以概率的眼光看世界

閆成海

摘要：數學文化是人類文明的重要組成部分，教師在概率統(tǒng)計課堂中增加數學文化的元素，既增加了課堂趣味又增加了課堂的育人功能，教會學生以概率的眼光看世界。

關鍵詞：數學文化;概率課堂;生活實例

中圖分類號：G642.41 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）23-0172-04

概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門數學分支，與現(xiàn)實世界有著緊密的聯(lián)系。教師在課堂教學中增加與生活有關的例子，既能增加課堂的趣味性，也可對學生進行數學文化的滲透。

一、順序·公平

抽簽問題也是古典概率中一個歷史問題。袋中有a只白球，b只黑球。從中依次摸球，試求第k次取出的球是白球的概率。

設：A=“第k次取出的球是白球”k=1，2，…，a+b

解法一：把a只白球和b個黑球看作是不同的，若把抽出的球依次排成一列，則每個排列就是試驗的一個基本事件，基本事件數就等于a+b個球的所有全排列共有（a+b）！，事件A包含的基本事件特點就是在第k個位置上排的一定是白球，共有a（a+b-1）！。因此，

解法二：把a只白球和b個黑球看作是不同的，由于考慮第k個球的情況，所以只需考慮從a+b中抽出k個球即可。因此若把抽出的k球依次排成一列，則每個排列就是試驗的一個基本事件，基本事件數就等于個球的所有選排列共有A，事件A包含的基本事件特點就是在第k個位置上排的一定是白球，共有aA ? ?。因此，P（A）= ?= ? k=1，2，…，a+b.

從上述兩種解法中可以看出抽到白球的概率是，這個值與順序k沒有關系。對待同一個題目，看待問題的角度不同使用的方法也就有所不同，這就要求我們多角度、多方向地分析問題，這樣就既可以增加對題目的理解，又可以開闊我們的思維。這個題目的模型在我們生活中也是隨處可見。為了公平常常會進行抽簽，這個值與k沒有關系，也就是說抽簽與順序無關。比如，n張彩票中有一張獎券，每個人摸到的概率在理論上概率是相等的。當然有人會說，前面都抽完了后面還有什么意義，這就我們對概率的理解問題。概率就是我們對未知事件的一種估計，它最終的結果要么發(fā)生，要么不發(fā)生，只有這兩種情況，概率大的時候就說明事件發(fā)生的可能性大，容易發(fā)生。

在講完全概率公式后，又把這個問題提出來，從不同角度繼續(xù)分析。

設在n張彩票中有一張獎券，求第二人摸到獎券的概率是多少？

解：記Bi=第i個人摸到獎卷。

根據題意可得：

根據全概率公式可得：

這個結果仍然跟我們利用古典概型的結果一致，再次說明了抽簽與順序沒有關系。這也就希望大家以后在抽簽的時候能“紳士”些！

二、感性·理性

講完獨立性概念，我就會出這樣的課堂討論：

一個家庭中有若干個小孩，假設生男生女是等可能的。令A={一個家庭中有男孩、又有女孩}，B={一個家庭中最多有一個女孩}。對下列兩種情形，討論A與B的獨立性：

1.家庭中有兩個小孩。

2.家庭中有三個小孩。我會首先問學生猜猜這個結果，課堂總會是一片笑聲。我說，我們每個人對待任何事物都要有自己的觀點。下面看看你們猜的結果是否正確？

分析：情形1的樣本空間為：

Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）}

故

此種情形下，事件A、B是不獨立的。

情形2的樣本空間為：

Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男），

（男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}

故

此種情形下，事件A、B是獨立的。

通過分析會得出：家庭中有兩個孩子與三個小孩對于A、B事件它的結果不一樣。我就會說，感性的東西并不可靠，可靠的是我們的理性。而這種可靠的理性就是建立在我們嚴格的邏輯推理基礎之上。數學課不僅僅是一門枯燥的定理公式，而是教會我們一種理性的思維方法。

三、偶然·必然

貝努力概型是學習完獨立性之后一個非常重要的概型，也會涉及到概率中兩個重要的原理，小概率事件發(fā)生原理和小概率事件不發(fā)生原理。在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為p（0

（用數學證明小概率實際發(fā)生原理）

設B=“在n次試驗中事件A發(fā)生”

A=“在第i次試驗中事件A發(fā)生”i=1，2，…，n。

可看作是相互獨立的，從而

原理的解釋，如：高速行駛在高速公路上的汽車，我們認為在一次中不發(fā)生事故，但是在一個時間段必然發(fā)生事故，那降低事故的辦法就是，降低p的值。就是說，我們規(guī)范行駛，以減少在交通中的事故數。換句話說，這兩個原理也解釋了我們常說的偶然與必然。小概率事件發(fā)生的概率非常小，一次發(fā)生的概率幾乎是0，可以看作是偶然事情，但是在眾多中必然會發(fā)生。偶然中有必然，必然中伴隨著偶然。我們再來分析彩票問題[5]。從01，…，35中選7個號碼.其中7個基本號碼，1個特殊號碼。中獎規(guī)則如下：

一等：7個基本號碼;

二等：6個基本號碼+1個特殊號碼;

三等：6個基本號碼;

四等：5個基本號碼+1個特殊號碼;

五等：5個基本號碼;

六等：4個基本號碼+1個特殊號碼;

七等：4個基本號碼，或3個基本號碼+1個特殊號碼。

這個一等獎獎金是500萬，是我們夢寐以求的。

根據古典概率計算可知一、二、三、四、五、六、七等獎的中獎率分別為：

從上面可以得出，不中獎的概率為0.966515，中獎概率為0.033485，中獎概率小于0.05，說明中獎是一個小概率事件。也就是說中500萬的概率非常的小，可以認為在一次抽獎中是不發(fā)生，但是當買的人非常多的時候，必有一人中獎。因此，我們應該理性地看待彩票問題，任何人都想著一夜暴富，不勞而獲。我們從概率角度可以看出每個人中500萬的概率是0，因此對待彩票我們可以看作是一次娛樂活動，中了高興，不中就當是為公益事業(yè)做出自己微薄的貢獻。

四、方差·風險

方差和期望是隨機變量非常重要的兩個數字特征。在方差課堂教學中，首先給出一個引例：甲、乙兩射手各打了6發(fā)子彈，每發(fā)子彈擊中的環(huán)數分別為：

甲：10，7，9，8，10，6

乙：8，7，10，9，8，8

問哪一個射手的技術較好？

對于這個問題，首先教會學生如何分析問題和在分析問題的順序。在比較了兩組數據后，同學們肯定是想到了數學期望，結果發(fā)現(xiàn)兩個甲乙兩人的均值都為8.3環(huán)，此時問題陷入了僵局。在均值一致的是時候要反映兩人的水平就需考慮穩(wěn)定程度，也就是兩人的水平的穩(wěn)定性，如何反映穩(wěn)定性呢？就需要考慮他們進一步比較平均偏離平均值的程度，通過具體的實證分析引入了了方差的概念。

再給出方差的一個例題后會分析下面的例子：

某人有一筆資金，可投兩個項目——房地產和商業(yè)，其收益都與市場狀態(tài)有關。若把未來市場劃分為好、中、差三個等級，其發(fā)生的概率分別為0.2，0.7，0.1。通過調查，該投資者認為投資房地產的收益X（萬元）和投資商業(yè)的收益Y（萬元）的分布列為：

X 11 3 -3 Y 6 4 -1

P 0.2 0.7 0.1 P 0.2 0.7 0.1

請問：該投資者如何投資為好？

解：我們首先考察數學期望（平均收益），可得

E（X）=4.0，E（Y）=3.9。從平均收益來看差別不大。下面我們計算它們的各自方差，他們的標準差為：σ（X）=3.93 σ（Y）=1.81.

因為標準差（方差）愈大則受益的波動大，從而風險也大。所以從標準差角度來看投資房地差的風險比商業(yè)的風險大一倍多。若收益與風險權衡，還是商業(yè)較好，雖然收益少了0.1萬元，但是風險缺少了一半以上。生活中隨時需要我們進行抉擇，那我們進行抉擇的時候不僅需要權衡收益還需權衡風險。2007年股市給中國人深深的上一課，當股市經歷了2006年瘋漲之后，2007年的股市有如坐山車從2000多點瘋漲到6000多點結果又回到了起點。這個過程中眾多國人已經不知道風險為何物，只知股市遍地是黃金，最終眾多的積蓄化作泡影。概率論起源于一場賭博，一場因不可抗拒因素而被迫中止的賭博如何分配賭資的問題。隨著配賭資問題的解決而產生了一門新的學科——概率論。誰也不會想到，它竟然是現(xiàn)代數學一個主要的分支，在我們的生活中處處存在?；蛟S這就是數學魅力吧！我們在學習的過程中不僅僅是學習它的知識更重要的是要學習他的思想方法，學會以概率的眼光看世界！