掌握基本知識 輕松解決問題

韓俊元

中考中經(jīng)常會涉及“平面圖形的認(rèn)識（一）”中的問題，這些問題難度不大，我們只有掌握好基本知識，就能迅速準(zhǔn)確解決.

一、 有關(guān)“角”的問題

例1 （2013·江蘇淮安）如圖1，三角板的直角頂點(diǎn)在直線l上，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)是______.

【分析】 由三角板的直角頂點(diǎn)在直線l上，根據(jù)平角的定義可知∠1與∠2互余，又∠1=40°，即可求得∠2的度數(shù).

【解答】 如圖，三角板的直角頂點(diǎn)在直線l上，則∠1+∠2=180°-90°=90°.

∵∠1=40°，∴∠2=50°.

故答案為50°.

【點(diǎn)評】 本題只要理解平角、互余的定義即可解決問題，是基礎(chǔ)題，熟記互為余角的兩個(gè)角的和等于90°是解題的關(guān)鍵.

例2 （2013·浙江湖州）把15°30′化成度的形式，則15°30′=____度.

【分析】 15°30′=15°+（30÷60）°=15.5°，故填15.5.

【點(diǎn)評】 本題考查了角的單位：度、分、秒的換算. 由高級單位變成低級單位乘進(jìn)率，由低級單位變成高級單位除以進(jìn)率.

例3 （2014·福建泉州）如圖2，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOD=50°，則∠BOC=______°.

【分析】 根據(jù)對頂角相等，可得答案.

【解答】 ∵∠BOC與∠AOD是對頂角，∴∠BOC=∠AOD=50°，故答案為50.

【點(diǎn)評】 本題考查了對頂角與鄰補(bǔ)角，對頂角相等是解題關(guān)鍵.

例4 如圖3，OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）.

A. 50° B. 60° C. 65° D. 70°

【分析】 先根據(jù)OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，∠AOB=40°，∠COE=60°，求出∠BOC與∠COD的度數(shù)，再根據(jù)∠BOD=∠BOC+∠COD即可得出結(jié)論.

【解答】 ∵ OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，∠AOB=40°，∠COE=60°，

∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°，

∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.

故選D.

【點(diǎn)評】 本題考查的是角的計(jì)算，熟知角平分線的定義是解答此題的關(guān)鍵.

二、 有關(guān)“線”的問題

例5 （2013·湖北武漢）兩條直線最多有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線最多有3個(gè)交點(diǎn)，四條直線最多有6個(gè)交點(diǎn)，…，那么六條直線最多有（ ）.

A. 21個(gè)交點(diǎn) B. 18個(gè)交點(diǎn)

C. 15個(gè)交點(diǎn) D. 10個(gè)交點(diǎn)

【分析】 兩條直線的最多交點(diǎn)數(shù)為：×1×2=1，

三條直線的最多交點(diǎn)數(shù)為：×2×3=3，

四條直線的最多交點(diǎn)數(shù)為：×3×4=6，

所以，六條直線的最多交點(diǎn)數(shù)為：×5×6=15.

【解答】 C.

【點(diǎn)評】 本題屬于找規(guī)律的問題，它建立在直線與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)變化之上，我們應(yīng)該從特殊情形考慮，進(jìn)而總結(jié)歸納出規(guī)律.

例6 （2014·山東濟(jì)寧）把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程. 用幾何知識解釋其道理正確的是（ ）.

A. 兩點(diǎn)確定一條直線

B. 垂線段最短

C. 兩點(diǎn)之間線段最短

D. 三角形兩邊之和大于第三邊

【分析】 此題為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，由題意把一條彎曲的公路改成直道，肯定要盡量縮短兩地之間的路程，這就用到兩點(diǎn)間線段最短定理.

【解答】 要想縮短兩地之間的路程，就盡量使兩地在一條直線上，因?yàn)閮牲c(diǎn)間線段最短. 故選C.

【點(diǎn)評】 本題考查了線段的性質(zhì)，牢記線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

三、 綜合型問題

例7 如圖4，已知∠AOB是直角，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.

（1） 若∠BOC=60°，求∠EOF的度數(shù)；

（2） 若∠AOC=x°（x>90），此時(shí)能否求出∠EOF的大??？若能，請求出它的數(shù)值；若不能，請用含x的代數(shù)式來表示.

【分析】 解決本題首先要抓住∠EOF=∠COE-∠COF，對于第（1）問，直接求出∠COE、∠COF這兩個(gè)角即可，而第（2）問，則要設(shè)∠AOC=x°，然后用x表示出∠COE、∠COF這兩個(gè)角即可.

【解答】（1） 因?yàn)椤螦OB=90°，∠BOC=60°，所以∠AOC=150°.

又因?yàn)镺E平分∠AOC，所以∠COE=75°.

又OF平分∠BOC，所以∠COF=30°.

所以∠EOF=∠COE-∠COF=45°.

（2） 因?yàn)椤螦OC=x°（x>90），且OE平分∠AOC，

所以∠COE=

°.

又因?yàn)椤螦OB=90°，所以∠BOC=（x-90）°.

又因?yàn)镺F平分∠BOC，所以∠COF=

°.

所以∠EOF=∠COE-∠COF=

°-

°=45°.

【點(diǎn)評】 緊緊抓住角的和差表示，結(jié)合角平分線的定義，運(yùn)用從特殊到一般的思想方法，問題則會化難為易.

例8 如圖5，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B是數(shù)軸上在A點(diǎn)左邊的一點(diǎn)，且AB=14. 動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（t>0）秒.

（1） 寫出數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)______；點(diǎn)P表示的數(shù)_____（用含t的代數(shù)式表示）；

（2） 動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，問點(diǎn)P運(yùn)動多少秒時(shí)追上點(diǎn)Q？

（3） 若M為AP的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)， 點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長.

【分析】 （1） 根據(jù)已知可得B點(diǎn)表示的數(shù)為8-14；點(diǎn)P表示的數(shù)為8-5t；

（2） 點(diǎn)P運(yùn)動x秒時(shí)，在點(diǎn)C處追上點(diǎn)Q，則AC=5x，BC=3x，根據(jù)AC-BC=AB，列出方程求解即可；

（3） 分①當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，利用中點(diǎn)的定義和線段的和差求出MN的長即可.

【解答】 （1） ∵ 點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B在A點(diǎn)左邊，AB=14，

∴ 點(diǎn)B表示的數(shù)是8-14=-6，

∵ 動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（t>0）秒，

∴ 點(diǎn)P表示的數(shù)是8-5t.

故答案為：-6，8-5t.

（2） 設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動x秒時(shí)，在點(diǎn)C處追上點(diǎn)Q，則AC=5x，BC=3x，

∵ AC-BC=AB，

∴ 5x-3x=14，解得：x=7，

∴ 點(diǎn)P運(yùn)動7秒時(shí)追上點(diǎn)Q.

（3） 線段MN的長度不發(fā)生變化，都等于7，理由如下：

∵ ① 當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)：

MN=MP+NP=（AP+BP）=AB=7；

② 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)：

MN=MP-NP=（AP-BP）=AB=7.

【點(diǎn)評】 本題屬于一道綜合題，不僅用到了線段的知識，還結(jié)合了數(shù)軸、方程、兩點(diǎn)之間的距離等相關(guān)知識，同時(shí)還運(yùn)用了初中階段經(jīng)常遇到的一種數(shù)學(xué)思想方法——分類討論.

（作者單位：江蘇省鹽城市初級中學(xué)）俊元