利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾種方法

秦昊

摘要：不等式證明的方法有很多，利用導(dǎo)數(shù)來證明不失為一個簡單易掌握的方法，本文應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念、定理、典型實例，對不等式證明的方法進行了探究與歸納。

關(guān)鍵詞：不等式；導(dǎo)數(shù)；證明

中圖分類號：G712 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）10-0189-02

不等式的證明方法多種多樣。在初等數(shù)學(xué)里介紹過比較法、放縮法、反證法、歸納法等方法，在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以后，用導(dǎo)數(shù)來證明不等式，往往能起到很好的效果。

一、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)之后，可以利用導(dǎo)數(shù)來判定函數(shù)的單調(diào)性。

定理1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，如果對任意的x∈（a，b），恒有f ′（x）>0（或f ′（x）<0），則f（x）

利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，不等式兩邊的函數(shù)必須可導(dǎo)。所構(gòu)造的輔助函數(shù)f （x）應(yīng)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在閉區(qū)間的某端點處f （x）的值為0，然后通過在開區(qū)間內(nèi)f ′（x）的符號來判斷f （x）在閉區(qū)間上的單調(diào)性。

二、利用微分中值定理證明不等式

第三利用a<ξ

利用微分中值定理證明不等式時，要抓住定理的核心，在滿足定理的兩個條件下，主要是利用“存在一點.

高等數(shù)學(xué)中證明不等式的方法很多，利用導(dǎo)數(shù)證明有時候可以將復(fù)雜繁冗的問題變的簡單。以上將利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法作了簡單歸納，但我們遇到的問題遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些。有些不等式的證明可以使用多種方法，只有多思考、多總結(jié)，靈活運用導(dǎo)數(shù)的基本理論和方法，才能熟練掌握其中技巧，簡單快捷地解決不等式證明問題。

參考文獻：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1991.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京高等教育出版社，1996

[3]尹建華.利用微積分證明不等式[J].承德民辦師專學(xué)報，2001，21（2）：8-9.

[4]吳江.微積分在不等式證明中的應(yīng)用[J].北京市計劃勞動管理干部學(xué)院學(xué)報，2001，9（3）：44-46.

[5]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，1992.