求極限——

陳妍

摘要：極限的思想是近代數(shù)學的一種重要思想，數(shù)學分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論（包括級數(shù)）為主要工具來研究函數(shù)的一門學科.因此求極限的方法對于數(shù)學的學習和應(yīng)用也至關(guān)重要.

關(guān)鍵詞：極限;收斂;無窮小;微積分

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）18-0181-03

筆者多年從事高等數(shù)學教學，那么筆者對于高等數(shù)學中的極限的思想方法整體感受可以做這樣的比喻：假如高等數(shù)學是棵樹的話，那么極限就是他的根，函數(shù)就是它的皮.樹沒有根，活不下去;沒有皮，只能枯萎。極限是數(shù)學分析的基礎(chǔ)，數(shù)學分析中的基本概念，都可以用極限來描述.例如函數(shù)的連續(xù)性的研究;函數(shù)在某一點處導(dǎo)數(shù)的定義;定積分的定義;偏導(dǎo)數(shù)的定義;二重積分、三重積分的定義;無窮級數(shù)收斂的定義，都是用極限來描述的.極限是研究數(shù)學分析的基本工具。極限是貫穿數(shù)學分析的一條主線.由此極限的重要性可見一斑.現(xiàn)在任何一所大學的數(shù)學系的學生都會先學極限，之后再學微積分.學好極限要從以下兩方面著手：一是考察所給函數(shù)是否存在極限。二是若函數(shù)存在極限，則考慮如何計算此極限。本文主要是對第二個問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進行綜述.

一、通過各種基本技巧，化簡后直接求出極限

例1 設(shè)a ≠0，b n≠0，求

.

解

=

=0 ? ?當mn時

二、利用夾逼定理求極限

設(shè)g（x）≤f（x）≤h（x）。若limg（x）=A，limh（x）=A，則limf（x）=A.

例2 ? ?.

解∵ ≤ ?≤

而 ?= ?=

= ?=

則由夾逼定理可知

=

例3 求 ? sintdt.

解 ∵ sintdt= sintdt=2

設(shè)nπ≤x<（n+1）π，則

2n= sintdt≤ sintdt≤ sintdt=2（n+1）

于是，

≤ ?sintdt≤

∵ ?= ， ?= ，

由夾逼定理可知， ? sintdt=

三、利用兩個重要極限公式求極限

公式1： ?=1.

公式2： 1+ ?=e; 1+ ?=e; 1+v =e.

在這一類型題中，一般也不能直接運用公式，需要恒等變形進行化簡后才可以利用公式.

例4 求 cos cos …cos 。

解 當x=0時，原式=1

當x≠0時，原式=

= ?=…

= ?= ? =

∵ ?=1

例5 求下列極限（1） ? ;（2） x .

解 （1）解法一 ? ?=

= = =e

解法二 ? ?=

= 1+ ？搖 =e

（2）令x-1=t則x=1+t，當x→1時，t→0，

于是 x = （1+t） = （1+t） ？搖 ?=e .

四、用定積分定義求數(shù)列的極限

基本公式： ? ?f = ?fxdx.

例6 求 ? .

分析 如果還想用夾逼定理中的方法來考慮則

≤ ?≤

而 ?= ， ?=1

由此可見，無法再用夾逼定理，因此我們改用定積分定義來考慮。

解 ? ?=

= ?=arctanx ?=

五、用洛必達法則求極限

洛必達法則專門來處理七種比較困難未定式極限： ; ;0*∞;∞-∞;1 ;0 ;∞ ，筆者把它們分成三個層次討論。

第一層次：直接用洛比達法則可處理 和 兩種未定式。

例7 求 ?.

解 離散型不能直接用洛必達法則，故先轉(zhuǎn)化為連續(xù)型考慮到

= ?= ?=

∴原式=

例8 求 ?.

解 若直接用“ ”型洛必達法則，則得 ?= ?（分母x的次數(shù)反而增加），為了避免分子求導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性，我們先用變量替換，令 =t，于是 ?= ?= ?（“ ”型）

= ?=…= ?=0

例9 設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，f（0）≠0，求 ?.

解 原式= ?（分母作變量替換x-t=u）

= ?（用洛必達法則，分子、分母各求導(dǎo)數(shù)）

（用積分中值定理）

= ?（ξ在0和x之間）

= =

第二層次：間接用洛比達法則可處理0*∞和∞-∞。

例10 求 ?- .

解 ? - = ?（“ ”型）

= ?=

= ?=

例11 求 sin xlnx.

解 原式= x lnx= ?（“ ”型）

= ?=0

第三層次：間接用洛比達法則可處理1 ;0 ;∞ 型，都是lim[f（x）] 形式。

常用技巧：[f（x）] =e ，這樣limg（x）lnf（x）是0*∞型，可按第二層次來處理。

例12 求 x .

解 令y=x ，lny=sin xlnx

lny= sin xlnx= x lnx= ?= ?=0

∴ y=e =1

例13 設(shè)a>0，b>0常數(shù)，求 ? .

解 先考慮 ? 它是“1 ”型

令y= ?，lny=xlna +b ？搖-ln2

lny=

= ?= （lna+lnb）=ln

因此， ? =

于是， ? = 。

本文歸納了一些求極限的基本方法，并配有相應(yīng)例題.在微積分的學習中遇到的一般求極限問題用上面的方法基本可以求出來，復(fù)雜的問題可能要綜合幾種方法才能求出，需要讀者深入理解各種方法的技巧和內(nèi)涵，掌握好求極限，對于學好微積分起到錦上添花的作用。

參考文獻：

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析上冊[M].第2版.北京：高等教育出版社，2001.

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