NGINAR(1)模型參數(shù)的擬似然估計

賀天宇，王金山

(陸軍軍官學(xué)院，合肥 230031)

整值時間序列數(shù)據(jù)在現(xiàn)實(shí)生活中是普遍存在的，如醫(yī)院等待就醫(yī)的人數(shù)、保險公司每月索賠次數(shù)、商場中購買某種商品的顧客數(shù)等。關(guān)于整值時間序列模型的研究成果大多是在經(jīng)典的“thinning”算子［1］模型的基礎(chǔ)上取得的。然而，Ristic［2］提出了一種基于負(fù)二項稀疏算子的一階幾何整值自回歸過程(NGINAR(1))，為整值時間序列模型注入了新元素。

擬似然(quasi-likelihood)法是一種非參數(shù)估計方法，由Wedderburn［3］于1974提出的，是廣義最小二乘估計的推廣，有著廣泛的應(yīng)用［4－5］。近幾年，有部分學(xué)者開始嘗試?yán)迷摲椒▽φ禃r間序列模型的參數(shù)估計問題進(jìn)行研究。Zheng［6］研究了p階隨機(jī)系數(shù)整值自回歸過程的擬似然估計;Zheng［7］在提出了一階隨機(jī)系數(shù)整值自回歸過程的同時也研究了其參數(shù)的擬似然估計;薄海玲［8］針對INARS(p)模型給出了參數(shù)的擬似然估計。但對于NGINAR(1)模型的擬似然估計研究尚屬空白。

本文介紹了NGINAR(1)模型的定義以及一些統(tǒng)計性質(zhì)，利用擬似然估計法給出了模型參數(shù)修正的擬似然估計因子的表達(dá)式，并證明了其極限分布的正態(tài)性;通過數(shù)值實(shí)驗，將MQL估計與Yule－Walker估計和CLS估計進(jìn)行比較。結(jié)果顯示，MQL估計在一定程度上較Yule－Walker估計和CLS估計更優(yōu)。

1 NGINAR(1)模型的定義

定義1［2］由過程

對于NGINAR(1)過程，Ristic［2］得出了一些統(tǒng)計特性，為了行文方便，本文以命題的形式列出部分結(jié)論:

2 模型參數(shù)的擬似然估計

為了得到模型參數(shù)的擬似然估計，首先假設(shè):［H1］{Xt}為NGINAR(1)模型的嚴(yán)平穩(wěn)遍歷解;

設(shè)(X1，X2，…，XT)是定義1給出的NGINAR(1)模型的T個樣本值，記λ=α(1+α)，則根據(jù)命題2有 Vθ(Xt|Xt－1)=Var(Xt|Xt－1)= α(1+ α)Xt－1+= λXt－1+。

下面對參數(shù)β=(α，με)'用擬似然法進(jìn)行估計。記θ=(λ)，由命題1有擬似然估計法的標(biāo)準(zhǔn)估計方程:

其中:

其中:

證明 假設(shè) θ已知，令Ft=σ(X0，X1，…，Xt)，則對方程組

有:

由鞅差中心極限定理［10］知，當(dāng)T→∞時類似地有

同理，?k=(k1，k2)∈R2(0，0)，有

由Gramner-Wold方法可得，當(dāng)T→∞時，

其中 T3(θ)=E((X1|X0))。

由Markov不等式，有

其中0＜c＜∞為常數(shù)。

因此，當(dāng)T→∞時，

對于θ的相合估計，可以通過條件最小二乘法(CLS)［2］得出。

3 數(shù)值實(shí)驗

首先，計算出τ=(α，με)的CLS估計。令則=arg minτ(Q(τ))。

考慮模型 Xt=α*Xt－1+εt，圖1給出了當(dāng)樣本個數(shù) T=500，初值 X0=1時的樣本路徑，其中:(a)α =0.3，με=1;(b)α =0.6，με=0.95。

為了比較不同估計方法的優(yōu)劣，先借助于Matlab產(chǎn)生相應(yīng)參數(shù)值的樣本隨機(jī)數(shù)，再分別對產(chǎn)生的樣本值計算參數(shù)的CLS估計、Yule-Walker估計和MQL估計，每次模擬均重復(fù)500次，并計算出每種估計的經(jīng)驗偏差(Bias)和標(biāo)準(zhǔn)誤差(SE)。

表1和表2 分別記錄了在選取 α =0.3，με=1 和α =0.6，με=0.95，樣本個數(shù) T=100，200，500，800，1000時不同估計的Bias和SE，并以格式(Bias，SE)記錄。

由表1和表2可見，不同估計方法的Bias和SE均隨著樣本個數(shù)的增加而減小，在相同條件下MQL估計較CLS估計和Yule-Walker估計更優(yōu)。

圖1 樣本路徑

表1 參數(shù)估計結(jié)果對比I

表2 參數(shù)估計結(jié)果對比II

4 結(jié)束語

本文在分析了NGINAR(1)模型統(tǒng)計特性的基礎(chǔ)上，利用擬似然方法對模型的參數(shù)進(jìn)行了估計，在給出了參數(shù)修正的擬似然估計因子的同時也證明了其極限分布的正態(tài)性。通過數(shù)值仿真實(shí)驗證實(shí)了參數(shù)修正的擬似然估計因子法在參數(shù)估計的精度上明顯優(yōu)于Yule-Walker估計和CLS估計。因此，該方法對提高NGINAR(1)模型參數(shù)估計有一定參考價值。

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［7］Zheng Haitao，Basawa I V，Datta S.Inference for Pth-Order Random Coefficient Integer-Valued Autoregressive Processes［J］.Journal of Time Series Analysis，2006，27(3):411-440.

［8］薄海玲，張海祥，張哲.INARS(p)模型的擬似然統(tǒng)計推斷［J］.吉林大學(xué)學(xué)報，2010，48(2):219-225.

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