數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗課程的研究

趙曉暉

摘要：利用數(shù)學(xué)軟件開展數(shù)學(xué)實驗教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有效途徑。本文結(jié)合作者多年數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗課程教學(xué)經(jīng)驗，論述了數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗課程的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容，探討了課程的結(jié)構(gòu)體系及教學(xué)模式，提出了以素質(zhì)教育為目標(biāo)，從低到高、從基礎(chǔ)到前沿、從理論到實踐、從傳授知識到培養(yǎng)綜合能力，逐級提高的數(shù)學(xué)實驗課程新體系。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)軟件；數(shù)學(xué)實驗；數(shù)學(xué)建模；matlab；教學(xué)模式

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）14-0244-03

一、引言

數(shù)學(xué)實驗是一種新的教學(xué)模式，它在現(xiàn)代教育理論指導(dǎo)下，使用數(shù)學(xué)軟件（如Matlab，Maple，Mathematica等）通過實驗學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識。在各種界面友好、簡單易用的數(shù)學(xué)軟件的幫助下，數(shù)值計算、圖形分析更加方便，實驗過程將數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)建模和計算機(jī)求解相融合，學(xué)生的觀察、分析和解決問題的能力得到很好的提高，把學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)階為用數(shù)學(xué)。教育部在1998年頒布的《普通高校本科專業(yè)目錄和專業(yè)介紹》中也明確將《數(shù)學(xué)實驗》列入數(shù)學(xué)類專業(yè)的主要課程，其地位不亞于大學(xué)物理實驗和化學(xué)實驗課。

目前國內(nèi)外很多大學(xué)都將數(shù)學(xué)實驗課程的教學(xué)內(nèi)容、結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行了研究[1，2，3]。目前大體上有三種思路：（1）以靈活掌握數(shù)學(xué)理論知識為目標(biāo)，在數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)中加入典型案例，與數(shù)學(xué)軟相結(jié)合來組織課程。（2）以提高動手能力，培養(yǎng)學(xué)生的專業(yè)思維和創(chuàng)新意識為目標(biāo)，教學(xué)內(nèi)容中加入開放性數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生興趣興趣，鼓勵學(xué)生探索未知。（3）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)技能的掌握，結(jié)合數(shù)學(xué)課程設(shè)置實驗問題，力求增強(qiáng)實用性[4]。其中第二種尤其適合高校理工科學(xué)生和數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生。本文首先簡要介紹數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗課程的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容，接著在此基礎(chǔ)上探討課程的結(jié)構(gòu)體系及教學(xué)模式，最終提出了以素質(zhì)教育為目標(biāo)，從低到高、從基礎(chǔ)到前沿、從理論到實踐、從傳授知識到培養(yǎng)綜合能力，逐級提高的數(shù)學(xué)實驗課程新體系。

二、數(shù)學(xué)軟件matlab

數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗課程以數(shù)學(xué)軟件為工具，目前應(yīng)用較多的數(shù)學(xué)軟件有Matlab，Mathematica，Maple，Lingo，SPSS等，本課程選用Malab作為實驗平臺。Matlab是美國Mathworks公司推出的一個高性能的科技計算軟件，它集數(shù)值計算、符號運算、圖形圖像處理、編程等多種功能于一體，應(yīng)用非常廣泛。Matlab是一個可視化開發(fā)環(huán)境。提供了大量庫函數(shù)，Matlab還是一個高級編程語言，應(yīng)用Matlab編程運算與人進(jìn)行科學(xué)計算的思路和表達(dá)方式一致，對所求解的問題，用戶只要簡單列出數(shù)學(xué)表達(dá)式，其結(jié)果便以數(shù)值或圖形方式顯示出來。這些特點保證了具有初步計算機(jī)知識的人在短時間內(nèi)掌握Matlab并解決實際問題[5]。

本課程始終把數(shù)學(xué)軟件Matlab的學(xué)習(xí)放在具體的數(shù)學(xué)環(huán)境中，采用邊講解邊舉例演示的方法，每個功能模塊的函數(shù)，都配上2～3個實例，引導(dǎo)學(xué)生一起建立模型，設(shè)計算法，編寫程序，調(diào)試運行。利用計算機(jī)把實驗、教學(xué)內(nèi)容（包括理論教學(xué)）、教師指導(dǎo)和學(xué)生的思考、操作有機(jī)融合為一體，形成一部可操作的活的教科書。

三、數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)目標(biāo)和基本內(nèi)容

1.數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗課程的教學(xué)目標(biāo)。以往數(shù)學(xué)教學(xué)通常圍繞定義、定理、證明、計算展開，側(cè)重知識講授和培養(yǎng)學(xué)生推理演算能力，即“算數(shù)學(xué)”，創(chuàng)新性較為缺失。基于此，數(shù)學(xué)實驗課程應(yīng)該取長補(bǔ)短，在原來授課內(nèi)容基礎(chǔ)上加入“用數(shù)學(xué)”的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造力，使學(xué)生能夠熟練運用數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)軟件解決具體的數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題。因此數(shù)學(xué)實驗課程的教學(xué)目標(biāo)是：（1）強(qiáng)化用數(shù)學(xué)方法抽象實際問題的能力，即數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練；（2）強(qiáng)化培養(yǎng)運用數(shù)值計算方法和數(shù)學(xué)軟件求解問題的能力。作為數(shù)學(xué)理論課程的實踐部分，數(shù)學(xué)實驗課程與數(shù)學(xué)理論課程相輔相成，是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個必不可少的環(huán)節(jié)，不可替代。

2.數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗課程教學(xué)的基本內(nèi)容。本學(xué)院的數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗課程是在學(xué)生學(xué)習(xí)完數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、概率統(tǒng)計等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課后在大二第二學(xué)期的。本課程的教學(xué)內(nèi)容分為Matlab語言基礎(chǔ)、基本實驗和綜合實驗。以軟件基本應(yīng)用為基礎(chǔ)，以基礎(chǔ)實驗為主體內(nèi)容，以綜合實驗作為提高與擴(kuò)展。實驗項目的選題主要圍繞數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、概率統(tǒng)計中一些重要數(shù)學(xué)理論，適當(dāng)擴(kuò)展到與微分方程、數(shù)值計算相關(guān)的知識。由于在實驗項目設(shè)置上和學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)理論貼近，學(xué)生比較容易接受和掌握，并且通過實驗驗證了理論結(jié)果的正確性，加深了學(xué)生對于抽象理論的理解。這一過程也為今后學(xué)生從觀察分析工程數(shù)學(xué)中的實驗結(jié)果然后上升到理論高度實現(xiàn)突破打下堅實基礎(chǔ)。

四、數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗課程的結(jié)構(gòu)體系

數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗課程在教學(xué)中力求貫徹現(xiàn)代教育思想，堅持以學(xué)生為主體，老師為主導(dǎo)的教學(xué)方式，努力做到：（1）實現(xiàn)理論教學(xué)與實驗教學(xué)的結(jié)合，在實驗的過程中，加深對抽象數(shù)學(xué)理論的理解，強(qiáng)調(diào)理論知識的運用和問題的解決。（2）突出和數(shù)學(xué)軟件的結(jié)合，加強(qiáng)應(yīng)用與實踐。（3）強(qiáng)調(diào)激發(fā)學(xué)生求知欲，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

基于以上目標(biāo)數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗課程的結(jié)構(gòu)體系設(shè)置必須體現(xiàn)繼承與創(chuàng)造相結(jié)合、傳統(tǒng)與現(xiàn)代教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合的教學(xué)觀點，形成以素質(zhì)教育為目標(biāo)，從理論到實踐、從基礎(chǔ)到前沿、從知識傳授到培養(yǎng)綜合能力，逐步提高的數(shù)學(xué)實驗課程新體系。

1.從數(shù)學(xué)軟件使用出發(fā)使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)基本概念和理論。在學(xué)習(xí)過高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等課程后學(xué)生已經(jīng)掌握了數(shù)學(xué)的一些基本原理和方法，但學(xué)生常常把數(shù)學(xué)誤解為形而上學(xué)的東西，與現(xiàn)實生活脫節(jié)，把數(shù)學(xué)的作用僅理解為邏輯思維能力的鍛煉，而非解決問題的方法。在數(shù)學(xué)實驗課程中通過使用數(shù)學(xué)軟件，不僅可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)、鞏固所學(xué)的理論知識，并且可以展示給學(xué)生傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法中見所未見、聞所未聞的一個新天地。Matlab程序設(shè)計實驗選材時應(yīng)緊密結(jié)合高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計的理論知識，將典型數(shù)學(xué)問題的求解過程做分解，對定理部分可作為演示實驗，對算法或數(shù)據(jù)計算可作為驗證實驗，使學(xué)生掌握如何利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行運算、繪圖、仿真等操作。endprint

2.以培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件和數(shù)學(xué)理論解決數(shù)學(xué)問題的能力為目標(biāo)設(shè)計基礎(chǔ)實驗?；A(chǔ)實驗項目的設(shè)置與現(xiàn)有各學(xué)期的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容緊密結(jié)合，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣和動力。一個好的實驗項目，不僅能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的計算能力，還通過學(xué)生自己的思考、實踐，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)表達(dá)能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

3.以培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)軟件解決實際問題的能力設(shè)計綜合實驗數(shù)學(xué)建模最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性以及數(shù)學(xué)對其他科學(xué)的有效性。著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面，它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門實驗性的歸納科學(xué)?！盵6]數(shù)學(xué)既是一門演繹科學(xué)，也是一門實驗性的科學(xué)。教育改革的主要任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)造性思維、意識和能力。數(shù)學(xué)素質(zhì)除了包括邏輯思維能力、抽象思維能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)運算能力外，還包括數(shù)據(jù)處理能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)值計算能力，要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)解決實際問題，會用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行科學(xué)計算。因此數(shù)據(jù)處理能力、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)值計算能力的培養(yǎng)對提升學(xué)生創(chuàng)造力起著至關(guān)重要的作用。

因此綜合實驗項目的選擇應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)建模競賽等活動，從實際生活出發(fā)，結(jié)合實際問題，如環(huán)境污染問題、經(jīng)濟(jì)效益問題、排隊問題等與數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)值計算方法緊密聯(lián)系。通過解決較為復(fù)雜的綜合問題擴(kuò)展學(xué)生的知識面，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生具有應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和能力。

五、數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗課程的教學(xué)模式

數(shù)學(xué)實驗是一個帶有研究性質(zhì)的實驗課程，因此它的教學(xué)模式應(yīng)該以學(xué)生為主體，以問題為載體，學(xué)習(xí)方法為手段，計算機(jī)及其軟件為工具，在教師指導(dǎo)下通過學(xué)生自己動手完成指定的實驗課程，使學(xué)生在模擬的科學(xué)研究環(huán)境中了解和掌握解決實際問題的全過程。其教學(xué)模式應(yīng)該遵循以下4個基本原則：

1.正確處理教學(xué)中教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體作用之間的關(guān)系[6]。在保證教師主導(dǎo)作用的同時，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。通過教師的主導(dǎo)性來調(diào)動學(xué)生的主動性，激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在教學(xué)方式上，以講授、演示、討論、分組、實驗報告等多種方式混合進(jìn)行。

2.正確處理傳授知識與培養(yǎng)創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的關(guān)系。教師在傳授知識的同時，要注重學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本思考方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、計算機(jī)應(yīng)用能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，以便能很好地適應(yīng)科技發(fā)展、社會發(fā)展和學(xué)生個體發(fā)展的需要。（1）采用開放型的啟發(fā)式、研討式、演示教學(xué)法等。重視教學(xué)實踐環(huán)節(jié)，訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性的思考，嘗試從多方面和多個知識點切入進(jìn)行思考。在教學(xué)過程中鼓勵學(xué)生不拘泥于課本和老師的傳授，勇于發(fā)表自己的觀點。在課堂上強(qiáng)調(diào)師生互動，教學(xué)過程中教師和學(xué)生都可以提出自己的問題，大家來共同解決。在相互啟發(fā)的過程中養(yǎng)成創(chuàng)新思維習(xí)慣，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和欲望，培養(yǎng)了學(xué)生主動探索、努力進(jìn)取的學(xué)風(fēng)，從而使學(xué)生自覺、自信、自主地學(xué)習(xí)，顯著提高能力。（2）以建模方法為主線，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。教學(xué)過程著重于數(shù)學(xué)方法的掌握、數(shù)學(xué)思維的建立，使學(xué)生能將學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識與方法應(yīng)用于實踐。打破各個數(shù)學(xué)分支自成體系的界限，以建模方法介紹為主線，通過原始問題→數(shù)學(xué)問題→數(shù)學(xué)模型→程序求解的過程，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握問題，應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維方式和科研思維習(xí)慣。

3.正確處理教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)模式的關(guān)系。構(gòu)建數(shù)學(xué)實驗課的教學(xué)模式的原則應(yīng)該是將傳統(tǒng)的教學(xué)過程轉(zhuǎn)變成運用現(xiàn)代教育技術(shù)理論教學(xué)、課堂演示、上機(jī)實踐相結(jié)合，多方面引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探討問題，最終獲得知識，培養(yǎng)能力的過程。在教學(xué)中充分運用多媒體教學(xué)和課堂實驗演示，以數(shù)學(xué)軟件為工具生動形象地揭示理論的形成過程，讓數(shù)學(xué)的思想和理論“可視化”。教學(xué)中采用邊講解，邊舉例演示的方法，將數(shù)學(xué)理論和軟件求解相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生一起建立模型，設(shè)計算法，編寫程序，調(diào)試運行。利用計算機(jī)把實驗、教學(xué)內(nèi)容（包括理論教學(xué)）、教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)者的思考、操作有機(jī)融合為一體，形成一部可操作的活的教科書。使學(xué)生在解決問題的過程中，加深理論理解，提高分析解決問題的能力。

4.更新學(xué)生學(xué)習(xí)評價體系，正確評價學(xué)生學(xué)習(xí)效果。課程采用了課堂練習(xí)、上機(jī)實驗、期中考試和期末考試相結(jié)合的學(xué)習(xí)效果綜合評價方法。在考試方式和內(nèi)容的設(shè)計方面，注意到數(shù)學(xué)實驗的實踐性，考試側(cè)重于實際操作和技能考核方面，避免了學(xué)生死記硬背的方式，強(qiáng)調(diào)知識的學(xué)習(xí)和綜合能力培養(yǎng)。下面以一個具體實例說明數(shù)學(xué)實驗的過程。

例：某實驗中測得一組數(shù)據(jù)，其值如下：

X 1 2 3 4 5

Y 1.3 1.8 2.2 2.9 3.5

已知x和y成線性關(guān)系，即y=kx+b，求系數(shù)k和b，并畫出圖形。

程序設(shè)計及運行結(jié)果：

>>x=[1，2，3，4，5]；

>>y=[1.3，1.8，2.2，2.9，3.5]；

>>p=polyfit（x，y，1）

p=0.5500 0.6900 %即k=0.5500 b=0.6900

>>x1=1：0.1：5；

>>y1=polyval（p，x1）；

>>plot（x1，y1，r-‘，x，y，bo‘）

課堂教學(xué)時，給出題目后即可引導(dǎo)學(xué)生思考此問題屬于哪類問題，請同學(xué)們先運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識演算解答此問題，然后互相討論并指出此問題用數(shù)學(xué)軟件解答所需要用到的函數(shù)，教師和同學(xué)一起寫出程序，運行觀察結(jié)果，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步完善程序，將數(shù)學(xué)實驗方法和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)解法對比。

六、總結(jié)

數(shù)學(xué)實驗課是一種新的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)理論的理解，強(qiáng)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)值計算能力，培養(yǎng)了創(chuàng)新意識，本學(xué)院在歷年的數(shù)學(xué)建模競賽中都取得了較好的成績，獲得國家二等獎一項，省一等獎二項，省二等獎三項，數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗課程的發(fā)展為這些成績的取得做出了重要貢獻(xiàn)。在今后的數(shù)學(xué)軟件和數(shù)學(xué)實驗課教學(xué)實踐中，我們還應(yīng)進(jìn)一步改革、完善現(xiàn)有教學(xué)模式，探索新的模式。

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