淺談初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略

孫世軍

摘要：教育，一直都是時(shí)代發(fā)展的主題，特別是對于數(shù)學(xué)教育來說，作為一門分析數(shù)量、組合、變形以及空間狀況的教育科目，數(shù)學(xué)教育以其較強(qiáng)的邏輯性為主要難點(diǎn)，而對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，特別是一些變量的變化，同時(shí)也是目前考試常見的壓軸題型之一，讓很多學(xué)生產(chǎn)生困擾，甚至進(jìn)入到思維的誤區(qū)。尤其是對于函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)方面的題型來說，解答往往存在一定的難度，需要通過不同的解題策略嘗試解答，最后得出最佳的解題方法，當(dāng)然這些都離不開學(xué)生對于定理和公式的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);動(dòng)點(diǎn)問題;解題策略

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號：1992-7711（2015）23-065-1

引言

動(dòng)點(diǎn)問題，可以說是初中數(shù)學(xué)函數(shù)以及幾何題型常見的一類問題，顧名思義即是指一個(gè)或者多個(gè)活動(dòng)點(diǎn)在限制區(qū)域內(nèi)進(jìn)行規(guī)律運(yùn)動(dòng)的求解，因?yàn)楦黝愡\(yùn)動(dòng)會(huì)影響到一些題型中的一些定量變化。而運(yùn)動(dòng)方法主要可以通過單一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)以及直線的運(yùn)動(dòng)。而對于教師來說，為保證講解效果的，教師可以借助幾何畫板等電子產(chǎn)品，以保證講解效果更加直觀。

在此，筆者將通過本文，就初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略展開詳細(xì)的分析與探索。

一、動(dòng)點(diǎn)問題在平面幾何中的解題運(yùn)用

平面幾何題型一般是初中數(shù)學(xué)經(jīng)常涉及的一個(gè)內(nèi)容，而動(dòng)點(diǎn)問題也是平面幾何題型中比較難點(diǎn)的一類問題，所以解題往往需要代入一些簡單的概念。諸如以下例題1所示：

例題1：一個(gè)等腰梯形ABCD滿足AD平行于BC（以下圖所示），同時(shí)AB=DC=50，AD=75，BC=135，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P由點(diǎn)B處開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為BAADDC，運(yùn)動(dòng)速度為每秒5個(gè)單位長度向C點(diǎn)方向勻速運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q則由點(diǎn)C沿著線段CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒3個(gè)單位長度，然后過Q點(diǎn)作垂線QK垂直于BC，并與折線CDDAAB相交于點(diǎn)E，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)是同時(shí)進(jìn)行，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，最后假設(shè)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（已知t是正數(shù)）。求解：1.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)C完全重合時(shí)，求解兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，并且求解此條件下的線段BQ的長度;2.動(dòng)點(diǎn)P如果運(yùn)動(dòng)到了線段AD上時(shí)，求解t的取值為多少時(shí)，PQ平行于DC;3.假設(shè)射線QK截取梯形ABCD的面積為S，求解當(dāng)E點(diǎn)到達(dá)CD，DA時(shí)，截取面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系（寫出關(guān)系式，不用寫出t的取值范圍）[1]。

求解過程：（1）可以算出總路程，然后用總路程除以運(yùn)動(dòng)速率，即可得出時(shí)間t=（50+75+35）÷5=35（秒）;然后求解QC的長度=35×3=105，因而可得BQ的長度：BQ=135-100=35。

（2）首先如果P、Q兩點(diǎn)滿足PQ∥DC，因而可得AD∥BC，那么可得四邊形PQCD是平行四邊形，再次引申出已知條件PD=QC=3t，而BA+AP=St，50+75-St=3t，最后可得：t=1258。即當(dāng)t=1258時(shí)，有PQ∥DC。

（3）根據(jù)E在CD的運(yùn)動(dòng)軌跡，則可以分別通過A，D兩點(diǎn)作垂線AF⊥BC，垂點(diǎn)為F;DH⊥BC，垂點(diǎn)為H，由此可知四邊形ADHF屬于矩形，同時(shí)三角形ABF≌三角形DCH，最后可得條件FH=AD=75，BF=CH=30，所以可得DH=AF=40，因?yàn)镼C=3t，那么QE=QC×tanC=3t×DHCH=4t，所以S=S△QCE=12QE×QC=6t2;另外，已知E點(diǎn)在DA上運(yùn)動(dòng)，則可以作DH⊥BC，垂點(diǎn)為H，最后可得DH=40，CH=30，又已知QC=3t，則可得ED=QH=QC-CH=3t-30，所以S=SQcde=12（ED+QC）×DH=120t-600。

二、動(dòng)點(diǎn)問題在函數(shù)題型中的解題運(yùn)用

函數(shù)題型也是常見的一類動(dòng)點(diǎn)求解問題，而一些解題過程需要關(guān)聯(lián)一些平面幾何的知識(shí)點(diǎn)。諸如以下例題題2所示：

例題2：已知有一條直線，方程式為y=3x+3，其與x軸的交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，將三角形AOB沿著y軸進(jìn)行翻折，讓點(diǎn)A映射出點(diǎn)C，同時(shí)有一條拋物線通過點(diǎn)B，C與D（3，0）。求解直線BD與拋物線的方程式[2]。

求解過程：首先這道題動(dòng)點(diǎn)太多，所以也存在過多的未知條件，而需要采用待定系數(shù)法進(jìn)行求解。即根據(jù)直線方程式y(tǒng)=3x+3與x軸的交點(diǎn)，而A點(diǎn)為（-1，0），B點(diǎn)為（0，3），同時(shí)得出映射點(diǎn)C（1，0），假設(shè)直線BD解析式為y=kx+b，代入點(diǎn)B和點(diǎn)D坐標(biāo)可知，3k+b=0，已知b=3，最后可得k=-1，那么直線BD的解析式為y=-x+3;拋物線解析式：y=a（x-1）（x-3），而已知拋物線在點(diǎn)B（0，3）上，代入拋物線可知：3=ax（-3）×（-1），最后可得：a=1。最后拋物線的解析式為：y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3。

結(jié)語

對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)來說，動(dòng)點(diǎn)題型的解答是一個(gè)難度較大的問題。一般來說動(dòng)點(diǎn)題型可以包含函數(shù)和平面幾何解題，而動(dòng)點(diǎn)問題一般可以歸結(jié)于動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的瞬間，求解可以固定變量和定量，同時(shí)通過方程模型完成動(dòng)點(diǎn)求解。此外，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置或者區(qū)域，可以與其他定點(diǎn)構(gòu)建出一些特殊的圖形，進(jìn)而通過圖形性質(zhì)進(jìn)行求解。而這些題型也是中考階段常見的題型，解題除了需要靈活配合多種概念，同時(shí)還需要具有層次化的思維。

[參考文獻(xiàn)]

[1]王中文.初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略[J].讀與寫雜志（教育教學(xué)刊），2012（03）.

[2]周航.初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略探討[J]，新課程（中學(xué)），2015（07）.