關(guān)注學(xué)習(xí)過程 提升數(shù)學(xué)思維水平

沈建偉

在小學(xué)數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)與概率這一領(lǐng)域，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量，其中以平均數(shù)應(yīng)用最為廣泛，它也是學(xué)生將來學(xué)習(xí)其他兩種統(tǒng)計(jì)量的基礎(chǔ)。

一、立足生活，緊扣學(xué)習(xí)起點(diǎn)，巧妙地引出“平均數(shù)”的名稱和用途

【教學(xué)環(huán)節(jié)一】從比較投籃比賽的勝負(fù)問題中自然引出“平均數(shù)”。

師：小朋友們對(duì)投籃有興趣嗎？

生：有。

師：現(xiàn)在有兩隊(duì)進(jìn)行投籃比賽，比賽結(jié)束后，他們爭論不休，都認(rèn)為自己贏了。這是兩隊(duì)比賽結(jié)果的統(tǒng)計(jì)圖（如下圖）。

引導(dǎo)學(xué)生審題后，師：男隊(duì)說他們投的總數(shù)多，所以他們贏，女隊(duì)說他們隊(duì)的佳佳投中的最多，所以她們贏，同學(xué)們，你們覺得呢？

生1：我認(rèn)為男生說的沒道理，因?yàn)樗麄內(nèi)藬?shù)比女生多，比較總數(shù)投了幾個(gè)是不公平的。

生2：我認(rèn)為他們是一個(gè)隊(duì)和另一個(gè)隊(duì)比賽，不能只看其中一個(gè)人投的個(gè)數(shù)來決定的，所以我覺得女生說的是沒道理的。

師：對(duì)呀！他們不是個(gè)人比賽，而是團(tuán)體比賽，但總?cè)藬?shù)又不同，用什么可以代表男隊(duì)的整體水平呢？用什么可以代表女隊(duì)的整體水平呢？

生：用平均數(shù)。

師：平均數(shù)是什么樣的數(shù)呢？你們聽說過嗎？

多數(shù)學(xué)生表示聽說過。

師：那你們知道生活中哪些地方用到平均數(shù)嗎？

生1：三年級(jí)平均每班有45人。

生2：期末考試的平均分是91分。

生3：周三中午平均每人分到6個(gè)桂圓。

師：是啊，生活中確實(shí)經(jīng)常要用到平均數(shù)，出示如下信息：

生活中的平均數(shù)：

1.三（2）班學(xué)生的平均體重是25千克。

2.小紅家平均每月用水5噸。

3.快速火車的平均速度是每小時(shí)350千米。

4.期中考試的班級(jí)平均分是92分。

……

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，先從學(xué)生熟悉的投籃比賽開始，給出一個(gè)判斷誰輸誰贏的問題，馬上激起學(xué)生熱烈的討論，在討論中學(xué)生發(fā)現(xiàn)了不論是說男隊(duì)贏還是女隊(duì)贏都有不合理之處，教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生從單純的比單人個(gè)數(shù)或集體總數(shù)的比較到比較兩隊(duì)的整體實(shí)力，給學(xué)生指出了一個(gè)思維的方向，即用什么來代表男隊(duì)的整體水平呢？用什么來表示女隊(duì)的整體水平呢？于是“平均數(shù)”呼之欲出。

二、解決問題，突出學(xué)習(xí)路徑，多層次地理解“平均數(shù)”的意義和性質(zhì)

理解平均數(shù)的意義和了解平均數(shù)的性質(zhì)，是平均數(shù)教學(xué)的重難點(diǎn)，在實(shí)踐教學(xué)中往往過于注重通過用什么方法求得一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)這一手段來促使學(xué)生對(duì)平均數(shù)概念的理解，而容易忽視讓學(xué)生去探究一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)究竟和什么有關(guān)，是和各個(gè)數(shù)據(jù)的總數(shù)有關(guān)呢？還是和單個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)？和數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的多少有關(guān)系嗎？如果教師不引導(dǎo)學(xué)生往這些方面去思考，則很少有學(xué)生會(huì)主動(dòng)去思考這些問題，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)平均數(shù)的意義和性質(zhì)的理解過于膚淺，對(duì)將來運(yùn)用“平均數(shù)”這個(gè)統(tǒng)計(jì)量時(shí)產(chǎn)生偏頗。只有經(jīng)歷了從直觀到抽象、從感性到理性的認(rèn)識(shí)過程，找到了數(shù)據(jù)的變化和平均數(shù)的變化的相關(guān)性，才能真正認(rèn)識(shí)到平均數(shù)的本質(zhì)特點(diǎn)，提高學(xué)生的思維水平。

【教學(xué)環(huán)節(jié)二】從求“平均數(shù)”的方法中初步理解“平均數(shù)”。

師：那么你們覺得平均數(shù)應(yīng)該是一個(gè)怎樣的數(shù)呢？

生1：不大不小的數(shù)。

生2：中間的數(shù)。

生3：很均勻的數(shù)，大家一樣多。

師：你們說得都很好，第一位小朋友說是不大不小的數(shù)，是什么意思呢？

生1：就是比大的那個(gè)數(shù)小一點(diǎn)，比小的那個(gè)數(shù)大一點(diǎn)。

師：那么怎樣知道這個(gè)不大不小的，大家一樣多的數(shù)呢？你們有沒有辦法求出男生隊(duì)的平均數(shù)呢？女生隊(duì)呢？

多數(shù)學(xué)生覺得可以。學(xué)生思考后回答。

師生交流中，得到如下兩種方法：

①移多補(bǔ)少。

②總數(shù)÷份數(shù)。

基于生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)平均數(shù)已有一定的認(rèn)識(shí)，但還是粗糙的、孤立的一個(gè)結(jié)果性的感性認(rèn)識(shí)。教學(xué)中通過演示課件，使學(xué)生經(jīng)歷移多補(bǔ)少的過程并直觀地認(rèn)識(shí)到平均數(shù)的性質(zhì)之一是處于這組數(shù)據(jù)的最大數(shù)和最小數(shù)之間，發(fā)現(xiàn)平均數(shù)不一定就是這組數(shù)據(jù)中的某一個(gè)數(shù)，而是當(dāng)各數(shù)據(jù)按移多補(bǔ)少使得每個(gè)數(shù)據(jù)相同的規(guī)則重新分配后得到的一個(gè)新的數(shù)。在此基礎(chǔ)上來討論計(jì)算的方法，使“總數(shù)÷份數(shù)=平均數(shù)”這個(gè)計(jì)算平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系式得到直觀的支撐，便于學(xué)生理解為什么平均數(shù)可以用總數(shù)除以份數(shù)的方法求得，并有別于“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”這個(gè)已有的認(rèn)識(shí)。

【教學(xué)環(huán)節(jié)三】從數(shù)據(jù)的變化中深入理解“平均數(shù)”。

師：女生隊(duì)的平均數(shù)是5個(gè)，如果“小華”沒有參加的話，你認(rèn)為女生隊(duì)的平均數(shù)會(huì)有變化嗎？會(huì)怎么變？

生：會(huì)的，平均數(shù)會(huì)變大。

師：為什么？為什么少了一個(gè)人，平均數(shù)反而變大了？

生：因?yàn)榕行∪A投的個(gè)數(shù)最少，需要補(bǔ)給她3個(gè)才和大家一樣多，但如果她不參加的話，那佳佳的3個(gè)可以補(bǔ)給小麗和小雨，每個(gè)人的個(gè)數(shù)就多了。

師：是這樣嗎？

學(xué)生表示贊同。通過課件演示，展示移多補(bǔ)少的過程，并列式為：（5+7+9）÷3=7（個(gè)）

師：那么，如果“小華”仍舊參加，而“佳佳”沒有參加呢，女生隊(duì)的平均數(shù)又會(huì)怎樣呢？

生：平均數(shù)會(huì)變小，因?yàn)榧鸭淹兜米疃?，她如果不參加的話，女生?duì)很吃虧，總成績肯定會(huì)變差的。

師：你說的總成績變差是指他們投中的總個(gè)數(shù)少了嗎？

生：不是總個(gè)數(shù)，是她們隊(duì)的平均數(shù)少了。

師：那為什么平均數(shù)就會(huì)少了呢？

生：因?yàn)樗龝?huì)把多余的個(gè)數(shù)分給別人，如果她不參加，小華和小雨就達(dá)不到6個(gè)了。

通過課件演示，展示移多補(bǔ)少的過程，并列式為：（7+3+5）÷3=5（個(gè)）

師：從剛才的兩個(gè)事情中，你覺得平均數(shù)的大小是由什么決定的呢？

生：平均數(shù)的大小是由投的最多的和最少的個(gè)數(shù)決定的。因?yàn)槿サ袅俗畲蟮臄?shù)，平均數(shù)就變小了，去掉了最小的數(shù)，平均數(shù)就變大了。

師：他說的有道理嗎？有不同的想法嗎？

生：我覺得除了最大數(shù)和最小數(shù)以外，其他的數(shù)如果改變的話，平均數(shù)也要變化的。

師：比如說……

生：如果小雨再多幾個(gè)的話，他們本來已經(jīng)分好了6個(gè)，那小雨多幾個(gè)的話又可以分到每個(gè)人那里了，就比6個(gè)多了。

師：他說的有道理嗎？

學(xué)生同意。

師：也就是說，平均數(shù)和這些數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都是有聯(lián)系的，每個(gè)數(shù)的變化都會(huì)影響平均數(shù)的大小。

師：同學(xué)們，如果告訴你男生隊(duì)有一個(gè)人沒參加，但他們的平均數(shù)還是5個(gè)，你相信嗎？

生1：不相信，因?yàn)槠骄鶖?shù)是要變化的。

生2：可以的，如果小星沒參加的話，平均數(shù)是不變的，因?yàn)樗緛砭褪?個(gè)，不用分給別人，也不用從別人那里加過來。

生3：丁丁也可以的。

師：這又是什么原因呢？這一次數(shù)據(jù)的變化為什么沒有影響平均數(shù)呢？

生：因?yàn)樗麄兒推骄鶖?shù)是一樣的。

在經(jīng)歷了如此的數(shù)據(jù)變化，學(xué)生體會(huì)到平均數(shù)不是一個(gè)孤立的數(shù)，而是由一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)的大小來決定的，真正認(rèn)識(shí)到平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的一個(gè)整體水平，理解平均數(shù)作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的意義所在。在這個(gè)學(xué)習(xí)過程中，教師先通過對(duì)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)的改變，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)據(jù)的變化，導(dǎo)致了這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的變化，進(jìn)而再通過巧妙的提問使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和平均數(shù)相等數(shù)據(jù)和平均數(shù)的關(guān)系。聰明的學(xué)生也許還會(huì)想到和平均數(shù)相差越大的數(shù)對(duì)平均數(shù)影響越大，與平均數(shù)越接近的數(shù)對(duì)平均數(shù)影響越小。移多補(bǔ)少的數(shù)學(xué)方法在幫助學(xué)生理解平均數(shù)的性質(zhì)上起到了支撐學(xué)生思維的良好作用，以它直觀的表象促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，使學(xué)生的思維從外在的形象思維逐漸地轉(zhuǎn)換到內(nèi)在的抽象思維，在思維水平上提升到了一個(gè)新的高度。

三、多元練習(xí)，培養(yǎng)判斷能力，形成求平均數(shù)的技能

【教學(xué)環(huán)節(jié)四】快速地說出下列每組數(shù)據(jù)的平均數(shù)：

①7、8、9 ②88、90 ③9、0、21 ④10、20、30、20

⑤75、80、85 ⑥13、7、40 ⑦10、64、16

在平均數(shù)教學(xué)中，理解平均數(shù)的意義和性質(zhì)固然重要，同時(shí)準(zhǔn)確地求得某組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的能力也是必不可少的。那么，如何避免在求平均數(shù)的練習(xí)中產(chǎn)生枯燥感和機(jī)械性，如何在求得平均數(shù)的過程中獲得數(shù)學(xué)思維能力的提升，感受數(shù)學(xué)方法的靈活性。這是提高課堂有效性和提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣所必須思考的問題。從前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生掌握了“移多補(bǔ)少”和“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”兩種方法去求得一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。但當(dāng)真正面對(duì)一組數(shù)據(jù)時(shí)，學(xué)生會(huì)怎想呢？他會(huì)優(yōu)先考慮哪種方法呢？如何引導(dǎo)學(xué)生去思考運(yùn)用哪種方法呢？筆者通過巧妙的習(xí)題設(shè)計(jì)，數(shù)據(jù)從特殊到一般，讓學(xué)生在“速算比賽”這樣的有一定壓力和容易興奮的思維狀態(tài)下，自覺地取舍兩種不同的方法，教師適時(shí)地進(jìn)行點(diǎn)撥和反問，使學(xué)生能在較短時(shí)間內(nèi)從數(shù)據(jù)的特征上發(fā)現(xiàn)求平均數(shù)的適當(dāng)方法。通過這樣的練習(xí)，不僅對(duì)平均數(shù)的意義和性質(zhì)有一定的強(qiáng)化作用，而且也訓(xùn)練了求平均數(shù)的技能，更重要的是學(xué)生在從看到數(shù)據(jù)到得到答案的過程中，他的觀察能力、判斷能力得到了良好的培養(yǎng)，提高思維的具體化和系統(tǒng)化能力。

【教學(xué)環(huán)節(jié)五】如下表，302班期末測(cè)試，班級(jí)平均分是89分，小明是其中一名同學(xué)，他會(huì)是幾號(hào)呢？

生1：11號(hào)。

生2：17號(hào)、21號(hào)都是89分，也有可能。

師：你們同意嗎？還有別的可能嗎？一定是89分嗎？

生：我覺得不一定要89分，其他的也可以。

師：為什么？

生：因?yàn)槠骄鶖?shù)是89分，小明不是89分，平均數(shù)也可以是89分的。

師：那你覺得在這里這個(gè)平均數(shù)89分應(yīng)該用什么方法求出來呢？

生：用全班的總分除以30就可以求出來。

師：好。[課件演示2670÷30=89（分）]電腦幫我們算出總分是2670分，為什么小明不是89分也可以，他是其他的分?jǐn)?shù)，平均數(shù)會(huì)改變嗎？

生：不會(huì)，因?yàn)榭偡譀]變。

師：哦，原來是這樣，總分不變，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就不會(huì)變。那反過來這樣想對(duì)不對(duì)：一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是89，但數(shù)據(jù)中可以有比89大的數(shù)，也可以有比89小的數(shù)？

生：對(duì)。

在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過對(duì)一組數(shù)據(jù)的觀察分析，理解了平均數(shù)的意義和性質(zhì)，如果用符號(hào)“▲”來表示這組數(shù)據(jù)，用符號(hào)“■”表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的話，學(xué)生的思考順序可以表示為“▲→■”，那么在這個(gè)習(xí)題中，學(xué)生首先知道的是一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而后要他推導(dǎo)出其中某個(gè)數(shù)據(jù)，這個(gè)思考順序應(yīng)該為“■→▲”，而且這個(gè)數(shù)據(jù)并不是確定的，而是可以使不大于100的任何自然數(shù)。這樣的思維訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)中是經(jīng)常要用到的，這種思維的方式可以幫助學(xué)生解決很多數(shù)學(xué)推理問題。這樣既可以鍛煉學(xué)生思維的嚴(yán)密性，還可以培養(yǎng)思維的發(fā)散性。在解決實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生還會(huì)碰到類似“小河的平均水深1.3米，淘氣身高1.5米，他能安全的過河嗎？”之類的問題。其實(shí)是可以回歸到以上問題中去的，平均分89分相對(duì)于平均水深，而每個(gè)同學(xué)的得分相對(duì)于小河不同位置的水深，這些位置的水深是不確定的，可能比1.5米還深。通過這樣的比較和解釋，學(xué)生自然能夠理解過河的實(shí)際問題了。

參考文獻(xiàn)：

鄒敏.“平均數(shù)”兩次教學(xué)實(shí)踐對(duì)比與反思[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2010（17）.

？誗編輯 溫雪蓮