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    《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教學(xué)的研究

    2016-02-26 20:13:41馮麗萍
    科技視界 2016年3期
    關(guān)鍵詞:復(fù)變函數(shù)教學(xué)

    馮麗萍

    【摘 要】《復(fù)變函數(shù)與積分變換》是工程數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)課程,本文針對該課程課時少而內(nèi)容多的特點,對這門課程的教學(xué)提出幾點個人看法。

    【關(guān)鍵詞】復(fù)變函數(shù);積分變換;教學(xué)

    《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程是大學(xué)本科理工科類專業(yè)的一門基礎(chǔ)課。復(fù)變函數(shù)論主要是在研究流體力學(xué)、電力學(xué)、空氣動力學(xué)、熱力學(xué)以及理論物理學(xué)中發(fā)展起來的,為解決這些學(xué)科的一些實際問題起了相當(dāng)大的作用。復(fù)變函數(shù)與積分變換理論和數(shù)學(xué)的其他分支也有密切聯(lián)系。復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的拓展和延伸,其中的保形映射在偏微分方程中有著重要的應(yīng)用;積分變換中的傅立葉變換在微分方程、積分方程、概率與數(shù)理統(tǒng)計論、泛函分析學(xué)以及數(shù)論等學(xué)科中都是重要的工具。即使是最簡單的函數(shù),比如多項式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等,也只有在復(fù)變函數(shù)中才能體現(xiàn)其本質(zhì)。另外,作為一種特別有用的工具,復(fù)變函數(shù)當(dāng)中的留數(shù)理論可以用來解決很多高等數(shù)學(xué)中難以解決的問題。因此,復(fù)變函數(shù)與積分變換以它的完美的理論與精湛的技巧成為大學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要組成部分。

    雖然《復(fù)變函數(shù)與積分變換》這門課程有著重要的作用,不過大部分高校對此課程設(shè)置的課時都比較少,基本上都是三十二學(xué)時或者四十八學(xué)時,相對于《高等數(shù)學(xué)》來說,這些課時是非常有限的。在有限的時間內(nèi),如何能讓學(xué)生充分利用每周的少量課時,理解和掌握這門課程的精髓,并為以后的各門專業(yè)課打下堅實的基礎(chǔ),這一點對于每一位授課老師以及學(xué)生來說都是極其重要的。以下根據(jù)我任教十幾年來對該門課程的理解,簡單談?wù)勎覍?fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)的幾點看法。

    1 總結(jié)同一概念和性質(zhì)在復(fù)變函數(shù)和高等數(shù)學(xué)中的相似與不同,加強理解和記憶

    《復(fù)變函數(shù)與積分變換》這門課程的內(nèi)容主要有兩部分,前半部分是復(fù)變函數(shù),后半部分是積分變換。其中復(fù)變函數(shù)以理論為主,積分變換以應(yīng)用為主。復(fù)變函數(shù)是以高等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ),同時也是高等數(shù)學(xué)中實數(shù)域向復(fù)數(shù)域的擴展,因此復(fù)變函數(shù)中的大部分概念都是和高等數(shù)學(xué)的概念類似,性質(zhì)也基本上都是相同的。其中第一章復(fù)變函數(shù)的概念中,區(qū)域的概念,復(fù)變函數(shù)的概念,復(fù)變函數(shù)的極限的概念,復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等和實數(shù)域中相似;第三章復(fù)變函數(shù)的積分中,積分的概念和實數(shù)域的定積分,重積分的概念一致,都是通過對所求變量按照“分割,近似替代,求和,取極限”這四個過程來定義的;第四章級數(shù)中,復(fù)變函數(shù)的冪級數(shù),泰勒級數(shù)也與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的級數(shù),泰勒級數(shù)的概念一致。在講授這些內(nèi)容的時候,任課老師可以先和同學(xué)們一起簡單的回憶《高等數(shù)學(xué)》中的概念和性質(zhì),與復(fù)變函數(shù)結(jié)論有區(qū)別的地方可以重點說明,接著講解新內(nèi)容,相似點可以直接類比,對于不同的地方需要重點強調(diào),而且可以啟發(fā)學(xué)生去思考不同之處的根源。復(fù)變函數(shù)中的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是無界函數(shù),指數(shù)函數(shù)是周期函數(shù),對數(shù)函數(shù)是多值函數(shù)等,這些內(nèi)容如果任課教師在講臺上只是一味的照本宣科,學(xué)生會覺得這是內(nèi)容的重復(fù),聽起課來肯定興趣不高;如果老師能充分調(diào)動學(xué)生的積極性,讓他們自己去帶著問題思考,帶著問題聽課,讓他們自己找到相似點和區(qū)別,不僅師生之間可以有良好的互動性,學(xué)生也會對自己總結(jié)的這些知識加深印象。

    2 把握側(cè)重點,強調(diào)課程的特色

    《復(fù)變函數(shù)與積分變換》這門課的課時一般不多,但是它包含的內(nèi)容卻很多,因此要想在比較少的時間內(nèi)將所有的內(nèi)容都詳細的介紹,那肯定是不可能的。授課老師在上課之前應(yīng)該掌握該課程的側(cè)重點,合理的安排好每個章節(jié)的授課時間。在第一章復(fù)變函數(shù)中,復(fù)數(shù)的輻角和復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)的三角表示和幾何表示以及復(fù)數(shù)的運算是以后各章內(nèi)容的基礎(chǔ),這部分內(nèi)容只有講透,學(xué)生才能在以后的學(xué)習(xí)中有個扎實的基礎(chǔ)。復(fù)數(shù)域中的無窮遠點是唯一的一個點,很多課時少的學(xué)校將這部分內(nèi)容作為選講內(nèi)容,但我個人認(rèn)為這是個基礎(chǔ)知識,無窮遠點可以在很多時候簡化計算量,是個很有用的工具,而且在積分變換的內(nèi)容中也會涉及到這方面的知識,這個知識點需要強調(diào)一下;第二章解析函數(shù)中,解析函數(shù)以及解析函數(shù)的充要條件是重點,也是研究復(fù)變函數(shù)在孤立奇點處留數(shù)的前提;第三章復(fù)變函數(shù)的積分,這部分內(nèi)容可以簡單介紹原理,為以后介紹洛朗級數(shù)和留數(shù)做前提;至于用柯西積分公式,柯西古薩定理和高階導(dǎo)數(shù)公式去計算封閉曲線的積分可以簡單讓學(xué)生理解;第四章級數(shù),洛朗級數(shù)是重點,任課老師要讓學(xué)生理解洛朗級數(shù)和泰勒級數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別,并學(xué)會如何將同一復(fù)變函數(shù)在不同點,不同的圓環(huán)域內(nèi),展開成洛朗級數(shù);第五章留數(shù)是個新的概念,也是復(fù)變函數(shù)的核心,對學(xué)生來說是個全新的知識,任課老師在講授這部分內(nèi)容時可以適當(dāng)放慢速度,利用解析函數(shù)和洛朗級數(shù)的相關(guān)理論讓學(xué)生理解核心概念-留數(shù)的定義,掌握利用留數(shù)和洛朗級數(shù)去解決積分問題的方法。留數(shù)是復(fù)變函數(shù)理論當(dāng)中一個重要知識點,留數(shù)理論也可以用來解決一些高等數(shù)學(xué)中很難求解的積分問題。這樣學(xué)生可以感受到復(fù)變函數(shù)除了是實數(shù)域中理論的拓展,還可以反過來解決實數(shù)域中的很多難題。

    3 積分變換是一個工具,側(cè)重于應(yīng)用

    積分變換中主要有兩個積分變換-傅立葉變換和拉普拉斯變換。這兩個變換是相互聯(lián)系又有區(qū)別。傅立葉變換是由周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)推廣得到的,拉普拉斯變換是在傅立葉變換的基礎(chǔ)上優(yōu)化得來的,這一部分的概念可以簡單講解。積分變換部分關(guān)鍵是要讓學(xué)生學(xué)會利用這兩個工具解決一些實際問題,比如在現(xiàn)代信號處理的應(yīng)用等等;也可以增加一些時尚的和生活實際的應(yīng)用問題,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)然這也對授課老師提出了較高的要求,要求教師能夠?qū)Ψe分變換的可能的應(yīng)用領(lǐng)域以及在其他實際中的用途等多方面的知識都有了解,以方便在教學(xué)中隨時可以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

    4 結(jié)合多媒體,縮短板書時間;縮短上課的周期,提高效率

    復(fù)變函數(shù)中有部分概念需要很強的空間想象能力,例如基本初等函數(shù)的實部與虛部、復(fù)數(shù)的模與輻角、復(fù)球面的概念,函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)等;積分變換部分,工程上經(jīng)常出現(xiàn)的單位脈沖函數(shù),這些對于剛剛接觸到這門課程的學(xué)生來說,都是是非常抽象的。如果可以通過多媒體軟件展示這些概念,就會直觀的多,學(xué)生也容易理解。對工科的大部分學(xué)生來說,復(fù)變函數(shù)與積分變換只是一個解決問題的工具,很多結(jié)論沒有必要要求學(xué)生去掌握具體原因,只需要學(xué)會并熟練運用結(jié)論就可以了。比如第三章的柯西-古薩定理,復(fù)合閉路定理,柯西積分公式,高階導(dǎo)數(shù)公式等這些結(jié)論,學(xué)生只要能會運用就可以了。但是這幾個結(jié)論相對來說都很長,如果授課老師板書到黑板上需要浪費很多時間,如果只是照著課本念一下,學(xué)生又沒有什么印象。利用電子ppt,在每次需要用的時候可以直接拿出來,而且可以針對每個結(jié)論,對應(yīng)的舉例說明,那樣就可以節(jié)省不少的時間。

    最后對于小學(xué)時的課程,希望能夠縮短上課的周期,變成前半學(xué)期或者后半學(xué)期教學(xué)。這一點部分高校已經(jīng)開始實行,一周一次的課程教學(xué)效果遠遠有一周兩三次的效果好。

    當(dāng)然授課老師在課堂上為了增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,可以適當(dāng)滲透一些現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想,為學(xué)生進一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識提供一些接口;聯(lián)系其他相關(guān)課程的知識和工程實際應(yīng)用,以加強學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。比如利用留數(shù)計算積分是復(fù)變函數(shù)理論中一個重要知識點,課堂上除了詳細介紹這些之外也可以介紹一下留數(shù)計算的物理應(yīng)用,如在數(shù)字濾波器性能分析和形狀設(shè)計中的應(yīng)用等,這對于部分同學(xué)來說也是激起他們學(xué)習(xí)興趣的一些理由。

    【參考文獻】

    [1]復(fù)變函數(shù).西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室編[M].4版.高等教育出版社.

    [2]復(fù)變函數(shù)與積分變換.華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系編[M].2版.高等教育出版社.

    [3]積分變換.東南大學(xué)數(shù)學(xué)系張元林編[M].4版.高等教育出版社.

    [責(zé)任編輯:楊玉潔]

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