基于GARCH模型族的上證綜指VaR計(jì)算

劉小冬，陳　俊，杜　歡

(西安財(cái)經(jīng)學(xué)院， 陜西 西安　710100)

基于GARCH模型族的上證綜指VaR計(jì)算

劉小冬，陳俊，杜歡

(西安財(cái)經(jīng)學(xué)院， 陜西 西安710100)

摘要：VaR已成為近年來國(guó)際廣泛應(yīng)用的風(fēng)險(xiǎn)度量方法。文章選取我國(guó)2008年至2012年每個(gè)交易日。上證綜指的收盤價(jià)，結(jié)合GARCH模型族，在正態(tài)分布、t分布、GED分布三種收益率序列分布假設(shè)下，對(duì)VaR的值進(jìn)行了分析和對(duì)比，并應(yīng)用Kupiec提出的“失敗頻率檢驗(yàn)法”進(jìn)行了準(zhǔn)確性檢驗(yàn)，通過實(shí)證分析得出，采用TGARCH—GED模型能夠較好地反映股市風(fēng)險(xiǎn)。

關(guān)鍵詞：上證綜指 ；VaR方法；GARCH模型；準(zhǔn)確性檢驗(yàn)

一、文獻(xiàn)綜述

隨著布雷頓森林體系的解體，從20世紀(jì)70 年代開始，全球金融持續(xù)動(dòng)蕩，而2008年金融危機(jī)和2009年歐債危機(jī)使得風(fēng)險(xiǎn)收益急劇變化，國(guó)際金融乃至世界經(jīng)濟(jì)受到巨大沖擊。隨著金融衍生產(chǎn)品的發(fā)展，風(fēng)險(xiǎn)的度量與管理已成為金融活動(dòng)的中心。傳統(tǒng)的通過方差、久期和CAPM等風(fēng)險(xiǎn)管理方法無法系統(tǒng)考慮金融市場(chǎng)中的各種風(fēng)險(xiǎn)，而VaR克服傳統(tǒng)方法的缺陷，將風(fēng)險(xiǎn)數(shù)值化并逐漸在金融機(jī)構(gòu)中推廣應(yīng)用。如今，VaR的重要性逐漸得以體現(xiàn)，也受到越來越多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。

1993年G30集團(tuán)《衍生產(chǎn)品的實(shí)踐和規(guī)則》的報(bào)告，基于金融衍生產(chǎn)品首次提出了度量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的VaR。Philippe[1]作為最早研究的學(xué)者之一，詳細(xì)地介紹了如何使用VaR進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算和風(fēng)險(xiǎn)管理。在我國(guó)，最先將VaR方法引入的是鄭文通[2]，他分別概括了不同資產(chǎn)收益分布下VaR的計(jì)算方法，并介紹了VaR方法的用途和引入我國(guó)的必要性。王春峰[3]系統(tǒng)完整地講解了VaR 的相關(guān)理論基礎(chǔ)。姚剛[4]介紹了資產(chǎn)組合的VaR值的計(jì)算方法，并使用Black-Scholes 模型從線性和非線性范疇對(duì)VaR方法進(jìn)行了說明。

GARCH模型是描繪波動(dòng)率的模型，隨著研究的不斷深入，GARCH模型還作為一種分析算法被引入VaR的度量中。在股票市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)研究中，Timotheos Angelidis、Alexandros Benos、Stavros Degiannakis[5]選取了五個(gè)股票指數(shù)計(jì)算投資組合日VaR的值，得出GARCH模型族的精確度對(duì)每一個(gè)投資組合是不同的。Andrea Beltratti、Claudio Morana[6]和Giot、Laurent[7]則采用GARCH模型族實(shí)證分析了單個(gè)股票指數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。鄒建軍、張宗益、秦拯[8]分別采用GARCH( 1, 1) 模型、RiskMetrics 和移動(dòng)平均法計(jì)算上海股票市場(chǎng)的VaR 值，并通過返回檢驗(yàn)得出GARCH( 1, 1) 能較好地反映上海股市的風(fēng)險(xiǎn)。閆志剛[9]基于GARCH族模型探討了我國(guó)上證指數(shù)的波動(dòng)性，研究發(fā)現(xiàn)選擇的模型中EGARCH模型的擬合度最好，而GARCH-M模型在上海股票市場(chǎng)不適用。

然而，傳統(tǒng)的VaR估計(jì)方法不考慮金融時(shí)間序列尖峰厚尾和波動(dòng)聚集性的特點(diǎn)，假定收益率序列服從假設(shè)條件過于嚴(yán)格的正態(tài)分布，從而導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)的估計(jì)會(huì)出現(xiàn)較大的誤差。因此，為更好描述金融時(shí)間序列的特征，越來越多的學(xué)者開始關(guān)注資產(chǎn)序列的概率分布。Lee、Sue、Liu[10]和Cheng、Hung[11]，分別引入偏態(tài)廣義誤差分布(SGED)實(shí)證分析標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)、道瓊斯指數(shù)，引入偏態(tài)廣義t分布(SGT)分析能源和貴金屬市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，得出基于SGED分布和t分布的模型計(jì)算的VaR值優(yōu)于傳統(tǒng)的 GARCH-N模型。林美艷、薛紅剛[12]對(duì)上證綜合指數(shù)采用GARCH( 1, 1)模型，并在收益率分別從正態(tài)分布和t分布的假設(shè)前提下考慮靜態(tài)和動(dòng)態(tài)VaR的計(jì)算方法,實(shí)證得出模型GARCH-t4 .869是最優(yōu)的。陳守東、俞世典[13]對(duì)深圳股票市場(chǎng)和上海股票市場(chǎng)分別建立GARCH-N模型、GARCH-GED模型、GARCH-t模型估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，分析得出正態(tài)分布不能夠很好地反映收益率的特征以及深圳股票市場(chǎng)面臨的風(fēng)險(xiǎn)較大。

本文在國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究基礎(chǔ)上選取最近6年上證綜指數(shù)據(jù)，基于GARCH模型、GARCH-M模型、TGARCH模型、EGARCH模型，選取不同的置信區(qū)間并擴(kuò)充其擾動(dòng)項(xiàng)的條件分布，分別假設(shè)服從正態(tài)分布、t分布和廣義誤差分布(GED)下計(jì)算我國(guó)上證綜指的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，并檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性。

二、GARCH模型族

GARCH模型一般通過條件均值方程和條件方差方程來預(yù)測(cè)收益率序列的波動(dòng)性和相關(guān)性。條件均值方程通常采用簡(jiǎn)單的形式，如，rt=μ+εt，其中μ為無條件均值，εt為擾動(dòng)項(xiàng)。GARCH模型更關(guān)注展現(xiàn)不同模型之間差異的條件方差方程，在正態(tài)分布不能充分描述時(shí)間序列數(shù)據(jù)特性的情況下，GARCH模型假定εt服從t分布或一般誤差分布。對(duì)GARCH模型進(jìn)行深入研究后，學(xué)者們又逐步發(fā)展了非對(duì)稱GARCH模型、指數(shù)GARCH模型和因子GARCH模型等，并廣泛地應(yīng)用于金融機(jī)構(gòu)的風(fēng)險(xiǎn)度量研究。下面簡(jiǎn)介各類GARCH 模型。

(一)GARCH模型

GARCH(p,q)模型的主要思想是：條件方差方程中滯后期的誤差項(xiàng)εt-i(ARCH項(xiàng))和滯后期的條件方差σt-j(GARCH項(xiàng))均是當(dāng)期條件方差的影響因素。數(shù)學(xué)形式如下：

(ω>0,α1,…，αi，…,αq≥0;β1,…，βj，…,βp≥0)

(1)

其中，α是回報(bào)系數(shù)，β是滯后系數(shù)。

(二)GARCH-M模型

1987年Engle、Lilien 和Robins[14]在GARCH模型的均值方程中引入條件方差，提出了GARCH-M模型，即資產(chǎn)收益率序列也會(huì)受到自身方差的影響，來解釋說明資產(chǎn)的期望收益與期望風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)，期望風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)的估計(jì)值可視為風(fēng)險(xiǎn)—收益的抵換系數(shù)(risk-return tradeoff)。

條件均值方程：

(2)

條件方差方程：

(ω>0,α1,…，αi，…,αq≥0;β1,…，βj，…,βp≥0)

(3)

然而GARCH模型在應(yīng)用中仍具有一定的局限性：第一，以上模型要求系數(shù)的值均非負(fù)，在一定程度上制約了條件方差的動(dòng)態(tài)性；第二，GARCH模型屬于對(duì)稱模型，條件方差僅與εt-i項(xiàng)的幅度相關(guān)，與符號(hào)無關(guān)。這與實(shí)際相悖，實(shí)際的金融價(jià)格運(yùn)動(dòng)受到正負(fù)消息的影響是不對(duì)稱的，即存在杠桿效應(yīng)( leverage effect )。為表明正負(fù)兩類殘值不對(duì)稱的反饋現(xiàn)象，在上述模型的基礎(chǔ)上發(fā)展了EGARCH模型、TGARCH模型等非對(duì)稱GARCH模型。

(三)TGARCH模型

Glosten、Jaganathan 和Runkle[15]提出門限GARCH模型(Thresholed ARCH，簡(jiǎn)稱TGARCH模型)，在條件方差方程中引入虛擬變量考慮正負(fù)誤差項(xiàng)對(duì)條件波動(dòng)的不同影響。

其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(4)

其中Dt-i是虛擬變量，當(dāng)εt-i<0時(shí)，Dt-i=1；否則，Dt-i=0。

(四)EGARCH模型

EGARCH(p,q)的模型指定條件方差為：

(5)

三、實(shí)證分析

(一)數(shù)據(jù)的選取和處理

在本文中，所選取的數(shù)據(jù)為2008年1月2日至2012年12月31日每個(gè)交易日上證綜指的收盤價(jià)，共1 457個(gè)觀測(cè)值。數(shù)據(jù)來源于大智慧軟件。分析采用的軟件是EVIEWS7.2和EXCEL2007。設(shè)第t天的上證綜指的收盤價(jià)為pt，為了消除誤差，對(duì)收益率同時(shí)采用對(duì)數(shù)形式：

(6)

(二)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征分析

圖1　上證綜指日收益率序列

圖2　上證綜指日收益率分布直方圖

如圖1所示，日收益率序列波動(dòng)呈現(xiàn)出明顯的時(shí)變性、突發(fā)性和群聚效應(yīng)。圖2上證指數(shù)收益率偏度-0.145 916，左偏峰度6.184 589(正態(tài)分布偏度為0，峰度為3)，可以看出日收益率呈左偏、尖峰厚尾形態(tài)，且JB 統(tǒng)計(jì)量為 519.008 8，其正態(tài)性檢驗(yàn)也證實(shí)了收益率r偏離正態(tài)分布。

(三)模型檢驗(yàn)

1.平穩(wěn)性檢驗(yàn)

收益率數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)采用的是單位根 ADF 檢驗(yàn)，其中根據(jù) SIC 信息準(zhǔn)則，使其值最小滯后階數(shù)為最優(yōu)，通過分析選擇滯后1期，且r均值幾乎為零，選擇無截距檢驗(yàn)，ADF 統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)的p值非常小，所以斷定此序列是一個(gè)平穩(wěn)序列(見表1)。

表1ADF檢驗(yàn)結(jié)果

2.自相關(guān)檢驗(yàn)

通過檢驗(yàn)可知，各階滯后的Q 統(tǒng)計(jì)量的p值都大于0.05，且由相關(guān)系數(shù)AC 和偏相關(guān)系數(shù)PAC可以看出在95%的顯著水平下，殘差序列不存在序列自相關(guān)。

殘差序列的平方存在高階自相關(guān)，各階滯后的Q 統(tǒng)計(jì)量的p值都小于0.05。

3.ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

Engle提出LM檢驗(yàn)法，來檢驗(yàn)收益率序列是否能夠建立ARCH模型。如表2所示：當(dāng)q=3 時(shí)， LM統(tǒng)計(jì)量的χ2檢驗(yàn)和F統(tǒng)計(jì)量的P值均為0.000 0，即收益率的殘差序列高階ARCH 效應(yīng)明顯，符合GARCH模型建立條件。

表2ARCH-LM檢驗(yàn)結(jié)果

(四)模型的建立及預(yù)測(cè)

本文采用樣本內(nèi)預(yù)測(cè)，對(duì)2008-2013年上證綜指的日收益率分別建立了GARCH、GARCH-M、TGARCH、EGARCH 模型進(jìn)行比較。對(duì)于每個(gè)模型本節(jié)都選取2013年的數(shù)據(jù)為對(duì)照組，首先通過2008 -2012 年的前1 218個(gè)數(shù)據(jù)來估計(jì)模型的參數(shù)，然后再預(yù)測(cè)2013 年238個(gè)交易日的上證綜指收益率的日VaR值，最后將預(yù)測(cè)的值進(jìn)行事后檢驗(yàn)。估計(jì)的結(jié)果如表3-6所示。

表3　GARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表4　GARCH(1,1)-M模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表5　TGARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表6　EGARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表7　2013年VaR估計(jì)結(jié)果的事后檢驗(yàn)

(五)基于失敗率的VaR檢測(cè)

本文對(duì) VaR模型進(jìn)行事后準(zhǔn)確性檢驗(yàn)選用Kupiec[17]提出的“失敗頻率檢驗(yàn)法”。Kupiec假設(shè)VaR估計(jì)具有時(shí)間獨(dú)立性，將準(zhǔn)確性檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)失敗率的零假設(shè)。在置信水平為c下失敗的期望概率p*=1-c，那么失敗檢驗(yàn)的二項(xiàng)式結(jié)果即為一系列獨(dú)立的伯努利實(shí)驗(yàn)。

假定失敗率為p=N/T(T為樣本數(shù)，N為失敗次數(shù))，Kupiec提出了對(duì)零假設(shè)p=p*的似然比率檢驗(yàn)：

(7)

本文用于檢測(cè)的樣本共238個(gè)，按照該方法，置信水平95%和99%的非拒絕域分別為5

四、結(jié)論

金融風(fēng)險(xiǎn)管理的VaR方法是近幾年來學(xué)術(shù)界關(guān)注的重點(diǎn)。我國(guó)研究分析的一個(gè)重要目的就是要科學(xué)有效地管理市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，提高資金的利用率。本文基于GARCH模型族，充分結(jié)合殘差項(xiàng)服從正態(tài)分布、t分布、GED分布的三種假設(shè)，在不同的置信水平下量化分析我國(guó)上證綜指的VaR，并對(duì)模型有效性進(jìn)行檢驗(yàn)。得出如下主要結(jié)論：

第一，根據(jù)日收益率序列的統(tǒng)計(jì)特征可以分析得出傳統(tǒng)的VaR計(jì)算方法并不能夠反映上證綜指尖峰厚尾和波動(dòng)集聚的特點(diǎn)，本文通過實(shí)證分析得出GARCH模型族能夠較好地描繪金融時(shí)間序列的短期波動(dòng)。在建立的GARCH模型族中，TGARCH模型和EGARCH模型都能夠很好地解釋股票市場(chǎng)對(duì)非對(duì)稱沖擊的反饋信息，且TGARCH模型計(jì)算的結(jié)果更符合實(shí)際。

第二，從參數(shù)ρ(見表4)可以看出，收益率序列自身的波動(dòng)對(duì)收益有較小的影響，說明上海股票市場(chǎng)并不適用GARCH-M模型。同時(shí)參數(shù)τ(見表5)為負(fù)和參數(shù)δ(見表6)為正，條件方差在同等條件下，利好消息比利空消息更為敏感，說明存在杠桿效應(yīng)，反映了我國(guó)股票市場(chǎng)的信息不對(duì)稱以及“政策市”的存在。目前這種政府定位以及不成熟的市場(chǎng)環(huán)境使市場(chǎng)機(jī)制不能充分發(fā)揮，我國(guó)證券市場(chǎng)缺乏賣空機(jī)制。

第三，在VaR 值的測(cè)算方面，分別在99%和95%置信水平下進(jìn)行了準(zhǔn)確性檢驗(yàn)，得出在95%置信水平下，幾乎所有模型計(jì)算的VaR值過于保守，而基于GED 分布的模型VaR值被高估可能性被降低，且其計(jì)算的精準(zhǔn)度也比t分布模型高。VaR值被高估在一定程度上會(huì)造成資金流動(dòng)率過低，財(cái)務(wù)杠桿未能充分利用，致使企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力不足。總的來說，采用99%置信水平下基于TGARCH-GED模型能夠更好地反映上海股票市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。

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(責(zé)任編輯：任紅梅)

收稿日期：2014-10-14

基金項(xiàng)目：陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2014JM93067)

作者簡(jiǎn)介：劉小冬(1963-)，男，陜西西安人，西安財(cái)經(jīng)學(xué)院管理學(xué)院教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)椴┺恼摷捌鋺?yīng)用；陳俊(1990-)，女，陜西安康人，西安財(cái)經(jīng)學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)榻鹑诠こ蹋欢艢g(1988-)，女，陜西西安人，西安財(cái)經(jīng)學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)榻鹑诠こ獭?/p>

中圖分類號(hào)：F830.91：F224

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-2817(2015)02-0023-05

Research on Calculation of VaR of Shanghai Composite Index
Based on GARCH Family Models

LIUXiao-dong,CHENJun,DUHuan

(Xi’an University of Finance and Economics,Xi’an 710100,China)

Abstract:VaR methods have become a global consensus measurement of risk in recent years . On the basis of theoretical analysis of VaR, this article takes the Shanghai composite index in our country as an example, combining with GARCH family models, analyses and compares the consequence of VaR under the assumptions of the normal distribution,t distribution and GED distribution. Besides, it uses the Kupiec method to verify the accuracy. Through the empirical analysis, it is concluded that the TGARCH-GED model can better reflect the risk of stock market.

Keywords:Shanghai composite index; VaR methods; GARCH models; accuracy test