依托面積為載體的幾個不等式的直觀證明及思考

陳建華

(揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚州225002)

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依托面積為載體的幾個不等式的直觀證明及思考

陳建華

(揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚州225002)

[摘要]依托面積為載體，在給出Young不等式的幾何直觀證明的基礎(chǔ)上，繼續(xù)討論幾何直觀在幾個相關(guān)不等式證明中的運用.探討了數(shù)學(xué)教學(xué)中如何發(fā)揮幾何直觀的作用.

[關(guān)鍵詞]不等式； 幾何直觀； 面積

1Young不等式

(1)

(1)式被稱為Young不等式.

Young不等式是證明H?lder不等式、閔科夫斯基不等式的基礎(chǔ)，也是定義向量(矩陣)P-范數(shù)的關(guān)鍵.關(guān)于該不等式的證明，矩陣論和泛函分析課程中都是構(gòu)造輔助函數(shù)來證明的.如：史榮昌等構(gòu)造

求導(dǎo)取特殊值證明[2]；文獻[3]和[4]中，戴華與程其襄、張奠宙等都是構(gòu)造的輔助函數(shù)是f(x)=xα-αx，這里x>0,0<α<1，然后證明函數(shù)在x=1時取得最大值1-α.教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式是有效的，但均較為抽象，特別是后兩個輔助函數(shù)不易想到，從教學(xué)角度看，這些輔助函數(shù)就像“天上掉下來的林妹妹”，給人的感覺就是突然.如何改變知識形態(tài)，讓學(xué)生易于接受，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)呢？本文以平面圖形面積為載體，從幾何直觀的角度作了一些思考.

2直觀證明

圖1　(p>2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖2　(1

教學(xué)實踐表明較之于照本宣科使用輔助函數(shù)講解，學(xué)生們對基于面積的幾何直觀證明方法更感興趣，更容易接受.我的感受是：抽象的知識會加大學(xué)生的認知難度，而教師將抽象的知識以形象化的狀態(tài)呈現(xiàn)出來，教學(xué)中就會使得教師授課輕松，學(xué)生對知識的理解透徹、記憶深刻，掌握牢固.正像斯蒂思曾經(jīng)說過的：如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么，思想上就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法[5].

3特殊化分析

由Young不等式，有

推論1當(dāng)p=q=2時，得基本不等式

(2)

當(dāng)a=x,b=1時，得

(3)

圖3

數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)于挖掘不等式中固有的幾何直觀因素，創(chuàng)造貼切的幾何直觀來理解不等式的經(jīng)典案例有許多.譬如第21屆全蘇數(shù)學(xué)競賽八年級試題：

命題1設(shè)a,b,c,A,B,C為正實數(shù)，且滿足關(guān)系a+A=b+B=c+C=k，則有不等式

aB+bC+cA

成立.

分析由條件a+A=b+B=c+C=k>0，結(jié)論中aB,bC,cA,k2，引領(lǐng)我們將“面積”納入思考的范圍，而三組數(shù)的和相等，讓正三角形或正方形浮現(xiàn)在我們面前.如圖4，構(gòu)造邊長為k的正三角形，則有大三角形的面積為

圖4

另外含三角形頂點的三個小三角形的面積分別為

而它們的關(guān)系S1+S2+S3

這里一圖抵百語，幾何直觀圖形把不等式反映的數(shù)量關(guān)系，簡明直觀地呈現(xiàn)出來.用到的幾何知識只有三角形的面積公式，問題解決的關(guān)鍵是構(gòu)造正三角形.獲得的幾何證法簡潔明快，直觀有趣，學(xué)生易于理解.如果局限在代數(shù)范圍內(nèi)考慮問題，則需要較好的因式組合、不等式放縮的基本功.下面是一種代數(shù)證法：

k3=(a+A)(b+B)(c+C)

=abc+Abc+acB+ABc+abC+AbC+aBC+ABC

=abc+ABC+aB(c+C)+cA(b+B)+aC(b+B)

>aBk+cAk+aCk=(aB+cA+aC)k.

因為k>0，故不等式成立.

4一般化探討

Young不等式一般化，有下列結(jié)論：

定理2設(shè)函數(shù)f(x)在[0,+∞)上可導(dǎo)，嚴(yán)格單調(diào)，且f(x)→ +∞(x→+∞),f(0)=0，則對任意實數(shù)a≥0,B≥0，有下列不等式

(4)

成立，其中g(shù)(y)是f(x)的反函數(shù).

證對任意給定的實數(shù)a,B，設(shè)A=f(a),f(b)=B(這里b唯一確定).

(i) 當(dāng)b>a時，有B>A，如圖5，當(dāng)y≥A時，g(y)≥a，于是

所以

(ii)當(dāng)b≤a時，有B≤A，如圖6，當(dāng)x≥b時，f(x)≥B，于是

圖5　(b>a)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖6　(b

命題2設(shè)a≥1,b≥1，則有不等式ab≤alna+eb-1成立.

分析考慮用幾何直觀解題，不等式左邊聯(lián)系長方形的面積，右邊是兩個平面圖形面積之和，由于這兩個平面圖形未必是直線型的，自然聯(lián)系定積分考慮，關(guān)鍵是需要考慮對應(yīng)積分的被積函數(shù)是誰？還有積分區(qū)間如何確定？

證用幾何直觀解題，對于不等式右邊第一項alna，對應(yīng)定積分的被積函數(shù)是lnx，且積分區(qū)間[1,a]，這樣需要湊出一項

同樣，ea-1聯(lián)系的定積分的被積函數(shù)是ey，且積分區(qū)間[0,b-1]，則有

這樣不等式左邊對應(yīng)一長方形的面積，值為ab-a.調(diào)整不等式為

ab-a≤(alna-a+1)+(eb-1-1).

即

由于y=lnx,y=ex互為反函數(shù)，作出函數(shù)圖形(如圖7，圖8)

圖7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖8

從圖形直觀立即知道不等式成立.

綜上，從問題的幾何特征尋找不等式的幾何表征，展示問題的本質(zhì)，讓不等式的證明過程避開了代數(shù)的繁瑣計算或構(gòu)造輔助函數(shù)的抽象，有利于學(xué)生對不等式的深刻理解.

5教學(xué)啟示

以上利用幾何直觀分析了若干不等式，說明借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.如何聯(lián)想問題的幾何直觀背景，對幾何直觀內(nèi)涵把握得更為細致與深入，談幾點看法，與同仁交流切磋.

第一，幾何直觀是獲得對數(shù)學(xué)深度理解的依托.數(shù)學(xué)教學(xué)中，定義不是概念表征的主要形式，解析式也未必是命題表征的關(guān)鍵形式.數(shù)學(xué)中有許多抽象的概念、公式、不等式、方程乃至一些重要性質(zhì)、定理都有其具體的幾何意義.羅巴切夫斯基斷言“直線外的一點可以作多條平行線”、“ 三角形的內(nèi)角和不一定是180度”也是直到在歐氏空間找到可視的直觀模型才獲得認可.數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果能將抽象的數(shù)學(xué)知識中固有的幾何直觀表現(xiàn)提供給學(xué)生，創(chuàng)造豐富的幾何直觀，讓它們彌漫在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的細節(jié)處、關(guān)鍵處，就能幫助學(xué)生真正將新的知識融入學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)，獲得意義.

第二，幾何直觀是推動思維展開的基礎(chǔ).徐利治先生認為，直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知.這給了我們一種理念上的拓展，即幾何直觀不只是事物的形象化呈現(xiàn)和形式化演示，還是一種思維方式.英國數(shù)學(xué)家Grlffiths在討論數(shù)學(xué)中的直覺和領(lǐng)悟時曾提出，數(shù)學(xué)中最常用的思維媒介是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的模型和實例，對于初學(xué)者來說，幾何圖形比代數(shù)符號更容易掌握和接受[6].研究表明思維的展開更傾向于依據(jù)直觀形象.數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何把幾何直觀內(nèi)化為學(xué)生的思維習(xí)慣，是我們每一個數(shù)學(xué)教師應(yīng)該關(guān)心的問題.

第三，幾何直觀是開展數(shù)學(xué)活動的一種技能.現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，使得數(shù)學(xué)許多分支漸漸遠離生活源泉，不斷發(fā)展的形式化使得數(shù)學(xué)愈來愈抽象，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愈來愈困難，而幾何仍然保持著與現(xiàn)實生活直接而又豐富的聯(lián)系.數(shù)學(xué)教學(xué)實踐告訴我們，適時捕捉數(shù)學(xué)問題中固有的、內(nèi)在的幾何直觀性，體會如何直觀化是一種數(shù)學(xué)能力.這種能力會引導(dǎo)學(xué)生思維的展開，方法的形成.幾何直觀教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)上是必須注重的一個重要的教學(xué)環(huán)節(jié).

古代詩人王籍在他的《如若耶溪》中有詩句“蟬噪林更靜，鳥鳴山更幽”，動態(tài)反襯靜態(tài)，這和幾何直觀用于證明不等式，在意境是相通的.幾何直觀是一種意識，一種思維方式，也是一種技能，中小學(xué)生需要，大學(xué)生和研究生同樣需要.加強幾何直觀教學(xué)吧，它能夠讓我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中“天上掉下來的林妹妹”的現(xiàn)象少一些，更少一些.

[參考文獻]

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[3]戴華．矩陣論[M]．北京：科學(xué)出版社，2007:170-171.

[4]程其襄，張奠宙，魏國強，等．實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M]．北京：高等教育出版社，1988:198-199.

[5]紹蓋 G．幾何直觀在數(shù)學(xué)中的作用[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，1982,(2):21-23.

[6]李士錡．PME：數(shù)學(xué)教育心理[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2001:41.

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[8]王敬庚．論幾何直觀與高師數(shù)學(xué)教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，1993,2(1):75-80.

[9]李曉莉．借助幾何直觀證明一類積分不等式[J]．西安郵電學(xué)院學(xué)報,2003,8(3):73-75.

Intuitive Proof and Thinking of Some Inequality Depends on Area

CHENJian-hua

(School of Mathematics Science, Yangzhou University, Yangzhou Jiangsu 225002,China)

Abstract:Based on the area as the carrier, this paper continues to discuss the geometry intuition in the application of several related inequality proofs on the basis of giving the geometric intuition proof of young inequality. This paper discusses how to play the role of geometric intuition in the mathematics teaching.

Key words:inequality; geometric intuition; area

[中圖分類號]O151.21； G642.4

[文獻標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)05-0060-06

[基金項目]國家自然科學(xué)基金項目(11471282)； 江蘇省研究生教改課題(JGLX14-1310)

[收稿日期]2015-08-21