小估算 大智慧

李國良

摘要：本文在分析估算“教學(xué)難”的基礎(chǔ)上提出解決的四方面策略，讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行估計(jì)，讓學(xué)生有經(jīng)驗(yàn)、方法可循，讓估算滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)角落，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的有力武器。因此在教學(xué)中培養(yǎng)估算技能的同時(shí)，要發(fā)展學(xué)生估算意識(shí)。

關(guān)鍵詞：估算；教學(xué)策略；估算意識(shí)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）10-0247-02

一、估算難之現(xiàn)狀反思

1.開放性造成答案不確定。估算問題往往沒有唯一確定的答案。如：沙坪小學(xué)有學(xué)生612人，全鄉(xiāng)有這樣的小學(xué)19所。全鄉(xiāng)約有多少名小學(xué)生？估算時(shí)，可以把612看成600人；可以把19所大約地看成20所，也可以把612看成610，19看成20進(jìn)行估算。不確定的數(shù)字更帶來不同的解答策略，對(duì)習(xí)慣了單一答案的學(xué)生來說，帶來了難度。

2.推理性造成過程復(fù)雜性。估算問題有時(shí)需要一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行推理。如：1億粒米有多重？學(xué)生可以先通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)100粒米是多重，然后通過計(jì)算推理1億粒米的分量。標(biāo)準(zhǔn)的確立，需要學(xué)生動(dòng)用多種測(cè)量工具，進(jìn)行有理有據(jù)的估算。這個(gè)過程對(duì)解決問題能力薄弱的學(xué)生來說，有一定難度。

3.多樣性造成策略選擇難。數(shù)的省略，可以按照四舍五入的規(guī)則進(jìn)行，但是解決估算問題沒有一定的策略可循，更多是需要根據(jù)生活實(shí)際自己選取估算策略：如去尾法、四舍五入法、進(jìn)一法等。于遠(yuǎn)離生活的學(xué)生來說，對(duì)這些越來越貼近生活實(shí)際的題，遠(yuǎn)不像整數(shù)的加減那樣容易掌握。

4.多精算造成弱估算。對(duì)于小學(xué)生來說，精算占據(jù)了他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活的方方面面。大量的精算題讓學(xué)生計(jì)算快、準(zhǔn)、易，而估算則因其較少的使用范圍造成了學(xué)生越來越缺少估算意識(shí)，估算的需求更談不上了。就估算本身來說，大多數(shù)估算用整十整百數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單估計(jì)，計(jì)算容易。所謂估算難，難在一個(gè)選擇過程、選擇答案的過程。如果我們把它視作一種體驗(yàn)，能鍛煉思維、進(jìn)行驗(yàn)算、培養(yǎng)數(shù)感、培養(yǎng)觀察力和直覺思維的體驗(yàn)過程，而進(jìn)一步弱化估算的實(shí)際結(jié)果，估算則不難。更進(jìn)一步說，把估算提到與精算同樣的地位上，估算也將同精算一樣成為家常便飯，估算則不難。

二、解決估算教學(xué)難的根本策略

1.估算，讓學(xué)生拋掉模型。大多時(shí)候，學(xué)生不采用估算，是因?yàn)榫隳芙鉀Q問題，在這種情況下，學(xué)生就想不起來用估算。因此，教師采用的教學(xué)原型是學(xué)生前面從來沒有接觸過的，學(xué)生不能使用已知的模型，則需借助數(shù)學(xué)思想方法解決問題。這樣的估算對(duì)學(xué)生來說意義更為深遠(yuǎn)。如教學(xué)實(shí)例：（1）一個(gè)不規(guī)則圖形，已知每格為1平方厘米，請(qǐng)估計(jì)這個(gè)圖形的面積。（2）估計(jì)圓面積的大小。在上例中，學(xué)生已經(jīng)無原型可依，這時(shí)估算可采用什么方法呢？教師可從引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)圓面積的推導(dǎo)過程入手。此時(shí)圓面積介于大正方形于小正方形的面積之間，而這兩個(gè)正方形的面積又是學(xué)生可以求得的：S大正方形=2r×2r=4r2；S小正方形=r×r÷2×4=2r2。由此可以估計(jì)得到圓面積介于2r2和4r2之間。

再看這道題，不規(guī)則圖形的面積同樣學(xué)生沒有可以參照的標(biāo)準(zhǔn)，但是也可以模仿推導(dǎo)的過程得到一個(gè)大致的范圍。我們可以把不規(guī)則圖形外面套上一個(gè)“合身”的長(zhǎng)方形，內(nèi)切一個(gè)長(zhǎng)方形。此時(shí)，我們完全可以看到這個(gè)圖形的面積大約在什么范圍以內(nèi)了。為了使結(jié)果更精確些，此時(shí)不妨可以設(shè)問：“如果想讓結(jié)果更精確些，該怎么辦？”因?yàn)樵谌切螌W(xué)習(xí)中學(xué)生有方格圖中移多補(bǔ)少經(jīng)驗(yàn)的支撐，學(xué)生可以用移多補(bǔ)少的方法去解決問題，也可以用微分的方法對(duì)每個(gè)小正方形再平均分成若干份，看看不規(guī)則圖形實(shí)際占了這樣的幾個(gè)小格，得到面積是多少。這樣的學(xué)習(xí)情境不同于學(xué)生常見的估算，學(xué)生無法用已知的面積公式來解決問題，但是可以通過一個(gè)區(qū)間的確定，來讓學(xué)生體會(huì)估算。特別是通過再分小格的方法，可以進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)極限的思想。

2.估算，讓學(xué)生有跡可循。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“（讓學(xué)生）能結(jié)合具體情境進(jìn)行估算，并解釋估算的過程”；還要“不失時(shí)機(jī)地培養(yǎng)學(xué)生的估計(jì)意識(shí)”。學(xué)生的估計(jì)隨意性較大，這時(shí)如果教師能提供一定的參照標(biāo)準(zhǔn)，則會(huì)讓估算有跡可尋，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)估值能比較接近準(zhǔn)確結(jié)果，為生產(chǎn)生活服務(wù)。教學(xué)片斷：師：這疊紙請(qǐng)你預(yù)測(cè)下張數(shù)。生1：100張。生2：500張。生3：1萬張。師：（拿出另一疊紙放在第一疊紙的邊上）這疊紙有100張。生4：我估計(jì)另一疊在250張左右。師：為什么？生5：因?yàn)閺暮穸壬峡矗蟾攀乔耙化B紙的2.5倍左右。生5：我用小拇指比照了一下，第一疊紙的厚度大概是一個(gè)指甲長(zhǎng)，第二疊大概是三個(gè)指甲那么長(zhǎng)，所以我估計(jì)是在300張左右。教師適時(shí)地參與，提供參照標(biāo)準(zhǔn)，此時(shí)學(xué)生的估值就不會(huì)那么盲目，完全跳出了亂猜的怪圈，變得有理有據(jù)，猜測(cè)的軌跡變得清晰，對(duì)學(xué)生的思維更具有指導(dǎo)意義?！睹娣e單位》教學(xué)片斷：師：老師這里有一張紙片，你能估計(jì)下這張紙片的大小嗎？生1：大概50平方厘米吧。生2：大概80平方厘米吧。生3：大概72平方厘米。師：別人的估值都是整十?dāng)?shù)，為什么你的估值還有個(gè)尾數(shù)呢？生3：我是這樣想的，我估計(jì)了下，這個(gè)長(zhǎng)方形紙片長(zhǎng)大概是9厘米，這樣長(zhǎng)邊上可以放9個(gè)1平方厘米的正方形紙片；寬大概是8厘米，這樣寬邊上可以放8個(gè)1平方厘米的紙片。相當(dāng)于每行9個(gè)，擺了8行，這個(gè)長(zhǎng)方形紙片可以放72個(gè)1平方厘米的紙片。所以我估計(jì)這個(gè)紙片大概是72平方厘米。經(jīng)常進(jìn)行這樣的估算練習(xí)，有助于在頭腦中樹立面積單位的表象，使學(xué)生形成對(duì)數(shù)、問題及結(jié)果的直覺素質(zhì)。

3.估算，讓學(xué)生有法可依。雖然估算方法多變且靈活，存在估算結(jié)果各異的情況，但是估算方法并非毫無規(guī)律。除了常見的四舍五入和湊整法外，較常用的還有以下幾種：

（1）根據(jù)商的位數(shù)估算。例如：4305÷41=105，根據(jù)判斷，商的最高位在百位上，應(yīng)該是一個(gè)三位數(shù)，因此可判斷如果商是“15”是錯(cuò)誤的。

（2）數(shù)位估算法。學(xué)生需關(guān)注算式、圖形或者解決問題中具體數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，從數(shù)位上判斷得出結(jié)論。①首位估算法。如2895÷5商最高位是“5”，不然結(jié)果就是錯(cuò)誤的。②末位估算法。如34.8×5.7，積的末位應(yīng)當(dāng)是6，否則就錯(cuò)。另外還有位數(shù)估算法等。

（3）根據(jù)數(shù)量關(guān)系與意義估算。例如，一段路程，甲走完需要5小時(shí)，乙走完需要10小時(shí)。兩人如果同時(shí)出發(fā)，相向而行，則幾小時(shí)相遇？根據(jù)學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，相當(dāng)于甲乙共同完成一件工作，因此可以估計(jì)相遇時(shí)間應(yīng)在5小時(shí)以內(nèi)，這就不難判斷出自己的得數(shù)是否正確了。又如在計(jì)算合格率、命中率和出勤率等問題時(shí)，計(jì)算結(jié)果超過100%也肯定是錯(cuò)的。

當(dāng)然，由于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解水平及思維方式不同，相同的題有不同的估算方法。教師要引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)不同的情境，采用不同的估算方法，同時(shí)充分交流，使學(xué)生體會(huì)到估算的實(shí)際意義。

4.估算，是到處可見的風(fēng)景。在計(jì)算教學(xué)中，如：5.13×4.9要引導(dǎo)學(xué)生觀察出這兩個(gè)數(shù)都比較接近5，則乘積約是25，如果計(jì)算的結(jié)果和25相差較大，比如2.5137就可以斷定計(jì)算錯(cuò)了?！栋俜?jǐn)?shù)解決問題》教學(xué)片斷：教師出示：小云家十月份用水12噸，比上個(gè)月節(jié)約25%，小云家上個(gè)月用水多少噸？你能估計(jì)下小云家上個(gè)月用水情況嗎？生1：我覺得比上個(gè)月節(jié)約，那么上個(gè)月肯定要多于12噸。生2：我認(rèn)為大概在20噸左右，節(jié)約它的四分之一差不多是5噸，比較接近12噸。生3：那么應(yīng)該比20噸還要小一點(diǎn)，因?yàn)檎账@么算，還是比12噸多，18噸差不多。生4：綜合他們的觀點(diǎn)，應(yīng)該在12噸到18噸之間。師：說得真棒！這樣的估算教學(xué)讓學(xué)生在躍躍欲試中培養(yǎng)了數(shù)感，強(qiáng)化了對(duì)于百分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)知，為學(xué)生驗(yàn)算提供了有力的幫助?！抖噙呅蚊娣e》教學(xué)片斷：師：觀察圖，你估計(jì)上圖的面積大概是多少平方厘米？生1：（比畫出中間的正方形）我覺得應(yīng)該比正方形面積大，也就是16平方厘米。生2：（連接半圓的中心四個(gè)點(diǎn)）我覺得比這個(gè)正方形面積也要大一點(diǎn)。但是……（撓撓頭）我求不出它的面積。生3：我覺得可以在外面畫一個(gè)正方形，應(yīng)該比這個(gè)正方形面積小一點(diǎn)。（師幫助畫出外面的正方形）生齊：對(duì)對(duì)，就是比這個(gè)正方形面積小一點(diǎn)。生4：我算出來了，這個(gè)大正方形面積是64平方厘米。生5：我估計(jì)應(yīng)該是16平方厘米和64平方厘米的平均數(shù)?！瓕W(xué)生在一次次視覺沖擊中明白了這個(gè)圖形的面積的取值范圍，豐富了圖形的表象，具有了初步的科學(xué)探究的雛形。

三、估算教學(xué)的價(jià)值體現(xiàn)

1.增加估算教學(xué)是計(jì)算教學(xué)的應(yīng)用價(jià)值決定的，是教材改革的趨勢(shì)。以估算促計(jì)算，加強(qiáng)估算值與精確值的對(duì)比。估算要用計(jì)算，估算也可以促進(jìn)計(jì)算。在計(jì)算教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自覺地運(yùn)用估算，把估算的結(jié)果與精確計(jì)算的結(jié)果適時(shí)進(jìn)行對(duì)比分析。如計(jì)算“1.95+3.29”，可以要求學(xué)生先進(jìn)行估算，得出兩種估算結(jié)果；一種是1.9+3.2=5.1；另一種是2.0+3.3=5.3。并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)估算的結(jié)果，分析精確計(jì)算的結(jié)果取值大概是5.1～5.3之間，這樣就為計(jì)算的準(zhǔn)確性創(chuàng)造了條件。

2.增加估算教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)決定的，將估算和統(tǒng)計(jì)有機(jī)整合的最有效手段。新課標(biāo)中，統(tǒng)計(jì)與概率是一塊重要的內(nèi)容。概率既是一種估算，也有關(guān)于“可能性”的估計(jì)。在統(tǒng)計(jì)教學(xué)時(shí)，當(dāng)學(xué)生完成了數(shù)據(jù)的收集與整理，并完成統(tǒng)計(jì)表、條形統(tǒng)計(jì)圖后，可以讓學(xué)生估計(jì)預(yù)測(cè)現(xiàn)在與未來的情況等。請(qǐng)你估計(jì)下蕓蕓第六分鐘跑多少米？

學(xué)生的估算可以依據(jù)蕓蕓的體力情況，可以根據(jù)蕓蕓成績(jī)的平均數(shù)，讓學(xué)生體會(huì)到蕓蕓的成績(jī)既能估計(jì)，又有很大的隨機(jī)性。

參考文獻(xiàn)：

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