例談數(shù)學(xué)中考中直尺、直角三角板放置的問題

鐘雁平

直尺、直角三角板這兩種學(xué)具是大家再熟悉不過的操作工具.以往的考場上，這些學(xué)具主要是用來測量和作圖的.在近幾年的中考試卷中，這些學(xué)具又呈現(xiàn)出不同的角色，它們成了一些中考數(shù)學(xué)試題的問題背景，操作工具演變成了探究載體.學(xué)具的融入讓“冰冷”的中考題透出一股靈氣，勾畫出一道道立意新穎、構(gòu)思巧妙的數(shù)學(xué)模型，為同學(xué)們的思維搭建起操作平臺，使同學(xué)們的探究多了一份空間，較好地考查了同學(xué)們觀察、實驗、比較、聯(lián)想、類比、歸納的能力以及運(yùn)動變化、分類討論思想等的綜合運(yùn)用能力，因此受到了各地中考命題專家的青睞.現(xiàn)就近年來中考試題中選取一些有代表性的以三角板、直尺為背景材料設(shè)計的數(shù)學(xué)問題，結(jié)合“平面圖形的認(rèn)識”進(jìn)行分類評析，與同學(xué)們分享.

一、 由一塊直角三角板和直尺組成的問題

此類問題是將直角三角板與直尺疊放在一起，利用平角、直角三角板的內(nèi)角度數(shù)的兩種情況：90°，45°，45°和90°，60°，30°，求邊線形成的角度.解這類題要利用好對頂角、鄰補(bǔ)角、余角等知識點.

例1 （2012·孝感）如圖1，某同學(xué)在課桌上隨意將一塊三角板的直角疊放在直尺上，求∠1+∠2的度數(shù).

【解答】如圖1所示，

∵∠1和∠3互為對頂角，∴∠1=∠3，

又∵∠2和∠4互為對頂角，∴∠2=∠4，

∴∠1+∠2=∠3+∠4，

又∵∠A=90°，∴∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2=90°.

【點評】本題主要考查對頂角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把所求角與已知角轉(zhuǎn)化到同一個直角三角形中，利用三角板直角的特性，尋找角的等量關(guān)系.

例2 （2010·荊州）如圖2，一根直尺EF壓在三角板30°的角∠BAC上，與兩邊AC、AB交于M、N.那么∠CME+∠BNF是（ ）.

A. 150° B. 180°

C. 135° D. 不能確定

【解答】根據(jù)對頂角的性質(zhì)可知，

∠CME=∠NMA，∠BNF=∠MNA，

所以∠CME+∠BNF=∠NMA+∠MNA.

又因為∠MNA+∠NMA+∠A=180°，∠A=30°，

所以∠MNA+∠NMA=180°-30°=150°.

從而可知，∠CME+∠BNF=150°，故選A.

【點評】本題以同學(xué)們非常熟悉的三角板和直尺為背景，創(chuàng)設(shè)了既具有一定現(xiàn)實意義又貼近學(xué)習(xí)生活的問題情境，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，能激發(fā)同學(xué)們將所學(xué)知識應(yīng)用到現(xiàn)實中去.

例3 （2015·四川廣元，改編）一直角三角板與一直尺如圖3所示方式擺放，并且∠1比∠2大50°，求∠1與∠2的度數(shù).

【解答】∵∠1比∠2大50°，

∴∠1=∠2+50°，

∵∠1與∠2互余，∴∠1+∠2=90°，

∴∠2+50°+∠2=90°，∴∠2=20°，

∴∠1=20°+50°=70°.

【點評】本題考查了補(bǔ)角和余角的概念，以及方程思想的運(yùn)用.

二、 由一副直角三角板組成的問題

一副直角三角板是由兩種直角三角形（30°，60°， 90°和45°，45°，90°）組成.以它為媒介，充分利用這些角度和邊長之間的關(guān)系進(jìn)行拼接，可以拼出許許多多、形形色色的數(shù)學(xué)題，挖掘很多的數(shù)學(xué)知識.解決這類中考試題，我們要認(rèn)清這樣的一些事實：它的每個角的度數(shù)，邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系，角與邊之間的關(guān)系.要充分利用這些隱含的條件，再結(jié)合其他的數(shù)學(xué)知識來解決問題.當(dāng)然同學(xué)們在思考問題時，自然也會用手中的直角三角板實際操作，更能體現(xiàn)中考注重“做數(shù)學(xué)”的原則.

例4 （2014·漳州）如圖4，將一副直角三角尺疊放在一起，使直角頂點重合于點O，繞點O任意轉(zhuǎn)動其中一個三角尺，則與∠AOD始終相等的角是_______.

【解答】∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，

∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-∠BOD，

∴∠AOD=∠BOC.

故答案為：∠BOC.

【點評】本題以同學(xué)們非常熟悉的一副直角三角板為背景，為大家提供動手實踐操作設(shè)計的空間.因為是一副直角三角板，所以∠AOB=∠COD=90°，再利用∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-∠BOD，同角的余角相等，可知與∠AOD始終相等的角是∠BOC.本題主要考查了余角和補(bǔ)角，用到同角的余角相等.

例5 （2015·菏澤）將一副直角三角尺如圖5放置，若∠AOD=20°，則∠BOC的大小為（ ）.

A. 140° B. 160°

C. 170° D. 150°

【解答】∵將一副直角三角尺如圖放置，∠AOD=20°，

∴∠COA=90°-20°=70°，

∴∠BOC=90°+70°=160°.

故選：B.

【點評】在進(jìn)行角度的有關(guān)計算時，一個角在必要時應(yīng)將其拆成幾個角的和與差以及互余的關(guān)系，以便快速解決問題.

例6 （2015·黑龍江綏化）將一副三角尺按如圖方式進(jìn)行擺放 ，∠1、∠2不一定互補(bǔ)的是（ ）.

【分析】如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補(bǔ)角，即其中一個角是另一個角的補(bǔ)角，據(jù)此分別判斷出每個選項中∠1+∠2的度數(shù)和是不是180°，即可判斷出它們是否一定互補(bǔ).

【解答】如圖6，

∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4，

∵∠1+∠4=180°，∴∠1+∠2=180°.

∴∠1、∠2互補(bǔ).

如圖7，

∵∠2+∠4=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠3，

∵∠1+∠3=180°，

∴∠1+∠2=180°，

∴∠1、∠2互補(bǔ).

如圖8，

∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4，

∵∠1+∠4=180°，

∴∠1+∠2=180°，

∴∠1、∠2互補(bǔ).

如圖9，

∵∠1=90°，∠2=60°，

∴∠1+∠2=90°+60°=150°，

∴∠1、∠2不互補(bǔ).故選：D.

【點評】此題主要考查了余角和補(bǔ)角的性質(zhì)和應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：同角（等角）的補(bǔ)角相等，同角（等角）的余角相等，并能分別判斷出每個選項中的∠1+∠2的度數(shù)和是不是180°.

中學(xué)數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展.它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展.

直尺與一副三角板是大家學(xué)習(xí)生活當(dāng)中經(jīng)常使用的測量工具和作圖工具，當(dāng)它們走進(jìn)中考試題時，你們對它們有著異樣的親切感，這類題目巧妙地使直尺與三角板、三角板與三角板成為一對對默契搭檔，不斷地在中考中演繹出精彩，更好地激發(fā)你們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更讓你們體會到數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實生活，生活處處有數(shù)學(xué).通過對這類試題的解決，能夠充分鍛煉你們的數(shù)學(xué)思維，使你們體驗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂和成功感，有助于提升你們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

（作者單位：江蘇省吳江區(qū)實驗中學(xué)）