核心概念“面積”的前測研究*

□范新林 朱國平

核心概念“面積”的前測研究*

□范新林 朱國平

面積是小學數(shù)學“圖形與幾何”領域重要的概念。那么，學生在學習面積之前對它有何了解，學生的認知起點又在哪里？帶著這些問題，設計了本次前測。測試內容有平面與曲面的認知度、一維與二維的區(qū)別聯(lián)系、學生對面積的印象等方面，通過測試城鄉(xiāng)120名學生，做了數(shù)據(jù)分析，并提出了相應的教學建議。

面積 核心概念 前測 圖形與幾何

一、面積的認識

物體表面是一個二維的圖形，直觀地感覺它所占有的區(qū)域具有一定的大小。對一個二維圖形的表面進行度量之后，用一個“數(shù)”標記它的大小，稱這個數(shù)為該圖形的面積。這里的“面”指有長有寬而沒有厚度的一種“行跡”，而這種行跡并不一定必須是“平面”的，如球面。當然，這種用“大小”“度量”“物體”“表面”等普通名詞，都是一種直觀的描述。嚴格的面積定義以及面積公理的發(fā)展（測度公理）基本想法是：既然圖形是一個集合，而相應的圖形的面積是一個數(shù)，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個函數(shù)。

小學數(shù)學教材將有關幾何圖形的面積的經(jīng)驗性知識，進行數(shù)學描述。如：（1）“物體的表面或封閉（平面）圖形的大小，就是它們的面積”（人教版實驗稿、北師大版等教材）；（2）“黑板表面的大小是黑板的面積”（蘇教版教材等）、“課桌表面的大小，就是課桌面的面積”（人教版修訂稿教材等）。不難發(fā)現(xiàn)，后一種描述方式比之前者，抽象概括的成分更少，“黑板”“課桌”這些實際物體的表面比之“物體的表面”更具體、直觀?？傊?，現(xiàn)行教材使用直觀描述的方式，便于學生領悟面積的實際意義。

二、學生已有經(jīng)驗的分析

現(xiàn)行教材都把面積這一內容放在三年級下冊。從“形”的角度分析：在之前的學習中，學生簡單認識了立體圖形和平面圖形，知道了長方形和正方形的一些簡單特征（邊的長短、四個內角是直角）；從“長度”的角度分析：學生已經(jīng)知道了長度的概念，學習了常用的長度單位（厘米、米、分米等），在三年級上冊還學習了周長的概念及計算圖形周長的方法。這些知識的儲備和相關的數(shù)學活動經(jīng)驗為學習面積做好了準備。那么，學生在學習面積之前，對它有哪些認識呢？

（一）生活中關于面積經(jīng)驗的積累

面積作為一種生活現(xiàn)象每天都遇到，并非難得一見。學生的成長過程中遇到具有面積意義的活動很多，學生感受了面積，但不知道這就是面積。下列生活場景具有面積的意義，學生能大概知曉面積是有大小的。

現(xiàn)象1：搬新家了，新家比老家大很多，從父母那里聽說了新家的面積是多少平方米。

現(xiàn)象2：課桌上可以擺很多東西，書本、鉛筆盒、練習本等，學生在整理課桌時，會把書本放底下，把面積較小的練習本放在書本的上面。

現(xiàn)象3：下雪了，兒子和爸爸一起在雪地上走，爸爸留下的腳印大，兒子留下的腳印小。

上述現(xiàn)象都有面積的雛形，學生在成長過程中能經(jīng)常遇到或發(fā)生與面積有關的事件，學生在不知不覺中積累了有關面積的直觀感知。

（二）幼兒園學習過程中積累的面積經(jīng)驗

幼兒在幼兒園的學習生活中，也有可能接觸到有關面積的概念。湖州市藍天幼兒園的卞娟娟老師提供了這樣一個案例。

活動名稱：臉有多大

活動1：每個小朋友手上有一張正方形的“臉”，比比誰的“臉”大呢？

方法：目測、重疊比較等；結果：是一樣大。

活動2：用三角形來幫幫忙，看看“臉”有多大？怎么量呢？

方法：將三角形拼在正方形“臉”上，不能留下空隙，要拼滿。結果：每張“臉”用了8個三角形，“臉”有8個三角形大。

活動3：長方形“臉”、三角形“臉”等也想出來和正方形“臉”比比，看看誰大誰小。

重點：怎樣才能用三角形這個測量工具把這些不同形狀的“臉”拼滿；鼓勵幼兒用剪刀剪，使一個圖形變形，再用與另一個圖形重疊的方法來比出“臉”的大小。

幼兒園都是綜合性課程，教材有自主選擇的余地，我們調查了城鄉(xiāng)諸多幼兒園的老師，發(fā)現(xiàn)幼兒園老師會在中班、大班教學中將面積的概念滲透在游戲中。

（三）小學學習過程中積累的面積經(jīng)驗

幼兒進入小學后，在小學數(shù)學學習過程中接觸有關面積概念的機會就更多了。如在一年級認識平面圖形這一單元中，學生對于“面是有大小的”有了一定的感性認識，以人教版修訂稿教材為例，教材編排了以下習題：

習題1：拼一拼，兩個同樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。

習題2：選擇七巧板中的幾塊拼三角形、長方形等。

習題3：剪一剪，將一個正方形剪成兩個相同的長方形、三角形。

習題4：將一張長方形紙剪成大小相等的兩塊。

學生通過本單元的學習，初步體會平面圖形是有形狀區(qū)分的，并通過“拼”“剪”兩類操作活動，學生感受到面是有大小的，面是可分割、可拼組的。

再如，在三上“長方形和正方形”這一單元中，教材編排了以下習題：

習題1：在點子圖中畫四邊形、長方形和正方形。

習題2：在方格紙中畫長方形和正方形，畫規(guī)定長度的長方形和正方形。

習題3：用長方形紙剪一個最大的正方形。

習題4:用兩副三角板拼長方形和正方形。

習題5:把正方形紙折成相同的兩部分。

不難發(fā)現(xiàn)，三上習題中有關“拼”“剪”的操作活動依然延續(xù)，并增加了“畫”的操作活動。在習題題干上出現(xiàn)了“大小”“相同”“最大”等詞語，其實已經(jīng)蘊含了面積的意義。如此，相關教學內容為學習面積積累了比較豐富的經(jīng)驗。

三、前測的意圖及習題

從上述的分析來看，學生對于面積這個概念已經(jīng)有了比較豐富的生活經(jīng)驗和數(shù)學經(jīng)驗。但是就每個個體而言，對面積的感知是否如上所說，他們當中存在著怎樣的差異呢？為了更好地幫助學生學習并建構面積的概念及內涵。我們試圖通過前測了解學生以下幾個方面的現(xiàn)實起點，從而為教學提供有利的資源和借鑒。

1.學生對于“平面”與“曲面”的認知度有多少？

2.學生能否辨識“線段”與“平面圖形”的區(qū)別與聯(lián)系？

3.畫在方格紙中的兩個長方形，學生能否根據(jù)方格的數(shù)量比較它們的大小？

4.用一根繩子圍成不同的平面圖形，它們的面積是否相同？學生對于周長與面積的區(qū)別有多少了解？

5.學生在學習前是否聽說過“面積”？能否用自己的話說一說什么是面積？

基于這樣的意圖，又為了便于操作，我們設計了如下的前測題。

測試對象：三年級下學期學生，在學習面積之前。

四、測試要求和數(shù)據(jù)統(tǒng)計

（一）測試的對象

三年級學生120人，在學習面積之前測試。

（二）測試的方法

統(tǒng)一采用面試。先做好測試題課件（包括錄音），逐一對學生進行面試，有條件的可以錄像，但不要對學生產(chǎn)生影響。

（三）數(shù)據(jù)統(tǒng)計

每個測試題需要統(tǒng)計的數(shù)據(jù)：

測試題1：對于桌面和球面的區(qū)別是從什么屬性進行描述的，比率是多少？

測試題2：從什么角度區(qū)分線段和長方形，比率是多少？

測試題3：用什么方法比較兩個長方形的面積，方法合理、比較正確的比率是多少？

測試題4：一條繩子會圍成什么圖形，每種圖形的人數(shù)是多少？能否比較兩個圖形的大小，比率是多少？

測試題5：知道面積這個詞的學生比率是多少？能合理描述什么是面積，比率是多少？

測試題目 測試意圖 測試形式1.出示物體：口試（1）桌面與球面有什么不一樣？（2）像桌面一樣的面還在哪里看到過？檢測學生對曲面與平面的直觀理解2.它們有什么不一樣嗎？ 檢測學生對一維與二維感性認識的程度口試3.下面哪個圖形大，大多少？檢測學生對圖形大小的原始辨別力口試4.給學生兩條一樣長的繩子，讓學生分別圍成兩個不同的圖形。提問：圍成的那兩個圖形大小一樣嗎？檢測學生對圖形大小的理解與周長關系的原有認識口試5.你聽說過面積這個詞嗎？用自己的話說一說什么是面積檢測學生對面積一詞的知曉率和理解度口試

五、測試結果分析和教學建議

（一）測試結果

我們選擇了城區(qū)中心小學和鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學3所共120名三年級學生進行了前測，其結果如下：

測試題一：

（1）桌面與球面有什么不一樣？

（2）像桌面一樣的面還在哪里看到過？

會舉例的學生有107人，占被測人數(shù)的百分比是89.2%；不會舉例的學生13人，占被測人數(shù)的百分比是10.8%。

描述的屬性桌面 球 人數(shù) 百分比外形 不是圓的、是方的 圓的 10 8.3%外形 平的、扁平的圓的 51 42.5%外形 長方形 圓的 34 28.3%外形 平面的 立體的、球面 3 2.5%外形 平的 不平的、彎的、凸出的 8 6.7%角 有角 光滑無角 2 1.7%大小、長短 大的、長的 小的、短的 2 1.7%觸覺 光滑的 圓 2 1.7%運動 能滑動、不能滾動 可滾動 6 5.0%邊緣 線是直的 線是圓的 1 0.8%不知道 1 0.8%

舉例的學生主要答案有：

凳子、書柜、電視機、墻、書、門、椅子、窗戶、報紙、硬幣、地板、瓷磚、木板、講臺、餐巾紙、電腦屏幕。

測試題二：

線段（圖）和長方形（圖）有什么不同？

描述的屬性 線段 長方形 人數(shù) 百分比外形 細、窄、薄、扁粗、寬、厚、高 71 59.2%大小小 大 7 5.8%線與面 一條線、線段長方形、圖形、一個面29 24.2%位置 倒下來的、橫的 豎著的、正的 3 2.5%邊 一條條的、一條邊 一張張的、四條邊 2 1.7%體 不是立體的立體的 2 1.7%線 直的 由很多條線組成 1 0.8%位置 只能畫 可立起來擺放 1 0.8%顏色 淡的 濃的 2 1.7%不知道 2 1.7%

測試題三：

下面哪個圖形大，大多少？

比較方法 比較結論 正確性人數(shù) 百分比數(shù)格子 圖形1大 正確 46 38.3%數(shù)格子 圖形2大、一樣大 錯誤 4 3.3%移動格子、拉動 一樣大 錯誤 3 2.5%比較長、行 圖形2大 錯誤 14 29.2%比較寬、高、列 圖形1大 片面 21比較長和寬、并抵消 一樣大 錯誤 1 0.8%胖與瘦 圖形1大 片面 8 6.7%感覺、猜的 一樣大 錯誤 21 17.5%感覺、猜的 圖形1大 正確 1 0.8%不知道 1 0.8%

測試題四：

給學生兩條一樣長的繩子，讓學生分別圍成兩個不同的圖形，提問：圍成的那兩個圖形大小一樣嗎？

圍成的形狀 比較結論 人數(shù) 百分比不規(guī)則圖形（13人）、愛心（10人）、圓（93人）、橢圓（23人）、半圓（3人）、三角形（37人）、長方形（16人）、正方形（45人）一樣大 44 36.7%不一樣大 76 63.3%

測試題五：

聽說過面積這個詞嗎？用自己的話說一說什么是面積？

百分比不知道 無 22 18.3%知道，不能說是否知道面積對面積的描述 人數(shù)無48 40.0%說知道，其實不知道就是長度、物品的大小、整體有多大、一個東西有多大8 6.7%知道，能說（1）表示圖形有多大；（2）表示圖形、物體的大??；（3）平面圖形的大??；（4）指大??；（5）多少平方；（6）一個地方的大??；（7）面積代表你有多大；（8）桌子面的大??；（9）一個物體的面的大??；（10）表面誰大；（11）表面的大??；（12）國旗有大有小42 35.0%

（二）測試結果分析

第一，桌面與球面的區(qū)別，有85%的學生是從面的外形作區(qū)分的。在描述桌面時，學生用到了“平的”“平面的”“長方形”“方的”等詞匯，對于長方形“形”的特征有了基本的感知。描述球面時，用到了“圓”，對于圓和球的區(qū)別還是模糊不清的。

第二，在線段與長方形的辨析中，學生對于一維和二維的認知度還是比較低的，能區(qū)分線和平面屬性的學生只占到被測學生總數(shù)的24.2%。學生在描述線段時用到了“細、窄、薄、扁”等詞匯，描述長方形時用到了“粗、寬、厚、高”等詞匯，占被測學生總數(shù)的59.2%，學生不知道線是沒有寬度的。

第三，在測試兩個長方形的大小比較時，有44.2%的學生想到了用數(shù)格子的方法進行比較，比較正確的占被測學生總數(shù)的38.3%，這些學生對于長方形的面積會從整體去思考，并借助方格完成比較；有29.2%的學生只比較了長或寬，這些學生已經(jīng)意識到長方形的大小與長和寬有關，雖片面，仍具有合理性。我們關注到有25%的學生沒有從長和寬考慮，依靠直覺判斷，兩個圖形的面積分別是35和32，回答一樣大的占17.5%，雖然錯誤，直覺還是比較準的。

第四，在繩子圍成圖形比較大小的測試中，測試結果出乎我們的預料。只有36.7%的學生認為兩個圖形是一樣大的，理由也幾乎相同，即因為繩子一樣長，這些學生是從周長的角度去思考圖形的大小，他們認為周長相等即大小相等，而跟圖形的形狀無關，雖片面，仍具有一定的合理性；此外，圍成圓（橢圓）的學生特別多，原因是圓比較容易圍，在圍成圓后，第二個圖形有長方形、正方形、三角形等，他們往往認為圓比較大（占此類比較的66.4%），學生對于大小的直覺還是比較準確的。

第五，在對于“面積”這個詞的知曉度上，有81.7%的學生從不同場合聽說過，這也符合測試前我們的預測。我們還驚奇地發(fā)現(xiàn)，有35%的學生能從“物體表面”“平面圖形”“圖形的大小”“平方”等詞匯描述面積的概念，這已經(jīng)非常接近教材對面積的描述。

第六，城區(qū)學校和鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校學生之間沒有明顯的差異；男生和女生的差異比較明顯，最典型的例子是對于面積這個概念能合理描述的42人中，男生有31人，占73.8%，男生在空間圖形領域的認知度發(fā)展高于女生。

（三）教學建議

根據(jù)前測數(shù)據(jù)分析，我們對面積一課的教學提出如下幾條建議：

1.充分利用學生的生活經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念。

學生的空間知識來自豐富的現(xiàn)實原型，與現(xiàn)實生活關系非常緊密，這是他們理解和發(fā)展空間觀念的寶貴資源。讓學生在“教室里”“校園內”“家中”等熟悉的情境中學習有關“面積”的內容，不僅可以激發(fā)學習的興趣，而且有利于更好地認識空間，發(fā)展空間觀念。

2.加強動手操作活動，豐富學生對面積的表象。

教材對面積的描述為“課桌表面的大小，就是課桌面的面積”等借助實物表面描述的方式。這里其實提到兩個事情，一是哪里有面積，二是面積是有大小的。教學中可以讓學生找物體的表面，并摸一摸表面，感受表面的大小；用小面積度量大面積的方法（如用書本測量桌面）積累測量面積的經(jīng)驗，并能用語言描述測量的結果（如桌面的大小大約是4本數(shù)學書封面的大?。?。加強動手操作活動的目的是讓學生通過手、口、眼、耳多種感官的協(xié)同活動，特別是通過動手操作，在做中學，有利于豐富學生的感性認識，有效地提高知識攝取的效果。

3.加強直觀教學，豐富學生的直接經(jīng)驗。

從比較書的封面的大小和比較平面封閉圖形的大小入手，由直接比較到間接比較，這里的“比較”一是觀察比較，二是重疊比較。一般來說，當物體表面或平面圖形大小差異明顯時，可以采用觀察比較；當大小相差不大難以觀察得出結論，而物體又便于疊合時，則可以采用重疊的方法比較大小。此外，還有間接比較的方法，即用某種統(tǒng)一的圖形作為標準，在被比較的平面部分內進行拼擺，數(shù)一數(shù)，各有幾個這樣的圖形。學生通過多種比較活動，在獲得多種感性認識的基礎上，抽象出面積的概念。在引入面積概念的描述后，讓學生用“面積”說一說上面的比較結果。在空間與圖形的教學中，提供直觀往往是認識的起點，學習的開端。用好直觀手段，加強直觀教學，對于掌握空間與圖形的知識具有重要意義。

4.辨析一維長度與二維面積，區(qū)分面積與周長。

周長和面積兩個測量的量中，周長是學生最難感知的，也是學生最難理解的。因為周長和面積同處于一個平面內，平時我們在觀察圖形時首先關注的一定是面積，所以學生對周長的感知會差一些，在解決周長和面積的問題時也易發(fā)生混淆。

教學時，可以在方格紙中設計周長相等面積不等的圖形及周長不等面積相等的圖形讓學生辨析。

（浙江省湖州市湖師附小教育集團 313000）

浙江省哲學社會科學重點課題：小學生數(shù)學學習前概念診斷與教學干預研究（13NDJC007Z）