdrawnmanyscholars'attention.Aimingtostartwiththeaspectofthegeometricmeaningofreliability,wecanusetheglobalsearchingmethodofthemostdangerousslidingsurfacecorrespondingtothecenterofthecirclethroughMATLABprogramming,andusethegradientoptimizationmethodtocalculatetheoverallstabilityreliability.Finally,theaccuracyoftheoverallstabilityisimproved.Theresultsofcomparisoncanbeknownthatfuzzyreliabilitytheorycanbemorescientific,comprehensiveandobjectivetoreflecttheessenceofcomplexgeotechnicalengineeringreliabilityproblem.

gradientoptimizationmethod;MATLAB;globalsearch;stablereliability;fuzzyreliability

10.16018/j.cnki.cn32-1650/n.201503017

2015-06-12

朱海陶(1992-)，男，江蘇如皋人，碩士生，主要研究方向?yàn)榉蔷鶆虿牧虾徒Y(jié)構(gòu)的力學(xué)行為。

TU476；O159

A

1671-5322(2015)03-0075-04