工科矩陣分析課程教學(xué)實(shí)踐與探討

路利軍+曹麗娜

摘要：矩陣分析是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，理論嚴(yán)謹(jǐn)、方法獨(dú)特，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯論證能力和理論的實(shí)際應(yīng)用能力。本文考慮到專業(yè)發(fā)展的需要，調(diào)整了教學(xué)模式、教學(xué)手段和課堂教學(xué)方式，以期能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，提高當(dāng)前教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)。

關(guān)鍵詞：矩陣分析;教學(xué)模式;教學(xué)手段;課堂教學(xué)形式

中圖分類號(hào)：G642.41 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）23-0146-02

一、引言

目前，作為大學(xué)數(shù)學(xué)重要分支的“矩陣分析”，其理論和方法表達(dá)簡(jiǎn)潔、刻畫透徹，是工科必須掌握的數(shù)學(xué)理論之一。所以，許多高校都將其設(shè)置為高年級(jí)本科生或研究生的公共基礎(chǔ)課程。然而，“矩陣分析”本身是一門發(fā)展完善、理論嚴(yán)謹(jǐn)、方法獨(dú)特的基礎(chǔ)課，目前工科矩陣分析理論性太強(qiáng)，過分強(qiáng)調(diào)抽象思維能力，而忽略工程應(yīng)用介紹，使學(xué)生難以理解，在教學(xué)中很難激發(fā)學(xué)生興趣。矩陣公式推演和邏輯證明——抽象的符號(hào)表達(dá)并進(jìn)行相應(yīng)的“運(yùn)算”，讓學(xué)生感到這一切像是在玩數(shù)字游戲，很多時(shí)候甚至無法理解所遵循的游戲規(guī)則。任課教師也常常感到學(xué)生數(shù)學(xué)功底不夠厚實(shí)，不會(huì)靈活地利用所學(xué)過的知識(shí)理解遇到的問題，聯(lián)系實(shí)際解決問題的能力更是薄弱。這些問題的突出存在，不僅影響了后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，也不利于高素質(zhì)創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。因此，考慮到專業(yè)發(fā)展的需要，筆者調(diào)整了教學(xué)模式、教學(xué)手段和教學(xué)方式并且注重工程應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對(duì)于矩陣分析課程的興趣，希望能提高當(dāng)前的教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)。

二、積極調(diào)整教學(xué)模式

在現(xiàn)代教學(xué)中，比較有代表性的教學(xué)模式是“傳授—接受”模式。教師講解定量、推導(dǎo)公式，學(xué)生被動(dòng)地聽講，無暇顧及整體并進(jìn)行思考。直接后果就是，學(xué)有余力的同學(xué)會(huì)浪費(fèi)寶貴的課堂時(shí)間;而學(xué)習(xí)能力較弱的同學(xué)則無法緊隨教學(xué)進(jìn)度。這樣很難激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教學(xué)效率也不高，也影響整體教學(xué)效果。宋代理學(xué)家程頤總結(jié)孔子的教育思想時(shí)就已經(jīng)指出：孔子教人，各因其材。儒學(xué)集大成者朱熹，一生為學(xué)，窮理及致其知，反躬以踐其實(shí)，更明確地指出：圣賢施教，各因其材;小以成小，大以成大，無棄人也。于是，人們應(yīng)考慮分層次教學(xué)，可以制定根據(jù)學(xué)生低年級(jí)時(shí)對(duì)高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)的掌握程度結(jié)合興趣愛好和專業(yè)特點(diǎn)，制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，大致分成A、B和C三個(gè)等級(jí)，分別制定不同的教學(xué)進(jìn)度計(jì)劃、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)和學(xué)時(shí)數(shù)。這樣，對(duì)于自學(xué)能力強(qiáng)的A班同學(xué)，基礎(chǔ)知識(shí)可以給予更深、更廣的講解。同時(shí)，引導(dǎo)同學(xué)們接觸實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)其運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力，在這個(gè)過程中，如果能發(fā)現(xiàn)問題，建立模型并較為準(zhǔn)確地解決該問題，潛移默化中學(xué)生就發(fā)生了質(zhì)的飛躍。而對(duì)于C班學(xué)生，可以適當(dāng)放慢教學(xué)進(jìn)度，降低教學(xué)要求，在基本知識(shí)掌握之后鼓勵(lì)其多學(xué)習(xí)一些計(jì)算軟件，比如Matlab、Mathematics等，在應(yīng)用軟件的過程中，領(lǐng)會(huì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，并初步具有一定的基本技能。

三、有效改進(jìn)教學(xué)手段

在矩陣分析的教學(xué)過程中，最大的忌諱莫過于照本宣科，這樣做學(xué)生們無法體會(huì)所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。但是，一本教科書、一支粉筆和一塊黑板的傳統(tǒng)教學(xué)手段非常適合重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容的“精講”和“細(xì)講”。一次好課，教師通過啟發(fā)與講授，循序漸進(jìn)，將重點(diǎn)和難點(diǎn)講透、講到點(diǎn)子上、講到要害處，不僅能夠使學(xué)生抓住問題的本質(zhì)、得到要領(lǐng)，而且能夠引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步的思考和聯(lián)想，從而提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。教師可以將一些板書難于表達(dá)、學(xué)生難于理解和接受的復(fù)雜和抽象的內(nèi)容通過多媒體演示。如在講解“矩陣分解”時(shí)，可以將矩陣分解的幾何意義結(jié)合起來。這樣，教師不僅在有限的時(shí)間內(nèi)傳達(dá)了較多的信息，提高了課堂的教學(xué)效率，而且激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。然而，現(xiàn)代化教學(xué)手段的使用對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的技能及思維能力有其不足。因此，傳統(tǒng)教學(xué)手段與現(xiàn)代化教學(xué)手段各有優(yōu)點(diǎn)和不足，我們將二者結(jié)合，根據(jù)教學(xué)的目標(biāo)和授課的任務(wù)，對(duì)于特定的內(nèi)容，分別側(cè)重使用現(xiàn)代化教學(xué)手段或傳統(tǒng)教學(xué)手段。傳統(tǒng)板書與現(xiàn)代多媒體結(jié)合，交相輝映，突出教學(xué)的重點(diǎn)。

四、合理安排課堂教學(xué)組織模式

1.以問題切入知識(shí)點(diǎn)。一個(gè)矩陣可以表示一幅數(shù)字圖像，因此數(shù)字圖像可以采用矩陣分析理論及相應(yīng)算法進(jìn)行分析。最為直觀的例子是一幅灰度圖像，如圖1所示。矩陣中的每一個(gè)單一元素即對(duì)應(yīng)于數(shù)字圖像的像素，矩陣元素的值表示該像素點(diǎn)的灰度值，一般取值在[0，255]。顯然，這是一個(gè)M×N的矩陣，成像模型可以表示成一個(gè)線性方程組：

f=Hu+ε （1）

式中，f、u、ε∈R■（L=M×N是圖像像素點(diǎn)個(gè)數(shù)）分別是觀測(cè)數(shù)據(jù)、原始圖像和加性噪聲（按列展開得到的向量）;H是退化因子。

數(shù)字圖像處理中最廣泛的圖像重建問題就是已知觀察數(shù)據(jù)f，根據(jù)式（1）估計(jì)出圖像u，及求解方程組（1）的問題。顯然，這是一個(gè)直接的矩陣計(jì)算問題。比如：方程（1）通常是一個(gè)病態(tài)問題，因此在求解時(shí)就必須考慮方程組的“病態(tài)性”問題，涉及到矩陣分析中矩陣的擾動(dòng)性分析、主成分分析等;其次在求解病態(tài)方程時(shí)，涉及到最小二乘法的求解問題等相關(guān)內(nèi)容;更深入地需要考慮病態(tài)方程的解的唯一性、穩(wěn)定性，又涉及到矩陣分析中廣義逆等。

2.理論分析后給出實(shí)例。給定一個(gè)矩陣M是一個(gè)m×n階矩陣，其全部元素屬于域K，即實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域。這樣，則有如下分解：

M=UΣV*

其中Σ表示半正定的m×n階對(duì)角矩陣;U表示m×n階酉矩陣;而V*表示V的共軛轉(zhuǎn)置，同樣也是n×n階酉矩陣。此分解我們稱作M的奇異值分解。M的奇異值就是Σ對(duì)角線上的元素Σi，i。最廣泛采用的方法是奇異值由大而小進(jìn)行排列。這樣Σ便能由矩陣M唯一確定了。（盡管U和V仍然不能確定。）為了讓學(xué)生明確奇異值分解的意義，可以拿一實(shí)例圖像壓縮問題示范。假定一幅圖像有n×n個(gè)像素點(diǎn)，一起傳送時(shí)整個(gè)矩陣的維數(shù)太高，數(shù)據(jù)太大。因此，傳輸要求只傳送比較少的數(shù)據(jù)，在接受終端利用比較少的數(shù)據(jù)重構(gòu)復(fù)原圖像。在此種思路下，如果用n×n矩陣M表示要傳送的n×n個(gè)像素。那么對(duì)矩陣M首先采用奇異值分解，即得到M=UΣV*，奇異值按照由大到小排序，若從中選擇k個(gè)最大的奇異值以及與之相對(duì)應(yīng)的左、右奇異向量逼近原圖像，這時(shí)，共用了k（2n+1）個(gè)數(shù)值代替原來的n×n個(gè)圖像像素?cái)?shù)據(jù)。這k（2n+1）個(gè)被選擇的新數(shù)據(jù)是矩陣M的前k個(gè)奇異值、左奇異向量矩陣U的前k行和右奇異向量矩陣V*的前k列的元素。顯然，對(duì)于絕大多數(shù)圖像，通常含有較多的小奇異值時(shí)，采用此種方法可以極大降低傳輸量。

五、結(jié)語

矩陣分析教學(xué)過程中涉及到的方面非常多，而具體到每個(gè)方面都需要進(jìn)行深入研究。它在數(shù)字圖像處理及信號(hào)分析等工程應(yīng)用中發(fā)揮著極其重要的作用。我們的目標(biāo)是提高教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生積極主動(dòng)地掌握本專業(yè)所需的矩陣分析方法，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生邏輯能力、推理能力，學(xué)到一種理性的思維模式，以及獨(dú)立獲取知識(shí)的能力。

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