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      通俗中顯高與雅,囧事中品趣和憾
      ——冪的乘方與積的乘方第一課時教學(xué)片段與感悟

      2016-02-16 03:48:15江蘇省無錫市塔影中學(xué)華琳
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年22期
      關(guān)鍵詞:編題乘方底數(shù)

      ☉江蘇省無錫市塔影中學(xué)華琳

      通俗中顯高與雅,囧事中品趣和憾
      ——冪的乘方與積的乘方第一課時教學(xué)片段與感悟

      ☉江蘇省無錫市塔影中學(xué)華琳

      新授課是教學(xué)環(huán)節(jié)中必不可少的一種課型,主要是通過研究新方法、講出新味道、保證新收獲.在教學(xué)對象不變的情況下,教學(xué)內(nèi)容決定教學(xué)方法和策略.那如何在新授課中,既能抓住主干知識,提煉核心方法,又能滲透基本思想,不久前,筆者聆聽了一節(jié)“冪的乘方與積的乘方(1)”的大市優(yōu)質(zhì)課,現(xiàn)將該節(jié)課的構(gòu)思和流程,以及筆者對教學(xué)的點滴思考呈現(xiàn)出來,與各位同行分享.

      一、課例背景

      “冪的乘方與積的乘方(1)是”蘇科版七年級下冊的內(nèi)容,之前一節(jié)內(nèi)容為“同底數(shù)冪的乘法”,這一內(nèi)容正是本節(jié)新授課的基礎(chǔ),而七年級上冊中的“乘方的意義”又是同底數(shù)冪的基礎(chǔ),這樣,學(xué)生新課前就已經(jīng)知道了乘方的意義,掌握了同底數(shù)冪的乘方運算性質(zhì),會進行比較簡單的具體數(shù)字的乘方運算,會進行任意底數(shù)的同底數(shù)冪乘法運算,知道底數(shù)為整體時底數(shù)加括號,會處理負號在底數(shù)中時最后運算結(jié)果需要進一步簡化.

      二、課堂實施

      本課筆者從幾個關(guān)鍵的片段入手,力求以點帶面,從一些細節(jié)展示課堂的全貌和構(gòu)思.

      片段一:情境引入,概念導(dǎo)出

      師:一個正方體的棱長為8,你會表達出它的體積嗎?

      生1:83.

      師:很好,還可以怎么表達?

      生2:8×8×8.

      師:非常好,它們都表示體積,所以相等;在83中,8是什么?

      生齊答:底數(shù).

      師:3是什么?

      生齊答:指數(shù).

      師:83的結(jié)果叫做什么?

      生齊答:冪.

      師:對比這兩種表達式,你發(fā)現(xiàn)了什么?

      生3:乘方比乘法簡單.

      師:根據(jù)乘方的意義,它們都表示3個8相乘;如果棱長為a,體積怎么表達?

      生4:a3.

      生5:a×a×a.

      師:真棒,從中你發(fā)現(xiàn)了什么?

      生6:用乘方表示體積比較簡單.

      生7:a3中底數(shù)是a,指數(shù)是3.

      師:非常棒,這種用冪做底數(shù)的乘方運算,我們稱為“冪的乘方”,今天我們學(xué)習(xí)“冪的乘方”.(板書課題:冪的乘方與積的乘方(1))可以讀作:10的4次冪的3次方;通過這兩種表達,你發(fā)現(xiàn)了什么?

      生8:用冪的乘方比同底數(shù)冪乘法簡單.

      設(shè)計說明:通過求體積的問題情境設(shè)置,一方面,引導(dǎo)學(xué)生回到乘方的意義,理清底數(shù)、指數(shù)、冪的基本概念;另一方面,通過乘方的意義,導(dǎo)出冪的乘方的概念,從知識的本源引導(dǎo)學(xué)生認識冪的乘方;第三,設(shè)置了學(xué)生的發(fā)現(xiàn),學(xué)生在表達式中比較、體會在表達時乘方比乘法簡單,冪的乘方比同底數(shù)冪相乘簡單,感悟?qū)W習(xí)冪的乘方的優(yōu)越性.

      片段二:嘗試探究,新知激趣

      師:根據(jù)乘方的意義,這兩種表達都表示3個104相乘,那么你會表示100個104相乘嗎?(出示嘗試探究:你會求100個104的乘積嗎?如何表示100個104的乘積呢)

      生9:(104)100.

      生10:10400.

      師:這是個偉大的發(fā)現(xiàn),比冪的乘方還要簡潔,還有其他的表達方式嗎?

      師:為什么要用省略號?

      生12:因為太多,用省略號表示,簡單.

      師:通過剛才的表達,你發(fā)現(xiàn)了什么?

      生13:我發(fā)現(xiàn)用冪的乘方比同底數(shù)冪乘法簡單,但是10400最簡單.

      設(shè)計說明:本環(huán)節(jié)設(shè)計100個104相乘,目的是解決為什么要學(xué)冪的乘方及其性質(zhì),并讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并體會各種表達方式中,用同底數(shù)冪相乘黑板上寫不下(最終學(xué)生在表達式中添加省略號),從而引發(fā)學(xué)生的認知沖突,為冪的乘方這種新運算探秘激趣,同時也為生13回答的10400這個課堂生成的簡潔表達設(shè)置懸疑.

      片段三:性質(zhì)探究,概念深化

      (1)深入探究,性質(zhì)發(fā)現(xiàn).

      師:說的很好,那么這種簡潔的表達是否合理呢,我們繼續(xù)探究.

      根據(jù)乘方的意義,(23)2表示什么?

      生12:23×23.

      師:如何運算呢?

      生13:23×23=8×8=64.

      師:還可以怎么算?

      生14:(23)2=26.

      師:你的依據(jù)是什么?

      生15:同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相乘.

      師板書同底數(shù)冪乘法法則,提問字母公式,提醒指數(shù)的范圍.接著回到問題,板書:(23)2=23+3=26=64.

      設(shè)計說明:本環(huán)節(jié)設(shè)計中沒有直接讓學(xué)生計算,而先師生共同完成(23)2的計算,目的是引導(dǎo)學(xué)生按照乘方的意義來計算,讓乘方的意義貫穿本課始末.

      片段四:逆向應(yīng)用,性質(zhì)同化

      (1)體會編題.

      師:同學(xué)們,你編過題目嗎,你知道a12可以寫成a3的幾次方嗎?

      生齊答:4次方.

      師:還可以寫成a2的幾次方?

      生齊答:6次方.

      師:還能寫成a3乘以a的幾次方?

      生齊答:9次方.

      投影同步出示問題及答案:

      (1)a12=(a3)()=(a2)()=a3·a().

      設(shè)計說明:體會編題是對逆向使用冪的乘方運算性質(zhì)、同底數(shù)冪乘法運算性質(zhì)的綜合考查,是開啟學(xué)生發(fā)現(xiàn)之旅最好的題型,作出適當(dāng)變形是其中關(guān)鍵,如問題(2)中的82的變形,學(xué)生可能出現(xiàn)的情形可能是82=(23)2= 26,也可能是82=64=26.(課堂上也真實上演著這兩種變形)通過這里的體會編題,引導(dǎo)學(xué)生進一步鞏固冪的乘方運算性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生運用性質(zhì)的逆向思維,并為下一環(huán)節(jié)自主編題的夯實基礎(chǔ).

      三、課后反思

      1.課前囧事

      囧事:(23)2與深入探究.

      將100個104相乘作為嘗試探究,得出學(xué)習(xí)冪的乘方的必要性、優(yōu)越性,那么接下來就是深入探究冪的乘方運算,發(fā)現(xiàn)冪的乘方運算性質(zhì).起初,筆者循著教材的思路將探究的重點放在了從計算結(jié)果中發(fā)現(xiàn)底數(shù)、指數(shù)規(guī)律,從而得出冪的乘方運算性質(zhì).也就是說讓學(xué)生獨立探究這6個空的計算答案,只關(guān)注計算的結(jié)果,由果索因,探究規(guī)律.后來,仔細研讀課本,忽覺疑問重重:教科書上的6個填空如何運用?其目的究竟為何?僅僅為了從結(jié)果中發(fā)現(xiàn)冪的乘方運算性質(zhì)嗎?這三種冪的乘方有什么不同?課本上一句:“從上面的計算中,你發(fā)現(xiàn)了什么?”有何深意?其中的“計算”二字所指為何?再三思量,發(fā)現(xiàn)自己原來的理解亦有偏差,這里的探究應(yīng)該重視的是“計算”這個過程,其次才是結(jié)果.從計算中感悟、對比,發(fā)現(xiàn)各種底數(shù)情況下的冪的乘方運算都可以轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法,最終將新知轉(zhuǎn)化為已知.縱觀備課歷程,真可謂囧事變樂事,尷尬變機遇,偏差變發(fā)現(xiàn),每每細想,都有新收獲,系鉆研故.

      2.課中趣事

      課中趣事頗多,現(xiàn)舉兩例:

      學(xué)生在表達100個104的乘積時結(jié)果為10400,出乎意料的簡潔,也正是這個意外,讓課堂充滿了懸疑,同學(xué)對這個超簡潔的表達急欲求證,對冪的乘方運算倍感好奇,為引入下面的探究墊石鋪路,也為冪的乘方性質(zhì)發(fā)現(xiàn)、驗證后的應(yīng)用首秀物色題選.

      另外一件趣事發(fā)生在課堂中出現(xiàn)了這樣一個習(xí)題:83×84+(83)4.

      全班同學(xué)對這個問題進行了研究解讀,發(fā)現(xiàn)題目計算后變?yōu)椋?7+812,還能再計算嗎?帶著種種疑問,大家得出的結(jié)論是編題不符合可以合并的要求!有同學(xué)說:“題目是錯的”.究其原因,同學(xué)將同底數(shù)冪相乘時指數(shù)、冪的乘方時指數(shù)設(shè)為分別相同,都是3和4,以為這樣就可以切合題意中的三個要求,尤其是最后可以合并的要

      求,也許從計算的角度講,如部分同學(xué)所言,87+812可以算出結(jié)果,也是合并.但最終,沒有審清題意是錯誤根源.一段課堂的精彩是無法預(yù)設(shè)的,這種即時的生成即使是錯的,也是課堂上的一個驚喜,一個寶藏.正是有了這個美麗的錯誤,全班同學(xué)才有了這樣令人暖心的接力救援,雖不及挽救一條生命那么壯觀,亦為成就一段思考感動全場.

      通過究錯、糾錯、救錯的過程,師生共同感受著數(shù)學(xué)的偌大魅力,簡約如此的“數(shù)”,竟會“惹”出大“麻煩”,卻又成就大感動.

      3.課后憾事

      授課結(jié)束,留下了許多的精彩,同樣也留下了些許遺憾:

      不同于同底數(shù)冪乘法編題的問題(1),完成問題(2)后自己編一個用冪的乘方運算性質(zhì)的題目,使得計算結(jié)果為a24時,無人想到用兩次冪的乘方編題,稍覺遺憾.憾事雖有,卻預(yù)示著作為一名數(shù)學(xué)教師對課堂教學(xué)的不懈追求,在今后的教學(xué)中需要怎樣的變革與鉆研,小則個人教學(xué),大則整個新課研究,再大則當(dāng)今課堂教學(xué)發(fā)展.學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)課堂最寶貴的財富,有了學(xué)生的發(fā)現(xiàn),課堂會孕育更多的生成,演繹更多的精彩.正是由于學(xué)生的發(fā)現(xiàn),才推進了課堂教學(xué),開啟了學(xué)生的經(jīng)歷體驗.其實課堂發(fā)現(xiàn)本身也是一種教學(xué)藝術(shù),我們的課堂從來不缺乏發(fā)現(xiàn),缺乏的是對發(fā)現(xiàn)的發(fā)現(xiàn).

      四、寫在最后

      初中數(shù)學(xué)教學(xué)語言應(yīng)先“通俗”后“高雅”,“通俗”是指學(xué)生原感悟到用于表達數(shù)學(xué)的自然語言,或教師基于學(xué)情創(chuàng)設(shè)利于學(xué)生跨越最近發(fā)展區(qū)的自然語言.“通俗”的教學(xué)語言是教師幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)感的“腳手架”,例如本節(jié)課,有的學(xué)生會用自己的語言表達冪的乘方性質(zhì),“括號部分不變,右上角相乘”.這種看似不專業(yè)的理解,卻是學(xué)生最容易接受的理解方式,恰恰體現(xiàn)了代數(shù)學(xué)習(xí)的精妙之處——淡化形式、注重實質(zhì).“高雅”是指在“通俗”的基礎(chǔ)上達成專業(yè)、規(guī)范的數(shù)學(xué)語言.教師在學(xué)生“通俗”理解之后加以點撥,促使學(xué)生朝著專業(yè)數(shù)學(xué)語言發(fā)展,這種體驗式的數(shù)感發(fā)展必定更加深刻地烙印在學(xué)生的記憶中.先“通俗”后“高雅”,既沒有全盤否定學(xué)生原有的合理的“前概念”,又進一步用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言恰當(dāng)?shù)馗采w了前概念,形成完整、正確的新概念.H

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