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    電磁場課程中矢量分析的教學研究

    2015-12-09 20:37丁攀峰
    教育教學論壇 2015年15期
    關(guān)鍵詞:電磁場

    丁攀峰

    摘要:基于長時間的教學實踐和總結(jié),將實際的范例與數(shù)學公式的講解相結(jié)合,提出了電磁場課程中矢量分析的教學新思路。按照新的教學方法,學生可以較為深入地理解矢量分析基礎(chǔ)的內(nèi)涵,奠定學習電磁場的理論基礎(chǔ)。

    關(guān)鍵詞:電磁場;矢量分析;實際范例

    中圖分類號:G642.41 文獻標志碼:A 文章編號:1674-9324(2015)15-0136-02

    一、引言

    對于電子、信息、通信、光學專業(yè)的大學生而言,電磁場一直都是相對比較難學的一門課程,同時也是高等學校電子、通信工程等專業(yè)本科生必修的課程[1-4]。通過實際教學中的調(diào)研,可以發(fā)現(xiàn),大多數(shù)學生對電磁場理論的基礎(chǔ)部分—矢量分析缺乏深入的認識,從而帶來理解上的困難,最終在學習電場、磁場、電磁波的過程中產(chǎn)生難以剔除的障礙,更為嚴重的是:由于缺乏對矢量分析這一基礎(chǔ)的理解,在學習的過程中逐漸失去興趣和信心。基于此種現(xiàn)狀,本文依據(jù)多年的實際教學總結(jié),提出矢量分析教學中的新方法,意在探討更切合教學實際的教學思維和方案。

    二、實際范例與數(shù)學相結(jié)合

    鑒于矢量分析部分的內(nèi)容難以理解、缺乏具體生活及實際感受的特點,因此從實際的感受出發(fā),引領(lǐng)學生對基本概念深入理解則顯得非常重要[5]。本文探討實際范例與數(shù)學理論教學相結(jié)合的教學模式,從實際范例的選擇、具體數(shù)學公式的切入點兩個方面來說明該教學模式的具體操作辦法。按照矢量分析中知識點的基本特點,可以分為兩個層次,第一層次知識點為標量積與矢量積,第二層次為三角算符及衍生算符(包含梯度、散度、旋度)。以下內(nèi)容以目前矢量分析中的基本概念為例,來說明實際范例與數(shù)學相結(jié)合的具體方案。

    1.第一層次:標量積與矢量積。標量積與點乘對應(yīng),矢量積與叉乘對應(yīng)。其中,標量積的數(shù)學計算為分量乘積的代數(shù)和,矢量積的計算為行列式的計算。標量積的理解相對容易一些,因為在中學的學習中,力學做功的物理概念得到了比較深入的詮釋,做功這一范例,正好可以作為點乘運算的經(jīng)典,所以理解點乘很容易。但值得注意的是,單純停留在這一理解層次是不夠的,點乘還有一個定義:一個矢量在另一個矢量方向上的投影與該方向上矢量的代數(shù)乘積。這一定義在邏輯理解上是很直觀的,但在教學中,教師有必要在公式上證明:無論在二維還是三維空間,按照上述定義計算推導(dǎo)的點乘結(jié)果,與前面所述“標量積的數(shù)學計算為分量乘積的代數(shù)和”完全等價(二維空間的證明簡單,三維空間的證明可在二維的基礎(chǔ)上進行),如此,學生可以將對點乘的理解上升到一個新的高度。

    與標量積不同,矢量積的理解則要困難一些,這與中學教學中的側(cè)重點有關(guān)。矢量積的最簡化描述可以用這樣一個范例表示:一個x方向上的矢量與一個y方向上的矢量叉乘,得到一個大小等于xy的z方向上的矢量(滿足右手定則)。以上內(nèi)容對于已經(jīng)熟悉叉乘的人來說,是很淺顯易懂的,但對于不熟悉的人而言,則比較困難,因為叉乘的結(jié)果是一個矢量,既有大小也有方向,其大小和方向都需要解釋清楚才能讓叉乘的概念容易被接受。為了解釋叉乘,一個經(jīng)典的范例是力矩(或力偶),學生對這一概念有具體的生活感受,比如旋轉(zhuǎn)螺絲等轉(zhuǎn)動模型(力的方向不一致,螺絲的上升方向相反),轉(zhuǎn)動軸到著力點的位置矢量定義為r,力定義為F,則力偶記為r×F,生活實際中最具體的感受是:r與F垂直時,力偶的效果最明顯。這一感受可以作為理解力偶大小的基礎(chǔ),而螺絲旋向可以作為理解力偶方向的基礎(chǔ)。有了這兩個方面的理解,前面所述的“x方向上的矢量與y方向上的矢量叉乘,得到一個大小等于xy的z方向上的矢量”顯得就比較清晰了。當然,這一層面是理解叉乘的基礎(chǔ),教學中,必須注意到,叉乘的運算可以用行列式表示,也可以這樣描述:兩個矢量叉乘,其結(jié)果的方向為第一個矢量到第二個矢量滿足右手定則的方向,其結(jié)果的大小等于兩個矢量的模與其夾角正弦函數(shù)的乘積。因此必須在數(shù)學上證明:兩個表述或者計算結(jié)果是等價的(在三維空間中證明),如此,學生對叉乘的理解也可以上升到一個新的高度。

    2.第二層次:三角算符與梯度、散度、旋度。三角算符相關(guān)的主要概念包含梯度、散度、旋度,學生對算符本身這一概念很難接受,其原因是接觸甚少,因此在教學中首先應(yīng)該清楚地指出:三角算符是助記符,它的功能就是進行矢量微分運算,其使用是為了書寫的簡潔,這一點其實和初等代數(shù)中的算數(shù)平方根符號是類似的,只是兩者的功能與作用對象不同。

    梯度的概念是三角算符直接作用于一標量函數(shù),結(jié)果為一矢量,這一點在數(shù)學上很容易解釋,但理解相對要困難一些。教學中可以給出一個實際的范例:在一個溫度場中,如冬天房間中放置一取暖器,熱穩(wěn)定后,房間形成了穩(wěn)定的溫度分布(等溫度面形成),一只聰明的小飛蟲從門縫飛入取暖,它的飛行路線會垂直穿越等溫面以靠近取暖器,路線的方向與溫度場的梯度方向平行。如果小飛蟲在空間中某一點往其他方向飛行,這個方向就是方向?qū)?shù)的方向,只有當該飛行方向與該點的溫度場梯度方向平行時,方向?qū)?shù)值才能達到最大,以上解釋與數(shù)學上梯度的運算是完全相符的。如此,學生基本上能夠?qū)μ荻韧瑫r產(chǎn)生感性與理性認識。需要指出的是:解釋梯度時,不建議采用重力場作為范例,這一點在實際教學中容易被忽略,原因在于:重力場不是標量場,嚴格來說應(yīng)該選擇高度場,兩者的對應(yīng)關(guān)系不適合在此教學階段給出說明,放在后面場的分類這一教學部分更加合適。

    散度的概念比梯度要復(fù)雜,其含義為某一矢量場在單位體積里面的通量,這里包含另一個概念“通量”,要想解釋清楚散度,必須先解釋清楚通量。通量的概念是直觀的,其含義為矢量場與穿過面(有向曲面,為矢量面)的標量積(點乘)。學生對水流通量和光照通量有實際感受與體驗,此時可以借助水流通量,光照通量的例子來說明通量的含義。如果學生對有向曲面的理解不夠清楚,則需要幫助學生回憶并加深“有向面元”的概念。當通量能夠被學生深入理解后,可以開始散度的講解,仍然可以選擇光照的例子來解釋散度,此時必須特別注意一個問題(這個問題很多教師覺得本該如此,微不足道,不需說明,實際上非常重要):散度概念中的通量和前面所屬的通量略有不同,這個通量具有特殊性,它特別強調(diào)此時的“矢量面”是一個封閉曲面,因為散度的定義本身就是單位體積上的通量,體積從何而來,就是從通量中的“封閉的矢量面”而來。如果不強調(diào)這一點,散度定義中的“通量”和“體積”之間的聯(lián)系容易被忽視。在此基礎(chǔ)上,可以選擇光照的例子來解釋散度,具體可以選擇兩個模型:(a)將光源置于某一封閉曲面中間;(b)將光源置于某一封閉曲面之外。容易判斷,后者的通量為0,因為,從曲面一段進入的光通量在另一端穿出,對于封閉曲面而言,總的光通量為0,此時得到的散度(這一概念在此處不夠嚴謹,但可以幫助理解)為0,究其原因:光源不在里面,換言之,封閉曲面中沒有發(fā)光體。相反,(a)模型中的散度不為0,封閉曲面中包含發(fā)光體。如此對比,學生可以從感性的角度認識到:一個矢量場的散度,實際上是在找尋自己(矢量場)的“源”,當然為了嚴格起見,最后必須從“單位體積”上的通量來說明散度,即從極限和微積分的對應(yīng)關(guān)系來解釋。

    從物理學的角度來看,旋度定義為一個矢量,其大小為單位面積上環(huán)量的極大值,其方向為環(huán)量極大值時、對應(yīng)封閉曲線的滿足右手定則的方向。從實際的教學經(jīng)歷來看,旋度更加難以理解,也更難以從一個通俗易懂的角度進行解釋。要想解釋旋度,必須首先解釋環(huán)量。而環(huán)量的概念“非直觀”,理解比通量要困難,實際生活中能夠給出這個概念的范例少之又少,只能選擇諸如“龍卷風、水流漩渦”的例子,而且開始講解時必須強調(diào):置于“龍卷風、或水流漩渦”中的微小樹葉能夠獲得動能,就是“龍卷風、或水流漩渦”中的速度場具有環(huán)量的結(jié)果,即:此時“龍卷風、或水流漩渦”對環(huán)繞一周的微小樹葉做功,這一點可以與“重力場”對比,物體在重力場中環(huán)繞一周是不能獲取能量的,換言之,此時重力場不做功。如此,可以讓學生理解“環(huán)量”。其次,需要解釋“其方向為環(huán)量極大值時、對應(yīng)封閉曲線的滿足右手定則的方向”,這里最重要的是要解釋“極大值”的問題。為了說明這個特別的“極大值”,仍然需要在“龍卷風、或水流漩渦”的范例中說明,選擇具有相同面積、不同方向的有向面元(面元對應(yīng)的包絡(luò)線即為有向封閉曲線)進行對比,例如在“水流漩渦”中,在有向面元的形狀和面積完全相同時,改變這個面元(有向封閉曲線)的方向,其環(huán)量是肯定不一樣的,一定存在一個極大值(生活中有感受,就是眼睛看到的漩渦),此時對應(yīng)一個封閉曲線的方向(滿足右手定則)就是旋度的方向。把這個方向作為旋度的方向,其實是一個選擇,因為只有這個方向,才能展現(xiàn)這個場的特質(zhì)。數(shù)學上對旋度的解釋比較復(fù)雜,我們會另文說明。

    三、總結(jié)

    從實際的教學經(jīng)歷出發(fā),總結(jié)了電磁場矢量分析部分教學中的問題與難點,通過長時間的總結(jié),提出了關(guān)于矢量積、標量積、三角算符及衍生概念的教學新思路,新思路中強調(diào)學生的主觀體驗與數(shù)學公式上的結(jié)合,有望加深學生對矢量分析的認識,奠定學習電磁場的基礎(chǔ)。

    參考文獻:

    [1]周宏威,張少如,黃曉舟,等.電磁場課程理論及實踐教學改革[J].實驗室研究與探索,2013,(8):102.

    [2]張平娟,丁西明.“電磁場與電磁波”課程教學內(nèi)容優(yōu)化與教學方法分析[J].中國電力教育:下,2012,(10):48-48.

    [3]杜勇,莊銘杰,馬中華,等.電磁場與微波課程體系改革與內(nèi)容優(yōu)化[J].集美大學學報,2013,13(4):120-124.

    [4]劉萬強,孫賢明,王海華.電磁場與電磁波實驗教學的探索與實踐[J].大學物理,2012,(12):07.

    [5]賈雁飛,趙立權(quán),陳曉娟.電磁場與微波技術(shù)課程教學方法研究[J].吉林化工學院學報,2013,29(12):43-45.

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