圓錐曲線一般方程化最簡(jiǎn)方程的系數(shù)公式——公式法化簡(jiǎn)圓錐曲線一般方程

雷崇耀

（昌吉學(xué)院 新疆 昌吉 831100）

16世紀(jì)法國(guó)人韋達(dá)在初等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根和系數(shù)間的關(guān)系，今天被人們稱做韋達(dá)定理，成為法蘭西民族對(duì)人類文明的一大貢獻(xiàn)。在二元二次方程的教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線一般方程與最簡(jiǎn)方程系數(shù)間的關(guān)系，推導(dǎo)出了圓錐曲線一般方程化最簡(jiǎn)方程的一整套公式。

定理：設(shè)圓錐曲線的一般方程為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，令

Δ1叫做曲線態(tài)的判別式，Δ2叫做曲線型的判別式，則我們有如下結(jié)論：

（1）當(dāng)Δ1=0時(shí)為變態(tài)曲線，即曲線退縮為直線或點(diǎn)，或無(wú)軌跡。

（2）當(dāng)Δ2≠0時(shí)為有心曲線。先用坐標(biāo)平移變換消去一次項(xiàng)。后用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換消去交叉項(xiàng)。曲線可化為最簡(jiǎn)方程：

其系數(shù)公式為：

（3）當(dāng)Δ2=0時(shí)為無(wú)心曲線。先用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換消去交叉項(xiàng)，后用坐標(biāo)平移變換消去適當(dāng)項(xiàng)，曲線可化為最簡(jiǎn)方程：

其系數(shù)公式為：

以上公式中，B≥0時(shí)取上符號(hào)，B〈0時(shí)取下符號(hào)。證明

第一步先用坐標(biāo)平移變換消去方程中一次項(xiàng)。

把移軸公式x=x1+x0，y=y1+y0代入方程：

展開(kāi)后合并同類項(xiàng)，得

令（2）中兩個(gè)一次項(xiàng)系數(shù)為0，解方程組：

求得新原點(diǎn)的坐標(biāo)：

將新原點(diǎn)的坐標(biāo)值代入（2），得

經(jīng)坐標(biāo)平移后方程中各項(xiàng)系數(shù)依次為：A1=A,B1=B,C1=C,D1=E1=0,常數(shù)項(xiàng):

因?yàn)閤0,y0的值滿足前方程組，所以

故（3）中常數(shù)項(xiàng)

經(jīng)過(guò)坐標(biāo)平移后方程（1）化為：

第二步后用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換消去方程（4）中交叉項(xiàng)x1y1。

把轉(zhuǎn)軸公式 x1=x2cosα-y2sinα和 y1=x2sinα+y2cosα代入（4）中，得

展開(kāi)，合并同類項(xiàng)，可得下列形式的方程：

其中，各項(xiàng)系數(shù)依次為：

為了確定α使得交叉項(xiàng)x2y2消失，令B2=0，即令

根據(jù)三角公式cos2α-sin2α=cos2α和2sinαcosα=sin2α，可得

從而求得

再利用三角公式

從而求得

先用坐標(biāo)平移變換，后用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換后（5）式化為最簡(jiǎn)方程：

其系數(shù)公式為:

公式(1)中B≥0時(shí)取上符號(hào)，B〈0時(shí)取下符號(hào)。

結(jié)論

第一步先用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換消去交叉項(xiàng)。

把轉(zhuǎn)軸公式x=x1cosα-y1sinα和y=x1sinα+y1cosα代入方程

展開(kāi)后合并同類項(xiàng)，可得下列形式的方程：

方程中各項(xiàng)系數(shù)依次為：

為了確定α使得交叉項(xiàng)x1y1消失，令B1=0，即令

根據(jù)三角公式cos2α-sin2α=cos2α和2sinαcosα=sin2α，可得B cos2α-(A-C)sin2α=0

從而求得

再利用三角公式

從而求得

將求得的sinα和cosα的值代入（7），得到各系數(shù)為：

經(jīng)過(guò)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換后方程化為：

第二步后用坐標(biāo)平移變換消去適當(dāng)項(xiàng)。

將移軸公式 x1=x2+x0和 y1=y2+y0代入（8），得

展開(kāi)后合并同類項(xiàng)，可得下列形式的方程：

方程中各項(xiàng)系數(shù)為：

為了求出新坐標(biāo)系的原點(diǎn)坐標(biāo)，令一次項(xiàng)x2的系數(shù)D2和常數(shù)項(xiàng)F2為0，解方程組：

求得新原點(diǎn)的坐標(biāo)為：

將新原點(diǎn)的坐標(biāo)值代入（9）式，可化為最簡(jiǎn)方程：

其系數(shù)公式為:

方程中B≥0時(shí)取上符號(hào)，B〈0時(shí)取下符號(hào)。

［1］樊咉川等編.高等數(shù)學(xué)講義［M］.北京:高等教育出版社，1965.

［2］吳光磊,丁石孫,姜伯駒,田疇等編.解析幾何［M］.北京:人民教育出版社，1978.