原汁數(shù)學(xué)：學(xué)真數(shù)學(xué) 做真思考

涂玉霞工作室是黃岡市首屆十大名師工作室，由武穴市各中心學(xué)校的18位骨干教師組成。

工作室主持人涂玉霞是湖北名師、特級(jí)教師，長(zhǎng)期致力于“原汁數(shù)學(xué)”教學(xué)研究，該研究成果獲得湖北省首屆校本教研創(chuàng)新成果一等獎(jiǎng)。2013年，涂玉霞出版?zhèn)€人專著《原汁數(shù)學(xué)教學(xué)隨筆》。

“原汁”指用肉類、蔬菜、水果等直接榨出的汁液，或食物原料摻以少量的水而熬出的汁液?！霸钡膶?shí)質(zhì)是不摻雜其他成分，具有真價(jià)值。原汁數(shù)學(xué)的根本要義是把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)真數(shù)學(xué)，做真思考，形成真正的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力，其教學(xué)內(nèi)涵體現(xiàn)在五個(gè)方面。

一、數(shù)學(xué)原型：生活和經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)資源來(lái)自于現(xiàn)實(shí)生活或?qū)W生已有的經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)是對(duì)之進(jìn)行分析、澄清、引導(dǎo)、回應(yīng)，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)換、溝通、交融的過(guò)程。這樣的一個(gè)過(guò)程，可以看作兒童對(duì)知識(shí)原有基礎(chǔ)的發(fā)展或轉(zhuǎn)變，而不是新信息的點(diǎn)滴累積。

1.生活情境：具有探究的意義

談到數(shù)學(xué)生活化，很多教師以為就是從生活中找到一些相關(guān)數(shù)據(jù)或者隨便編造一個(gè)故事情境，并運(yùn)用于教學(xué)之中。這種理解是不夠準(zhǔn)確的。學(xué)習(xí)最大的快樂在于學(xué)習(xí)者在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了自己的智慧，因此，教師要盡量提供具有現(xiàn)實(shí)意義的問(wèn)題讓學(xué)生去探究，以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的能力。

2.借助經(jīng)驗(yàn)：找準(zhǔn)發(fā)展的區(qū)域

維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”認(rèn)為，學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨(dú)立活動(dòng)時(shí)所能達(dá)到的解決問(wèn)題的水平，另一種是學(xué)生借助成人或更有能力的伙伴的幫助所能達(dá)到的水平，兩者間的差異就是最近發(fā)展區(qū)。教師設(shè)計(jì)的教學(xué)問(wèn)題如果能緊緊扣住學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，就容易暴露學(xué)生的前概念，從而引發(fā)認(rèn)知沖突并衍生新知識(shí)。

教學(xué)人教版課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材四年級(jí)下冊(cè)的“中括號(hào)”時(shí)，教師設(shè)計(jì)了“聽指令，加括號(hào)”游戲：出示算式“96÷12+4×2”，要求學(xué)生按教師指令改變它的運(yùn)算順序。第一個(gè)指令：先算加法，再算除法，然后算乘法；第二個(gè)指令：先算加法，再算乘法，然后算除法。學(xué)生根據(jù)第一個(gè)指令，順利寫出了算式“96÷（12+4）×2”。在完成第二個(gè)指令時(shí)，學(xué)生寫出了很多答案，典型的有“96÷（12+4）×2）”和“96÷（12+4×2）”兩種。教師讓學(xué)生討論，“你們完成指令了嗎？這樣加括號(hào)會(huì)有什么問(wèn)題？”從而引導(dǎo)學(xué)生得出了正確算式“96÷[（12+4）×2]”。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：加入的新括號(hào)叫什么名字？它有什么作用？

這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，教師通過(guò)設(shè)置障礙，巧妙地引出了中括號(hào)，并讓學(xué)生直觀地感受到了它產(chǎn)生的意義。教學(xué)中的每一次猜想、否定、改進(jìn)，都閃現(xiàn)出創(chuàng)新思維的火花。

四、數(shù)學(xué)原本：抽象、轉(zhuǎn)化和推理

“原本”指本來(lái)的樣子。數(shù)學(xué)本來(lái)是要做什么？提供具體的問(wèn)題情境，讓學(xué)生利用抽象、轉(zhuǎn)化和推理的方法發(fā)展思維能力。說(shuō)具體點(diǎn)，就是發(fā)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)學(xué)成分，并對(duì)其做符號(hào)化處理，從而把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；對(duì)符號(hào)化的問(wèn)題做進(jìn)一步的抽象化處理，以推理方式嘗試建立和使用不同的數(shù)學(xué)模型，并將其發(fā)展為更完善、合理的概念框架。

1.抽象要實(shí)現(xiàn)理性上升

從感性具體上升到理性具體的思維過(guò)程是第一次抽象。學(xué)習(xí)者可以在此基礎(chǔ)上，憑借想象和類比進(jìn)行第二次抽象，得到那些并非直接來(lái)源于現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算方法。

比如，要讓學(xué)生經(jīng)歷“在同一個(gè)圓內(nèi)，所有的半徑都相等”這個(gè)抽象結(jié)論的概括與遷移過(guò)程，教師可以設(shè)計(jì)以下教學(xué)環(huán)節(jié)：第一，讓學(xué)生畫出一個(gè)圓的多條半徑，并量一量它們的長(zhǎng)度。第二，比一比這些半徑的長(zhǎng)度。比如，量出的長(zhǎng)度都是3厘米，也就是說(shuō)這是一個(gè)半徑是3厘米的圓，這樣就可以得到“在這個(gè)圓中，量出的這些半徑的長(zhǎng)度都是3厘米，它們的長(zhǎng)度都相等”的結(jié)論。第三，進(jìn)而猜測(cè)，得出“這個(gè)圓內(nèi)還沒有量出的半徑，長(zhǎng)度也都是3厘米”或“這個(gè)圓內(nèi)所有半徑的長(zhǎng)度都相等”的結(jié)論；再畫出幾條半徑，量一量，比一比，驗(yàn)證猜測(cè)的結(jié)論是否正確。第四，想一想，為什么會(huì)有這樣的結(jié)論？或者說(shuō)，為什么這個(gè)圓中的所有半徑都會(huì)相等？可以聯(lián)系剛才的度量，以及用圓規(guī)畫圓時(shí)兩腳尖之間的長(zhǎng)度始終保持不變，或者根據(jù)圓的本質(zhì)屬性等來(lái)解釋結(jié)論的正確性。第五，進(jìn)一步猜測(cè)得出“在任何一個(gè)圓中，所有的半徑都相等”這樣的結(jié)論；再另外畫圓，并度量半徑，驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。第六，進(jìn)一步想象、感悟這個(gè)結(jié)論的正確性。

2.推理要有法可依

邏輯推理主要有兩種形式，一是歸納推理，一是演繹推理。歸納推理是命題內(nèi)涵由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理。比如，推算三角形的內(nèi)角和時(shí)，我們經(jīng)過(guò)論證，發(fā)現(xiàn)鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形的內(nèi)角和都是180度，三角形按角分，只有這三類，所以可以推算出三角形內(nèi)角和是180度。演繹推理是命題內(nèi)涵由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理，通過(guò)演繹推理得到的結(jié)論是必然的。演繹推理的核心方法是三段論。

我們知道，數(shù)學(xué)的真實(shí)發(fā)展歷程并非是演繹的，而是先歸納后演繹。因此，為了還數(shù)學(xué)本來(lái)面目，現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的編寫并沒有一味地采用演繹體系。

3.轉(zhuǎn)化，最大限度實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)高效

轉(zhuǎn)化是通過(guò)某種方式將一個(gè)新問(wèn)題變成舊知識(shí)進(jìn)行解決的思想。它可以從語(yǔ)言描述向圖形表示轉(zhuǎn)化，可以從語(yǔ)言表達(dá)向符號(hào)形式轉(zhuǎn)化，還可以是每一種情況反轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)教師的每次新授都是在幫學(xué)生找到一個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)，或把未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，或把一個(gè)綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)基本問(wèn)題，或把順向思維轉(zhuǎn)化為逆向思維。轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，要努力實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而較快地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。

五、數(shù)學(xué)原則：嚴(yán)謹(jǐn)有理

嚴(yán)謹(jǐn)表現(xiàn)為兩個(gè)方面，一是思維的嚴(yán)密性，一是論證的嚴(yán)密性。在數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過(guò)程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則；考察問(wèn)題時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確；進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)精確無(wú)誤。數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之一。

1.充分利用直觀感知，加強(qiáng)變式練習(xí)

根據(jù)小學(xué)生的年齡和認(rèn)知特點(diǎn)，教學(xué)時(shí)宜利用各種直觀手段，促使學(xué)生形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)；在進(jìn)行不完全歸納時(shí)，要兼顧例證的數(shù)量與質(zhì)量。實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)通過(guò)變式練習(xí)突出概念的本質(zhì)，區(qū)分易混淆的概念、知識(shí)，幫助學(xué)生克服思維定勢(shì)的消極影響。

2.創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境時(shí)要符合教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性要求

教師在選擇提煉和再現(xiàn)生活場(chǎng)景時(shí)，要使之符合數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性要求。

前些日子，筆者參加一項(xiàng)研究課比賽活動(dòng)。三位教師同課異構(gòu)，教學(xué)內(nèi)容是人教版課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材五年級(jí)上冊(cè)《組合圖形的面積》。教材中的例題如下：

講課教師無(wú)一例外地讓學(xué)生分組討論：可以用哪些方法求出圖形的面積。學(xué)生思維活躍，想出了種種方法：分割法。把圖形分割成一個(gè)三角形和一個(gè)正方形，算式為5×5+5×2÷2；或者分割成兩個(gè)相等的梯形，算式為（2+5+5）×5÷2。添補(bǔ)法。把三角形上面進(jìn)行添補(bǔ)，變成一個(gè)長(zhǎng)方形，然后減去添補(bǔ)的面積，算式為（2+5）×5-5×2÷2。還有割拼法，把組合圖形分割成兩個(gè)相同的梯形，然后把另一個(gè)梯形旋轉(zhuǎn)，移上去，拼成一個(gè)平行四邊形或者一個(gè)長(zhǎng)方形，等等。

雖然學(xué)生的思維都很活躍，但我始終感到很納悶：居然沒有一位老師和一位學(xué)生對(duì)教材提出異議。教材呈現(xiàn)小男孩的話：“也可以把它分成兩個(gè)完全一樣的梯形來(lái)計(jì)算?！边@句話的依據(jù)在哪里？我們知道，只有當(dāng)上面的三角形是等腰三角形時(shí)，這句話才成立。題目給了這個(gè)條件嗎？沒有！教師引導(dǎo)學(xué)生測(cè)量驗(yàn)證了嗎？也沒有！既然都沒有，我們?cè)跄芾碇睔鈮训赜醚刍潄y的方法來(lái)求出組合圖形的面積呢？這不就是一種典型的假繁榮嗎？

教師要等學(xué)生提出多種方法后，提醒他們注意學(xué)習(xí)的嚴(yán)謹(jǐn)性，要求他們量一量，看是不是等腰三角形。我覺得，這才是學(xué)數(shù)學(xué)的態(tài)度；似是而非，在數(shù)學(xué)中是非常不可取的。

（作者單位：武穴市師范附屬小學(xué)）