乾嘉算學(xué)家對(duì)借根方與天元術(shù)看法的轉(zhuǎn)變

魏雪剛

(中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所，北京 100190)

東西文明的遭遇與沖撞是科技史研究的一個(gè)取向，西算在中國(guó)的境遇又是清代算學(xué)史重要且有趣的話題。就借根方來(lái)說(shuō)，它經(jīng)歷了從傳入宮廷而被接受，到被收入《數(shù)理精蘊(yùn)》而廣為傳播，又到中算家受其助力而掌握天元術(shù)，再到中算家對(duì)借根方和天元術(shù)看法的轉(zhuǎn)變等等，這一切值得我們進(jìn)行具體而微的研究。韓琦考察了借根方的傳入與乾嘉古算的復(fù)興[1—2]。本文嘗試在此基礎(chǔ)上，從算法的視角出發(fā)，對(duì)借根方在乾嘉時(shí)期的具體遭遇展開(kāi)進(jìn)一步的討論。

1797年春，李銳(1769—1817)?！稖y(cè)圓海鏡》完成，這是一大關(guān)節(jié)處[3]，在此之前，算學(xué)家對(duì)借根方有較高的評(píng)價(jià)，在此之后，多數(shù)算家雖仍認(rèn)為借根方有很高的價(jià)值，他們卻轉(zhuǎn)而傾向于天元術(shù)。中算史家多注意到了這一轉(zhuǎn)變，就其轉(zhuǎn)變的原因，洪萬(wàn)生、劉鈍從乾嘉學(xué)派與算學(xué)的關(guān)系展開(kāi)論述[4—5]，田淼從擇善而從的角度進(jìn)行分析[6—7]。他們的研究頗具啟發(fā)性，不過(guò)我們認(rèn)為這種轉(zhuǎn)變的原因極為復(fù)雜，需要從多個(gè)角度來(lái)討論。因此，我們?cè)谥匦驴疾煜嚓P(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，力圖尋找更多的原因，卻始終未曾想對(duì)此問(wèn)題做一全面而完備的回答，這或許也是根本不可能的。

1 乾嘉算學(xué)家未接觸到的借根方內(nèi)容

而在中算家看來(lái)，寄母和正負(fù)開(kāi)方法卻是天元術(shù)優(yōu)于借根方的關(guān)鍵(3)事實(shí)上，中算家對(duì)寄母的重視淵源有自，《張邱建算經(jīng)·序》：“學(xué)算者不患乘除之為難，而患通分之為難?！崩罴毒耪滤阈g(shù)音義》：“能治諸分，則數(shù)學(xué)之能事盡矣?！比钤懂犎藗鳌肪砹皬埱窠ā睏l：“之分之術(shù)明，則《九章》之要一以貫之?！?。如阮元(1764—1849)所說(shuō)：

“西法之所自詡者，用八線推三角角度暨借根方而已。不知借根方即天元一，而較遜于天元一，以不善寄母兼不善古開(kāi)方法，故三乘方已上與夫正負(fù)雜糅之方，皆借根之所窮。而三角八線未見(jiàn)于天元一，習(xí)西法者遂疑天元亦于此有窮。茗香羅君則謂元人之書所以不馭此者，彼時(shí)三角法未入中土也。”[11]

羅士琳(1774—1853)為了說(shuō)明天元無(wú)窮，專門寫作了《三角和較算例》一書。

其實(shí)，《借根方算法》中的未知數(shù)表達(dá)形式并不限于“根”“方”，且不限于“甲”“乙”二字，正如題中雙行夾注所言：“此法內(nèi)用甲、乙、丙、丁字，不用根數(shù)。”這里選擇天干表達(dá)未知數(shù)，具有明顯的符號(hào)化特征，若把天干換成現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的x、y、z也未嘗不可?！督韪剿惴ā飞暇碇蜕暇碇写罅坑锰旄杀硎疚粗獢?shù)的例子，但其指數(shù)均為1?？磥?lái)，《借根方算法》中的借根方也可解決多元一次問(wèn)題，而天元術(shù)(四元術(shù))則不能解決五元以上的題目。同樣可惜的是，《借根方比例》未收錄這種天干表示法(4)明安圖《割圓密率捷法》卷三“分弧通弦率數(shù)求全弧通弦率數(shù)”注云：“借根方法任借數(shù)根俱可，故古法有立天元一、地元一、人元一者，《四元玉鑒》又有所謂四元者，皆此類也。”看來(lái)明安圖對(duì)借根方未知數(shù)表達(dá)方法的理解更接近《借根方算法》，但這未在當(dāng)時(shí)產(chǎn)生影響。。

如此看來(lái)，乾嘉算家未能見(jiàn)到借根方的本來(lái)面貌，忽略了不少關(guān)鍵要素，以致它的優(yōu)勢(shì)無(wú)法在當(dāng)時(shí)發(fā)揮出來(lái)。算家正是在這種情況下來(lái)討論借根方與天元術(shù)的異同問(wèn)題。

2 中算家對(duì)借根方與天元術(shù)異同的比較

乾嘉算學(xué)家對(duì)借根方與天元術(shù)的異同多有辨析。梅瑴成(1681—1763)的《赤水遺珍》就是這樣。該書用借根方解釋天元術(shù)[12]，具體而言，借根方等式兩側(cè)均不為零，即f(x)=g(x)；天元術(shù)相消后得到開(kāi)方式，形式類似于f(x)(或f(x)=0)。就各項(xiàng)的正負(fù)而言，相消前后兩種形式是有差別的，梅瑴成并不關(guān)心這種差異?！坝喙从喙汕笕輬A徑”問(wèn)得到負(fù)平方、負(fù)一次方、正常數(shù)的開(kāi)方式后，梅瑴成注曰：“則右余一天元冪與左余九萬(wàn)六千少八十根相等也。”([13]，頁(yè)13a)其中，平方的正負(fù)相反。不僅如此，他還用天元術(shù)的術(shù)語(yǔ)解釋借根方?！坝邢遗c積求勾股”問(wèn)先借根為勾，后得一等式：676x2-x4=57600。這被描述成正實(shí)、從廉、負(fù)隅，然而按照天元術(shù)的方法，這只能是正實(shí)、負(fù)廉、正隅或負(fù)實(shí)、從廉、負(fù)隅。隨后的開(kāi)方卻采用了“負(fù)隅、益積三乘方”法，不知梅瑴成是否留意到這里的矛盾。這個(gè)縫隙在乾嘉時(shí)期有很大的影響。梅瑴成對(duì)朱世杰的評(píng)價(jià)不高，原因有二：一，《四元玉鑒》“或問(wèn)歌彖”第一問(wèn)用“正隅”“從隅”兩詞指代正二次方，梅瑴成稱這是“故異其詞”([13]，頁(yè)16a)。二，“或問(wèn)歌彖”第三問(wèn)求勾股時(shí)，因天元術(shù)左右可以互消，即f(x)=0可以轉(zhuǎn)化為-f(x)=0，同時(shí)用了這兩種形式，梅瑴成卻感慨道：“何以參差如此乎？”([13]，頁(yè)18b)?？磥?lái)梅瑴成對(duì)天元術(shù)的了解并不深入。

李銳認(rèn)為借根方不如天元術(shù)“簡(jiǎn)且易”([10]，李銳跋)，并在《測(cè)圓海鏡細(xì)草》中批評(píng)館案“惟知借根方法”([10]，卷三，頁(yè)13b)。館案受《赤水遺珍》的影響較大，如用天元術(shù)術(shù)語(yǔ)解釋借根方?！都?xì)草》卷六第十二問(wèn)“有草無(wú)法”，館案補(bǔ)法用實(shí)、從、廉、負(fù)隅指代等式35200x+21504000=640x2-0.5x3各項(xiàng)，這與梅瑴成對(duì)天元術(shù)術(shù)語(yǔ)的誤用如出一轍。對(duì)此，李銳提出了異議，“廉當(dāng)云益廉，負(fù)隅當(dāng)云隅。蓋加減所得多少，與相消所得正負(fù)相反也”([10]，卷六，頁(yè)11a)。這種看法是正確的。

李銳進(jìn)而比較了借根方與天元術(shù)的異同([10]，卷二，頁(yè)12b—13a)。借根方用“加減法”化簡(jiǎn)后的形式是f(x)=c(c>0)，天元術(shù)用“相消法”化簡(jiǎn)后的形式有兩種f(x)-c=0(c>0)或0=c-f(x)(c>0)。若天元術(shù)常數(shù)項(xiàng)為正則兩術(shù)中f(x)各項(xiàng)正負(fù)相反，若天元術(shù)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)則兩術(shù)中f(x)各項(xiàng)正負(fù)一致。李銳雖然指出了梅瑴成天元術(shù)術(shù)語(yǔ)使用的錯(cuò)誤，卻沒(méi)注意到相消法與加減法在算理上的一致性(5)關(guān)于李銳的天元相消法，可參考：洪萬(wàn)生.《無(wú)異解》中的三案初探：一個(gè)HPM的觀點(diǎn).科學(xué)教育學(xué)刊，2000，第八卷第三期，215—224；郭世榮.中國(guó)數(shù)學(xué)典籍在朝鮮半島的流傳與影響，山東教育出版社，2009∶144—151.。此外，李銳強(qiáng)調(diào)相消“可以又?jǐn)?shù)減寄左數(shù)，亦可以寄左數(shù)減又?jǐn)?shù)”([10]，卷二，頁(yè)12b)。這其實(shí)點(diǎn)明了天元開(kāi)方式的正負(fù)可以整體互換，反駁了梅瑴成對(duì)朱世杰的批判。

焦循(1789—1820)贊同李銳借根方與天元術(shù)之殊的看法，但在天元相消問(wèn)題上與之有間([14]，焦循序)。他說(shuō)：“借根之用加減，與相消法異而數(shù)同……蓋兩邊各減，仍不啻以左減右。”([14]，下，頁(yè)24b)并用一個(gè)算術(shù)式來(lái)說(shuō)明：有5+5=10，左側(cè)+5為“多五”，相消法為5=10-5，加減法為(5+5)-5=10-5，兩法結(jié)果均“相等”。相消得到的開(kāi)方式，在這里竟成了等式，且兩端均不為零，如其所說(shuō)：“相消必分兩畔者，緣兩畔之相等也?！?[14]，下，頁(yè)24a)“兩畔”除了具有等式兩側(cè)的涵義外，還表示開(kāi)方式的各項(xiàng)按盈朒或和較所分成的兩類。若把開(kāi)方式表示為f(x)-g(x)=0，則f(x)和g(x)也為“兩畔”。

焦循堅(jiān)信天元相消不與直除同而與盈朒理同(6)關(guān)于盈朒與借根方的關(guān)系有很多論述，《借根方算法》認(rèn)為借根方算題“用疊借、互徵法可以類推”?！稊?shù)理精蘊(yùn)·疊借互徵》把盈朒比作疊借互徵。《借根方比例》認(rèn)為借根方“大意與借衰、疊借略同”。《里堂學(xué)算記·阮元序》稱：“借衰即衰分之列衰，疊借即盈不足之假令?！?，理由是“方程之直除，可同減異加，亦可異減同加。惟盈不足則止可同減，不可異減；止可異加，不可同加，天元一之相消亦然”([14]，下，頁(yè)28a)。關(guān)于直除，駱騰鳳(1770—1841)、安清翹(1759—1830)等算學(xué)家也有相同的認(rèn)識(shí)。這里討論的重點(diǎn)在加減，焦循有進(jìn)一步的論述，“方程兩色各備和較，故可以異加，亦可以同加，和較備則消息相通也。天元一本消之前，有和而較不備，其寄數(shù)、又?jǐn)?shù)兩列，不啻盈不足之有出率、有差數(shù)，故止可異加，必不可同加，亦如盈不足之必用同減異加也”[15]。這就是說(shuō)，和、較備與不備是方程、盈不足、天元三術(shù)的差異所在。和、較概念的使用顯然受到了梅文鼎(1633—1721)《方程論》的影響，其實(shí)就連所謂的“兩畔”及對(duì)盈不足和方程術(shù)的關(guān)注，也都與梅氏密切相關(guān)。

駱騰鳳聲明了他與李銳的差異：“李氏謂借根方出于天元一術(shù)，其加減乘除之法并同，惟此相消法與借根方兩邊加減有異，不知借根方之異于天元一者，在正負(fù)多少之異，不在兩邊加減之異也?！?[16]，卷一，頁(yè)36b)他所謂天元術(shù)的正、負(fù)并沒(méi)有實(shí)際意義，只是用來(lái)別同異、定加減的。借根方的多、少卻對(duì)應(yīng)著盈、朒，具有實(shí)際意義([16]，卷一，頁(yè)38a—40a)。他還比較了兩者加減運(yùn)算時(shí)的差異，“四平方多四根與二平方少三根相加”問(wèn)中借根方需要解釋下式的實(shí)際含義：(4x2+4x)+(2x2-3x)，即“則于多四根內(nèi)反減少三根，而多數(shù)大，仍為多，是為六平方多一根，蓋名為加而實(shí)減也”([16]，卷一，頁(yè)39a)。這繼承自《借根方比例》。天元法則先變號(hào)后加減：4x2+4x+2x2-3x，即“則四正平方、四正元與二正平方、三負(fù)元相較，則同名相加，得六正平方；異名相減，得一正元矣”([16]，卷一，頁(yè)39a)。由此，駱騰鳳認(rèn)為借根方窒礙，天元術(shù)直截了當(dāng)。事實(shí)上，這種難易程度的不同主要由直觀解釋與符號(hào)化的差異所致。吊詭的是，二者這方面特征在此互換了。這種先變號(hào)的方法，使得天元術(shù)只能“同加異減”。駱騰鳳對(duì)多、少的解釋受到了焦循的影響，《開(kāi)方釋例》用天干表示大小數(shù)即來(lái)自《加減乘除釋》[17]。焦循用“兩畔”相等說(shuō)明天元相消結(jié)果的做法，也被他采用了，如把“一立方多十三平方多三十根與二萬(wàn)七千一百四十四尺等”說(shuō)成“正隅一、正廉十三、正方三十與負(fù)積二萬(wàn)七千一百四十四等”([16]，卷一，頁(yè)38b)。

駱騰鳳在“方城圓城求徑法”中批評(píng)李銳：“惑于正負(fù)多少之說(shuō)，而不知正負(fù)可以互用，遂以兩邊加減為誤，其為不知天元法也，一而已矣?！?[16]，卷一，頁(yè)60b)此問(wèn)為《測(cè)圓海鏡細(xì)草》卷三第十題，原文求出天元開(kāi)方式后，館案用借根方等式把它翻譯了一遍，使得常數(shù)項(xiàng)或根方項(xiàng)的正負(fù)有變。李銳對(duì)其用借根方解釋天元術(shù)一事提出異議。李銳其實(shí)已明言天元開(kāi)方式正負(fù)可以互換，駱騰鳳的批判是不合理的，這與他濫用“正負(fù)可以互用”原則有關(guān)。事實(shí)上，駱騰鳳念茲在茲的是，“正負(fù)者，加減之謂，非多少之謂也”([16]，卷一，頁(yè)36a)。這里對(duì)正、負(fù)的看法是合理的，對(duì)多、少的看法有失偏頗，因?yàn)閺摹督韪剿惴ā返健督韪奖壤贰岸唷⑸佟币恢倍际恰凹訙p之謂”。造成這種誤解的原因當(dāng)然與焦循有一定的關(guān)系，但更主要的是：一，借根方用易與“大、小”相混的“多、少”來(lái)表示正負(fù)。二，《借根方比例》追求直觀解釋，“多、少”被賦予了實(shí)際意義。有趣的是，張文虎帶著更大的誤解把正負(fù)比作盈朒，并以此來(lái)批判駱騰鳳“異在正負(fù)不在兩邊加減”的說(shuō)法[18]。

汪萊(1768—1813)一直堅(jiān)持使用借根方，他認(rèn)為“夫天元一相消之后，其數(shù)已無(wú)，以其無(wú)數(shù)求其有數(shù)，非初學(xué)所易會(huì)。借根方相等之后，其數(shù)相對(duì)，以其對(duì)數(shù)尋厥真數(shù)，豈淺人所難解？”[19]這里的比較也集中在相消法與加減法的差異上。借根方加減之后等式兩側(cè)仍有“數(shù)”，天元相消則等式消失，開(kāi)方式就不存在對(duì)應(yīng)的“數(shù)”了。

安清翹《學(xué)算存略》、張作楠(1772—1850)《翠微山房數(shù)學(xué)》也有相關(guān)討論，主要觀點(diǎn)不出以上所述。

總而言之，乾嘉時(shí)期中算家的關(guān)注點(diǎn)較為集中，即相消法與加減法、正負(fù)與多少。事實(shí)上，他們并未抓住借根方與天元術(shù)異同的關(guān)鍵所在，如都可歸為一元多次方程問(wèn)題，如表達(dá)方式的區(qū)別，等等。究其原因：一，對(duì)相消法與加減法關(guān)注可以追溯到梅瑴成的《赤水遺珍》，對(duì)正負(fù)與多少的關(guān)注體現(xiàn)了符號(hào)化與直觀解釋取向的不同。二，算家無(wú)論對(duì)借根方還是對(duì)天元術(shù)都存在一定程度上的誤解。三，梅文鼎《方程論》扮演了重要的角色，李銳對(duì)直除只可用減的看法、焦循和較概念的使用都與之有關(guān)，此二人的觀點(diǎn)又在當(dāng)時(shí)發(fā)揮著統(tǒng)領(lǐng)性的作用。

3 學(xué)術(shù)背景：古算的發(fā)掘與研究

自從乾隆下詔開(kāi)設(shè)《四庫(kù)全書》館，古代算學(xué)著作陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)、整理與研究。天元術(shù)被再次理解，焦循在給李銳的信中，說(shuō)出了他對(duì)當(dāng)時(shí)天元術(shù)和借根方的觀察：“竊謂天元一之法，晦之已久，而西人借根法，學(xué)習(xí)者亦少。兄更宜推而詳之，以彰明此絕學(xué)，弟所深望也?！盵20]

中算家曾一度把秦九韶的大衍術(shù)、李冶的天元術(shù)混為一談，認(rèn)為李冶的天元術(shù)來(lái)自秦九韶。錢大昕(1728—1804)《數(shù)學(xué)九章·跋》及焦循《天元一釋》都專門辨析了大衍術(shù)與天元術(shù)的異同，自此它們才被區(qū)分開(kāi)來(lái)。焦循、李銳、張敦仁(1754—1834)、駱騰鳳還都對(duì)大衍術(shù)進(jìn)行了闡釋[21]。

“談天三友”是天元術(shù)復(fù)興的功臣，焦循多次談到他要使古學(xué)顯著于海內(nèi)，李銳也說(shuō)：“銳于算學(xué)未有深得，而篤好立天元術(shù)，亟欲章而明之，則頗與里堂相似?！?[14]，李銳序)焦廷琥(1782—1821)稱：“秦、李之學(xué)所以復(fù)明者，府君與汪、李兩先生證訂之力也?！盵22]

乾嘉時(shí)期中算學(xué)家反復(fù)強(qiáng)調(diào)開(kāi)方術(shù)的重要性。他們多是通過(guò)《數(shù)理精蘊(yùn)》才接觸到借根方的，該書說(shuō)：“借根方比例法中，開(kāi)各乘方為最要?！?[23]，下編卷三十二，頁(yè)2)張作楠對(duì)借根方有所堅(jiān)守，他的《量倉(cāng)通法》重復(fù)了這種說(shuō)法。阮元說(shuō)：“少?gòu)V著開(kāi)方之法，方程別正負(fù)之用，立天元一者融會(huì)少?gòu)V、方程而加精焉者也。”([10]，阮元序)這一說(shuō)法在當(dāng)時(shí)產(chǎn)生了不小的影響，易之瀚《開(kāi)方釋例》重述了這段話。羅士琳更是直接說(shuō)：“不明正負(fù)開(kāi)方者，不足與言天元。”[24]汪萊與李銳還在方程論問(wèn)題上取得了很大的成就。

梅文鼎《少?gòu)V拾遺》就是開(kāi)方類的著作，自從乾嘉時(shí)期正負(fù)開(kāi)方法被重新理解之后，中算家已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了梅氏開(kāi)方法的不足，對(duì)其多有微詞。焦循明確地說(shuō)：“梅勿菴《少?gòu)V拾遺》發(fā)明諸乘方，于正負(fù)加減之際，厥而未備，故其廉隅繁瑣，步算既艱，亦且莫適于用?！盵25]由李銳《開(kāi)方說(shuō)·黎應(yīng)南跋》和易之瀚《開(kāi)方釋例》可以看出，對(duì)中算家來(lái)說(shuō)，正負(fù)開(kāi)方法的優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在更具算理、更程式化兩方面，這是借根方開(kāi)方法無(wú)法相比的。張作楠雖然贊揚(yáng)借根方查表法“簡(jiǎn)捷精妙，冠絕古今”[26]，但影響有限。

四元術(shù)相較于借根方有一定的優(yōu)勢(shì)，如可以解決不超過(guò)四元的多次問(wèn)題。朱世杰《四元玉鑒》發(fā)現(xiàn)較晚，《疇人傳》未提此書。嘉慶初年阮元在浙江訪得《四元玉鑒》之后，囑李銳校算，可惜李銳未完成就去世了。沈欽裴、羅士琳、徐有壬(1800—1860)、戴煦(1805—1860)也都研究過(guò)四元術(shù)。羅士琳《四元玉鑒細(xì)草》一書用了十多年的時(shí)間才完成，影響最大，雖然這樣，卻是沈欽裴的細(xì)草更符合朱世杰的本意[27]。

《九章算術(shù)》卷八為方程術(shù)，其中，消法可加可減；正負(fù)用來(lái)別同異，無(wú)實(shí)際涵義；正負(fù)用法有序，沒(méi)有混亂的情況。此后，吳敬、程大位、李之藻、李篤培、李長(zhǎng)茂、方中通等都傾向把正、負(fù)對(duì)應(yīng)于正數(shù)、欠數(shù)，用焦循的話說(shuō)就是，“元明以來(lái)，不知正負(fù)之旨。于是以空位立負(fù)，往往推之不可以通”[28]。不過(guò)，他們還是堅(jiān)持方程消法可加可減這一原則。

梅文鼎看到了正負(fù)使用的混亂狀況，他的《方程論》大有改舊弊的宏圖，通觀全書，他也確實(shí)做到了這一點(diǎn)，如其對(duì)正負(fù)的解釋：“立正負(fù)以別同異，猶彼我也?！?[29]，卷一，頁(yè)15b)可是，在方程消法問(wèn)題上，他卻堅(jiān)持只能用減，不能用加，焦循、駱騰鳳、羅士琳都批評(píng)過(guò)這種看法(7)分別見(jiàn)：焦循《加減乘除釋》卷五，頁(yè)5b；駱騰鳳《藝游錄》卷二“方程正誤”；羅士琳《續(xù)疇人傳》“李銳論”。。梅文鼎的堅(jiān)持與盈朒和陰陽(yáng)觀念有一定的關(guān)系，他說(shuō)：“同名相減，即如盈朒章兩盈、兩朒相減也，異名相并即如盈不足相并也，豈有同加異減之理乎？”([29]，卷四，頁(yè)9b)又說(shuō)：“同名相減者，陰陽(yáng)之偏，不得其配也。異名相并者，陰陽(yáng)得類，雌雄相食也。是皆有自然之理焉，可以思古人立法之原矣?！?[29]，卷一，頁(yè)17a)

1676年，李子金(1622—1701)完成了《算法通義》，該書雖用正數(shù)、欠數(shù)解釋正負(fù)，但對(duì)方程消法可加可減的認(rèn)識(shí)及對(duì)正負(fù)的使用都是恰當(dāng)?shù)腫30]。杜知耕《數(shù)學(xué)鑰》(1681年)對(duì)方程的論述大體上出自此書。陳世明、屈曾發(fā)、屠文漪、吳蘭修都對(duì)方程術(shù)發(fā)表過(guò)意見(jiàn)，與他們相比，卻是戴震、李潢等?？边^(guò)《九章算術(shù)》的算家對(duì)方程術(shù)的理解更接近原意。

總而言之，天元術(shù)的發(fā)掘與整理是中算家態(tài)度轉(zhuǎn)變的前提。算家認(rèn)識(shí)到了大衍術(shù)和四元術(shù)的優(yōu)勢(shì)所在，這使他們更加堅(jiān)信中算的價(jià)值，當(dāng)然也包括天元術(shù)的價(jià)值。正負(fù)開(kāi)方法與天元術(shù)密切相關(guān)，由第一節(jié)所引阮元語(yǔ)可知，它是天元術(shù)勝于借根方的關(guān)鍵之一。算家對(duì)借根方與天元術(shù)異同的比較與中算(如方程術(shù)、盈朒術(shù))乃至更大的文化傳統(tǒng)(如陰陽(yáng)觀念)有關(guān)。

4 觀念的差異：對(duì)借根方的不同詮釋

中西算家對(duì)借根方的詮釋是不同的，這可從觀念上的差異展開(kāi)討論?！督韪剿惴ā分匾暯韪健霸O(shè)未知數(shù)”的特征，認(rèn)為借根方與平常算法的差別在于前者“全以借根察所求之?dāng)?shù)”[31]，并用“相連比例數(shù)”(8)“相連比例數(shù)”對(duì)明安圖、董祐誠(chéng)、項(xiàng)名達(dá)等算家用“連比例率”來(lái)研究?jī)缂?jí)數(shù)展開(kāi)式有一定的影響。解釋根方數(shù)的關(guān)系。書中雖有平方、立方、三乘方等術(shù)語(yǔ)，但它們與具體圖形無(wú)關(guān)，只是用來(lái)描述數(shù)的類型。

1712年，法國(guó)耶穌會(huì)士傅圣澤(Jean-Francois Foucquet，1665—1741)為康熙寫作《阿爾熱巴拉新法》一文。該文認(rèn)為新舊法的差異在于“舊法所用之記號(hào)，乃數(shù)目字樣。新法所用之記號(hào)，乃可以通融之記號(hào)。如西洋即用二十二字母，在中華可以用天干、地支二十二字以代之”[32]。這無(wú)疑擴(kuò)大了符號(hào)的使用范圍，用天干表示未知數(shù)，用地支表示已知數(shù)，還用符號(hào)表示特定的對(duì)象。作者堅(jiān)信“新法比舊法亦捷、亦簡(jiǎn)、亦總括、亦通融”[32]，“通融”即一般化，文中屢次提及。

然而，康熙否定了《阿爾熱巴拉新法》，學(xué)者就其原因做過(guò)很好的分析[33]，此處提下我的淺見(jiàn)?？滴跖u(píng)此書，“甲乘甲，乙乘乙，總無(wú)數(shù)目，即乘出來(lái)亦不知多少，看起來(lái)想是此人算法平平爾”(9)轉(zhuǎn)引自參考文獻(xiàn)[1].。這源于《阿爾熱巴拉新法》原書：“單用字作加減乘除之法即畢，總無(wú)數(shù)目可見(jiàn)，似為無(wú)用。”[32]這里所說(shuō)的新法沒(méi)能計(jì)算出具體數(shù)值，有一定道理。其實(shí)此書開(kāi)頭就比較了算術(shù)法與新法的異同，算術(shù)式：12×12=144；新法式：(甲+乙)×(甲+乙)=甲甲+二甲乙+乙乙，甲、乙為滿足兩數(shù)和為12的任意正整數(shù)。可見(jiàn)算術(shù)法得到了具體數(shù)值，新法所求的只是解的結(jié)構(gòu)，或者說(shuō)是給出了運(yùn)算程序，若想求出具體數(shù)值，還需再費(fèi)一番功夫。傅圣澤無(wú)意于具體數(shù)值，運(yùn)算至此就結(jié)束了。書中把系數(shù)全都用符號(hào)表示，其繁瑣程度可想而知。傅圣澤明白若不求出具體數(shù)值，新法恐會(huì)淪為“無(wú)用”，但他追求的是由符號(hào)而達(dá)于通融，并不留戀于此。相較之下，康熙更在乎具體數(shù)值，在他看來(lái)只有如此才算最終解決了問(wèn)題。

不難看出，符號(hào)應(yīng)用范圍的擴(kuò)大是借根方發(fā)展的一個(gè)方向，晚清偉烈亞力對(duì)代數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的回顧可作為旁證，“是時(shí)，惟未知數(shù)用字代，已知數(shù)皆用本數(shù)。至肥乙大始盡以字代，是為今代數(shù)術(shù)之始”[34]?！胺室掖蟆奔错f達(dá)(Franciscus Vieta，1540-1603)。韋達(dá)與前人的不同之處在于，他不僅用符號(hào)代替未知數(shù)，還用符號(hào)代替已知數(shù)，這就是偉烈亞力所謂“今代數(shù)”新之所在。

《借根方比例》則試圖給借根方以直觀解釋：“要之，所謂一立方者即一正方體，而多平方、多根、少平方、少根即變正方體而為長(zhǎng)方體、扁方體或?yàn)轫嗾坶L(zhǎng)方體、扁方體。”([23]，下編卷三十三，頁(yè)12)如此一來(lái)，脫離具體實(shí)意的天干符號(hào)就只好省略了。書中給出了帶縱平方法的十二種不同類型的等式，并構(gòu)造出了與之對(duì)應(yīng)的幾何圖形。

《借根方算法》直接給出加減乘除的運(yùn)算法則，不做過(guò)多解釋。乘除法中用數(shù)值驗(yàn)證的步驟，只是用來(lái)保證運(yùn)算法則的正確性，并不負(fù)責(zé)解釋如此運(yùn)算的原因?！督韪奖壤穭t試著說(shuō)明各法的實(shí)際意義，還有用圖形解釋乘法的例子。由于無(wú)法直觀解釋根方加減的實(shí)際意義，《借根方比例》對(duì)之避而不談。

《借根方比例》認(rèn)為三乘方不可知，梅瑴成《赤水遺珍》“圓田截積”則把其描述為“帶一縱之長(zhǎng)立方”，并畫出了具體的圖形([13]，頁(yè)18b—20b)。其論證邏輯如下：因?yàn)閤4=(x)·x3，若x的值為2，則x4=(x)·x3=2x3，此乃“兩立方相接”，這就是說(shuō)，三乘方的形狀與x的值有關(guān)。帶縱三乘方，因?yàn)閤4+nx3=(x+n)·x3(n為自然數(shù))，則x+n>x，所以縱“過(guò)于方根”?！锻乃阒浮肪戆恕皬V諸乘方法”(10)錢寶琮主編的《中國(guó)數(shù)學(xué)史》認(rèn)為《同文算指》開(kāi)帶縱平方與開(kāi)多乘方等“沒(méi)有超出我國(guó)古代數(shù)學(xué)的范圍”(1964年，第237頁(yè))。嚴(yán)敦杰指出《同文算指通編》“十六乘通率”采Michael Stifel(1487—1511)的《整數(shù)算術(shù)》(Arithmetica Integera，1544)(李儼.《中算家的巴斯噶三角形研究》，《中算史論叢·第一集》，中國(guó)科學(xué)院出版，1954∶232)。潘亦寧在嚴(yán)敦杰的基礎(chǔ)上認(rèn)為，《同文算指》“廣諸乘方法”底本為也來(lái)自《整數(shù)算術(shù)》。(潘亦寧.中西數(shù)學(xué)的會(huì)通——以明清時(shí)期(1582—1722)的方程解法為例[D].北京：中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所博士學(xué)位論文.2006∶42—46)但潘文未討論多乘方圖形解釋法的來(lái)源，故此問(wèn)題還需進(jìn)一步研究。與焦循《乘方釋例》《加減乘除釋》都有類似的看法。這種解釋有牽強(qiáng)的一面。

研讀乾嘉算學(xué)著作會(huì)發(fā)現(xiàn)，即使像焦循一樣癡迷追求算理，即使正負(fù)開(kāi)方法已被重新理解與研究，中算家還是對(duì)直觀解釋情有獨(dú)鐘。就算是支持借根方最有成就的算學(xué)家汪萊也是如此，如其《衡齋算學(xué)》對(duì)梅瑴成的批評(píng)，如他對(duì)“可知”與“不可知”的考察。

可見(jiàn)，西方士人看重借根方符號(hào)化與算理的特征，中算家受中算重視直觀解釋的傳統(tǒng)影響，更傾向用圖形與算法來(lái)詮釋借根方。這種差異導(dǎo)致中算家無(wú)法完全理解借根方。

5 結(jié)語(yǔ)

自從借根方傳入中國(guó)之后，就遭遇了內(nèi)容的缺失、誤解、與天元術(shù)的比較或說(shuō)是競(jìng)爭(zhēng)、對(duì)其本意理解的偏差等等。在此基礎(chǔ)上，我們看到了乾嘉算學(xué)家對(duì)借根方與天元術(shù)看法轉(zhuǎn)變的復(fù)雜原因：一，天元術(shù)的再次被理解是前提條件。二，正負(fù)開(kāi)方法、大衍術(shù)、四元術(shù)等與天元術(shù)密切相關(guān)，它們的發(fā)掘與整理使得天元術(shù)隨之獲得了更多的認(rèn)可。以上兩條又與編纂《四庫(kù)全書》的社會(huì)背景密切相關(guān)。三，中算家對(duì)借根方和天元術(shù)異同的討論，集中在相消法與加減法、正負(fù)與多少兩個(gè)方面，未抓住問(wèn)題的本質(zhì)，這與中算及文化傳統(tǒng)有一定的關(guān)系。四，中算家未能完全掌握天元術(shù)，這使得算理之外的因素更容易發(fā)生作用。五，借根方在傳播過(guò)程中內(nèi)容的缺失，導(dǎo)致它并非以全貌來(lái)與天元術(shù)比較。六、中算家對(duì)借根方的詮釋與西方士人有差異，使得中算家未能完全吸收借根方的精義。當(dāng)然還需加上學(xué)者已經(jīng)注意到的原因，如從現(xiàn)代數(shù)學(xué)角度來(lái)看天元術(shù)在某些方面具有一定的優(yōu)勢(shì)，如乾嘉學(xué)派的影響等等。顯而易見(jiàn)，社會(huì)背景、中算傳統(tǒng)、思想觀念等因素也都在這一轉(zhuǎn)變過(guò)程中發(fā)揮著重要的作用，因而不妨把我們討論的歷程看作是，西方殘缺的借根方遭遇到了中國(guó)的整個(gè)社會(huì)和文化。

致 謝本文承蒙業(yè)師韓琦研究員悉心指導(dǎo)，特致謝忱!