探索構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)中的運用

張遠(yuǎn)利

摘要：對于一些使用通常方法按照定向思維難以解決的數(shù)學(xué)問題，我們通常會使用構(gòu)造法，運用一切已知條件和數(shù)學(xué)知識，在思維中構(gòu)造滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，從而方便快捷的解決數(shù)學(xué)問題。初中數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，合理運用構(gòu)造法引導(dǎo)學(xué)生解題思路，能夠有效的幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)解題效率。本文從構(gòu)造圖形、構(gòu)造方程等方面對構(gòu)造法解題進(jìn)行了詳解。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法 初中數(shù)學(xué) 解題

引言

在數(shù)學(xué)解題過程中，通常會采用定向思維將條件向結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而面對一些數(shù)學(xué)難題時，這種解題思路往往會走入困境，構(gòu)造法是解決這一問題的有效途徑。構(gòu)造法就是利用條件與結(jié)論的特殊性，構(gòu)造新的數(shù)學(xué)圖形、方程、函數(shù)等數(shù)學(xué)形式，柬實現(xiàn)條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化，或是運用條件構(gòu)造出數(shù)學(xué)對象，抓住問題的矛盾所在，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問題。由此可見，這種方法并不是直接解決數(shù)學(xué)問題，而是通過間接的手段，尋找輔助問題，進(jìn)而解決問題的方法。這也是構(gòu)造法解決問題的巧妙的地方。

一、構(gòu)造法概述

構(gòu)造法是根據(jù)題設(shè)的提點，用已知的條件中的元素作為“元件”，用已知的關(guān)系作為“支架”，通過觀察、聯(lián)想，采用新的設(shè)計，構(gòu)造出一種新的問題形式，從而繞過解題障礙，使問題得到解決的一種方法。在運用構(gòu)造法時，一是要明確構(gòu)造的目的，即要解決什么問題而去構(gòu)造;二是要弄清楚問題的特點，從而依據(jù)特點來確定構(gòu)造的方案，實現(xiàn)構(gòu)造解題。因此，構(gòu)造法的基本特征就是：第一，對索要討論的問題給出了較為直觀的描述;第二，不但回答了提出的問題，而且構(gòu)造出具體的結(jié)果。

二、構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)中的運用

1、構(gòu)造圖形

當(dāng)一些問題的條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不是很快就能找到的時候，通過構(gòu)造圖形，往往能將二者之間的聯(lián)系非常明確的表示出來，進(jìn)而獲得解決問題的方法。首先，遇到問題時要先觀察其中的代數(shù)式的特征，通過已有的基礎(chǔ)知識，聯(lián)想出與其能夠?qū)?yīng)起來的幾何圖形數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)已有的條件，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，然后將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想力法運用其中，通過將圖形按照條件分割、組合，使得解題思路更加的清晰直觀，從而達(dá)到事半功倍的解題效果。

例1.l：已知a、b、c是大于O并且小于1的正數(shù)，證明a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）<1。

分析：在這一題當(dāng)中，我們根據(jù)已知條件無法快速向結(jié)論轉(zhuǎn)化，就需要根據(jù)已知條件構(gòu)造圖形。根據(jù)題意可知，a、b、c是大于0并且小于1的正數(shù)，而且所證結(jié)論中有a（l-b），b（l-c）、c（l-a）三種代數(shù)式，因此，可以構(gòu)造出向積分別為a（l-b）、b（l-c）、c（l-a）的矩形，以及面積為l的正方形，（如圖一）那么我們能夠明顯的看出，根據(jù)條件所得的結(jié)論是成立的。

例 1.2 1/2+1/2₂+1/2₃+1/2₄……+1/2_n=（用含n式子表示）

分析：本題可用圖形解決，作正方形，每次取正方形一半，按圖分割：第一次得到陰影面積為1/2，第二次得到陰影面積1/2+1/2₂，如此無限的取下去，第n次得到原圖陰影面積1/2+l/2₂+l/2₃+l/2₄……+l/2_n正好是原圖面積減去空白處面積1-1/2_n。本題除構(gòu)造正方形也可構(gòu)造等腰直角三角形，靈活多樣，只需抓住后次分割面積是上次一半這一性質(zhì)即可。

2、構(gòu)造方程

方程是解決數(shù)學(xué)問題比較常用并且十分重要的一種工具，是通過根與系數(shù)的關(guān)系或者根的判別式來構(gòu)造方程。利用構(gòu)造方程的方法解決數(shù)學(xué)問題，一個重要的前提就是必須要熟悉條件或者結(jié)論中隱藏起來的結(jié)構(gòu)形式，從而能夠構(gòu)造出與力程相互對應(yīng)的表達(dá)形式。

例2.1：已知條件：（z-x）₂-4（x-y）（y-z）=0，求證結(jié)論：x+z=2y。

分析：從已知條件（z-x）₂-4（x-y）（y-z）=O中，我們可以聯(lián)想到一元二次方程的根的判別式b2-4ac，因此，這一題中，我們可以讓b=z-x，a=x-y，c=y-z，由此可以構(gòu)造出一元二次方程（x-y）X₂+（z-x）X+（y-z）=0。

所以，我們能夠得到以下的解題方法：當(dāng)X=y時，從題中條件可以得出x=y=z，因此x+z=2y，當(dāng)x≠y時，就有一元二次力程（x-y）X₂+X+（y-z）=0，通過觀察方程的各項系數(shù)，能夠發(fā)現(xiàn)（x-y）+（z-x）+（y-z）=0，所以方程有一個根等于l，又因為△=（z-x）₂-4（x-y）（y-z）=0，所以方程的兩個根同為1，由韋達(dá)定理可知|*|=（y-z）/（x-y），可得x-y=y-z，因此，x+z=2y結(jié)論成立。

例2.2：已知實數(shù)x、y、z滿足x+y=5，x₂=xy+y-9，求x+2y+3z的值。

分析：根據(jù)本題的條件可以使我們聯(lián)想到韋達(dá)定理，但是仍然需要經(jīng)過合理的變形，才能構(gòu)造出方程組求解。從題中我們可以得出一組方式組（x+1）+y=6①，（x+1） y=z₂+9②，以x+l、y為方程的兩個實數(shù)根構(gòu)造方程r₂-6t+z₂+9=0。因為方程有實數(shù)根，所以△=（-6）₂-4 （z₂+9） =-4z₂≥0.由此可以得到z₂=0，且△=o，所以方程t₂-6t+z₂+9=0有兩個相等的實數(shù)根，所以t₁=t₂=3，于是x+l=y=3，所以x=2，y=3，z=0，得出x+2y+3z=2+2*3+0=8。

總結(jié)

從以上例題中能夠明顯看到，運用構(gòu)造法解題十分快捷方便。構(gòu)造法的應(yīng)用重在構(gòu)造，根據(jù)已知條件，運用已有的基礎(chǔ)知識去將條件和結(jié)論聯(lián)系起來，發(fā)現(xiàn)問題，并為解決問題創(chuàng)造條件，從而真正的解決數(shù)學(xué)問題。

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