深刻理解數(shù)學(xué)是教師培訓(xùn)的當(dāng)務(wù)之急
——由一次網(wǎng)絡(luò)研討說(shuō)起

☉江蘇省徐州市第三十四中學(xué)孫莉

深刻理解數(shù)學(xué)是教師培訓(xùn)的當(dāng)務(wù)之急
——由一次網(wǎng)絡(luò)研討說(shuō)起

☉江蘇省徐州市第三十四中學(xué)孫莉

當(dāng)前各級(jí)教師培訓(xùn)活動(dòng)、觀摩活動(dòng)確實(shí)很多，然而教師真正樂(lè)于參與的熱情并不是組織方所期待的那樣.一方面有來(lái)自教學(xué)（主要是應(yīng)試訓(xùn)練方面）的工作壓力，另一方面與各級(jí)培訓(xùn)的內(nèi)容也不無(wú)關(guān)系.特別是，近年來(lái)興起的所謂觀摩名師課堂、參觀“熱鬧的”教學(xué)模式、網(wǎng)絡(luò)研修等培訓(xùn)活動(dòng)，確實(shí)效率低下，說(shuō)得嚴(yán)重一點(diǎn)，浪費(fèi)金錢（不少外出培訓(xùn)要交會(huì)務(wù)費(fèi)、車旅費(fèi)、食宿費(fèi)）、徒耗時(shí)間（在網(wǎng)上研修絕大多數(shù)老師都是為了拼出一點(diǎn)繼續(xù)教育學(xué)分，把電腦開著掛時(shí)間，基本都是在做其他事情）.而筆者以為關(guān)于深刻理解數(shù)學(xué)的培訓(xùn)卻鮮有開展，想起近期某千人的QQ群中一個(gè)年輕老師的問(wèn)題，更覺(jué)理解數(shù)學(xué)的培訓(xùn)十分關(guān)鍵.本文就從這段研討對(duì)話說(shuō)起，對(duì)理解數(shù)學(xué)的培訓(xùn)提出一些初步思考，期待引發(fā)共鳴.

一、由一次網(wǎng)絡(luò)研討說(shuō)起

以下是在某千人的QQ群里的一段網(wǎng)絡(luò)研討實(shí)錄.

師1：請(qǐng)教：角的對(duì)稱軸只有一條，對(duì)嗎？

師2：對(duì)，角平分線所在的直線！

師1：如果是平角呢？

師3：你的提問(wèn)，需要辨析等腰三角形與等邊三角形、矩形與正方形，屬于特殊與一般的辨識(shí)不清.

師2：咱說(shuō)的是一般情況.

師1：這是一道判斷題，多數(shù)學(xué)生都是考慮一般的情況，但也有極個(gè)別學(xué)生認(rèn)為這是錯(cuò)題.

師3：好問(wèn)題.咱們可順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生辨析數(shù)學(xué)中的特殊與一般，這是個(gè)很深的思想方法學(xué)問(wèn)，往上走，屬于哲學(xué)范疇.

師1：也就是說(shuō)：在判斷題中，應(yīng)該告訴學(xué)生這是一個(gè)錯(cuò)誤的命題嗎？

師3：引導(dǎo)學(xué)生辨析這是一般情況的判斷，不需要考慮特殊化.

師1：懂了.

二、對(duì)該網(wǎng)絡(luò)研討的評(píng)析

從該網(wǎng)絡(luò)研討可見，“師1”對(duì)數(shù)學(xué)的理解顯然還沒(méi)有達(dá)到一定的高度，甚至可以說(shuō)還存在錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí).這就是指，他并沒(méi)有辨明數(shù)學(xué)對(duì)象中的特殊與一般的關(guān)系，故而面對(duì)一道角的對(duì)稱軸問(wèn)題時(shí)，受到個(gè)別沒(méi)有辨清特殊與一般的學(xué)生的左右，自己也犯糊涂了，又不知如何向這些少數(shù)學(xué)生解釋清楚，就出現(xiàn)了“兩小兒辯日”的尷尬處境，于是在群里發(fā)問(wèn)，好在群里有老師進(jìn)行了糾錯(cuò)，并例舉了矩形與正方形、等腰三角形與等邊三角形來(lái)輔助理解，應(yīng)該說(shuō)達(dá)到了較好的明辨效果.

事實(shí)上，關(guān)于特殊與一般的話題，一直就是數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，中學(xué)數(shù)學(xué)在教材組織、內(nèi)容研究時(shí)，明線是數(shù)學(xué)知識(shí)或研究對(duì)象，卻又蘊(yùn)含著“特殊與一般”的暗線.在代數(shù)中，通常是從特殊到一般的推進(jìn)順序，如冪的運(yùn)算法則，教材上都是先出現(xiàn)一組簡(jiǎn)單的同底數(shù)的冪的運(yùn)算，然后逐漸推廣、一般化，引導(dǎo)學(xué)生歸納出冪的運(yùn)算性質(zhì)，并進(jìn)一步組織學(xué)生證明，乘法公式、韋達(dá)定理的教學(xué)也都可以這樣來(lái)組織教學(xué).這種從特殊到一般的推理，能有效發(fā)展學(xué)生歸納、類比的能力，讓學(xué)生感受到推理的思維力量.而在幾何教學(xué)與研究中，教材上卻是從一般到特殊的組織順序，比如三角形的學(xué)習(xí)，先學(xué)習(xí)三角形的定義，接著是三角形相關(guān)的三條重要線段（中線、角平分線、高線）、三角形的內(nèi)角和，然后在軸對(duì)稱圖形一章中安排學(xué)習(xí)等腰三角形（含等邊三角形），再到直角三角形與勾股定理，還有矩形中總結(jié)出直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，到九年級(jí)的銳角三角形函數(shù)、圓中的三角形外接圓，圓周角定理及推理中揭示出來(lái)的直徑所對(duì)的圓周角為直角等.這一系列的演進(jìn)過(guò)程，一根暗線就是“從一般出發(fā)，然后不斷問(wèn)題特殊化，研究很多特殊圖形”.這也就是史寧中教授強(qiáng)調(diào)的演繹推理，即從一般到特殊的推理.而教材上之所以將關(guān)于三角形的學(xué)習(xí)安排在七、八、九三個(gè)年級(jí)，一方面與相關(guān)三角形知識(shí)需要其

他幾何圖形及性質(zhì)的支持，另一方面也是期待以暗線“聯(lián)系”“串聯(lián)”.這也就是史寧中教授關(guān)于數(shù)學(xué)教育，特別是基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教育提出的兩點(diǎn)告誡：至少要明晰兩件事情，一件事情是，不能單純讓學(xué)生記住一些概念，掌握一些解題的技巧，要形成和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特別是邏輯推理素養(yǎng)；另一件事情是，學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的形成和發(fā)展，在本質(zhì)上，不是靠教師“教”出來(lái)的，而是靠學(xué)生“悟”出來(lái)的［1］.

三、關(guān)于“深刻理解數(shù)學(xué)”的進(jìn)一步思考

1.開展教材培訓(xùn)與研究是各級(jí)教研活動(dòng)不可放松的研討主題

當(dāng)前的教研活動(dòng)有不少都是所謂的教學(xué)觀摩，或名師課堂，或教學(xué)模式展示，聽課之后常常多是溢美贊譽(yù)，礙于情面，即使有截然不同的觀點(diǎn)，也不會(huì)明確提出所謂的商榷意見，這樣的“你好、他好、大家好”的研討氛圍，使得年輕教師、初任教師常常迷失方向、不辨美丑.再有上個(gè)世紀(jì)在各級(jí)教研活動(dòng)中的重視研討教材的傳統(tǒng)做法因?yàn)楦骷?jí)教研體系的“破壞”而直接受損，我們看到很多“超大學(xué)校”（平行班級(jí)在10個(gè)班以上的學(xué)校目前在城區(qū)學(xué)校中不在少數(shù)）的教研活動(dòng)中，特別是集體備課時(shí)，常常是研討所謂的“導(dǎo)學(xué)案”上的選題，即選入導(dǎo)學(xué)單的習(xí)題是否來(lái)得來(lái)及在課堂上處理，是否貼近本地區(qū)中考的特點(diǎn)，而對(duì)于教材的研討基本缺失，這不能不說(shuō)是一種遺憾.

2.“離開教材、緊抱教輔”的教學(xué)取向值得警惕

如上所述，“超大學(xué)?！奔w備課時(shí)只是針對(duì)入選“導(dǎo)學(xué)案”的習(xí)題是否典型，是否符合本地區(qū)中考題的風(fēng)格，而對(duì)這些題是否與本課時(shí)教材內(nèi)容匹配，本課時(shí)教學(xué)上的重點(diǎn)、難點(diǎn)辨析，都缺少深入的思考和研討.再有，這些入選“導(dǎo)學(xué)案”的試題多是各級(jí)教輔資料上的習(xí)題，或是直接從相關(guān)習(xí)題網(wǎng)站上下載的（目前很多網(wǎng)站有所謂的在線自動(dòng)組卷功能），可見這種“離開教材、緊抱教輔”的研討、備課形式，已成為離開教材搞教學(xué)的一種典型應(yīng)試模式.

想起一類典型的錯(cuò)題，就是關(guān)于所謂拋物線形狀相同的錯(cuò)題，摘取一例.

錯(cuò)題：一個(gè)拋物線與二次函數(shù)y=x2的圖像形狀和頂點(diǎn)相同，但開口方向不同.

（1）求拋物線的解析式.

（2）如果該拋物線與一次函數(shù)y=kx-2相交于A、B兩點(diǎn)，已知A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，求△OAB的面積.

商榷：這里關(guān)于拋物線形狀相同的描述說(shuō)明命題老師對(duì)“所有拋物線都是相似”缺少認(rèn)識(shí)，而是把拋物線形狀相同等價(jià)于二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值相等（值得指出的是，在相關(guān)搜索網(wǎng)站上，以“拋物線形狀相同”為關(guān)鍵詞搜索時(shí)，竟然有大量回復(fù)為“a1、a2相等或互為相反數(shù)”的結(jié)果），北航李尚志教授在相關(guān)群里也曾明確指出這類錯(cuò)題原因：把全等圖形說(shuō)成形狀相同，這不錯(cuò)，但不能反過(guò)來(lái)要求形狀相同的都是全等圖形.命題人的意思實(shí)際上是全等，還不如直接說(shuō)它們?nèi)?但中學(xué)教材只定義過(guò)多邊形的全等，沒(méi)有定義過(guò)曲線圍成的圖形的全等，尤其是拋物線這種無(wú)限延伸圖形的全等.

知易行難，筆者將上面的錯(cuò)題打磨如下.

打磨題：在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2與拋物線y=x2關(guān)于x軸對(duì)稱.

（1）求a的值；

（2）若拋物線y=ax2與直線y=kx-2相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1時(shí)，求△OAB的面積.

3.各級(jí)命題應(yīng)切實(shí)回歸教材，發(fā)揮研究教材的導(dǎo)向功能

在當(dāng)下應(yīng)試教學(xué)的現(xiàn)實(shí)背景下，再談另一個(gè)更為現(xiàn)實(shí)的引領(lǐng)，這就是幾乎所有學(xué)校都堅(jiān)守的“月考”制度.月考通常是以學(xué)校為單位的命題，由于所謂保密、命題成本的原因，命題者往往直接奉行拿來(lái)主義，簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)，造成質(zhì)量偏低，大量教輔資料上的習(xí)題原題出現(xiàn)在月考卷中是司空見慣的.而及至期中、期末，往往命題范圍稍大些，然而基本上也是命題的“重災(zāi)區(qū)”，影響面也甚廣，常常見到期中、期末之后，網(wǎng)上傳播著各地的試卷，鮮有優(yōu)秀試題，特別是很難看到引導(dǎo)回歸教材、導(dǎo)向教學(xué)的優(yōu)秀試題.想來(lái)在課改號(hào)角再次吹響，核心素養(yǎng)之風(fēng)勁括大江南北之時(shí)，如果各級(jí)命題、評(píng)價(jià)的試題得不到根本上的改善，不能基于理解數(shù)學(xué)的高度，引導(dǎo)回歸教材、回歸“好的數(shù)學(xué)題目”（章建躍博士語(yǔ)，指那些表述簡(jiǎn)潔好懂，思考后簡(jiǎn)約而深刻的題目），那么所謂的課改預(yù)期又會(huì)大打折扣.

1.史寧中.試論數(shù)學(xué)推理過(guò)程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（4）.

2.蘇強(qiáng).教師課程哲學(xué)觀的生成及其實(shí)踐功能［J］.課程·教材·教法，2011（2）.

3.涂榮豹，楊騫，王光明，編著.中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)研究30年［M］.北京：科學(xué)出版社，2011.

4.成尚榮.教學(xué)改革絕不能止于“有效教學(xué)”——“有效教學(xué)”的批判性思考［J］.人民教育，2010（23）.Z