泛函分析課程教學點滴

石智 趙君平

摘要：依據多年教學的體會，回顧總結了泛函分析教學中加強基本概念教學中已取得的點滴成果，主張加強基本概念教學，啟迪學生智慧，激發(fā)興趣，使學生的泛函基礎知識建立在牢固的基礎上.

關鍵詞：距離空間;不動點;共軛空間;內積空間;弱收斂

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）18-0177-02

泛函分析課程是高等學校數學專業(yè)一門重要的專業(yè)課程.它內容抽象，理論深刻，應用廣泛，它的思想、觀念及處理問題的方式也同時滲透到數學科學的方方面面，對于提高學生數學素質，開展理論和應用研究有不可替代的作用.本課程由于理論性強，內容較抽象，需要的前期準備知識較多，在學生學習和老師授課方面都有一定的難度.在教學過程中，除了注重應用，我們也重視了加強基本概念的教學.下面是我們多年教學的點滴體會.

一、距離空間的有關概念

數學分析的基本概念之一是序列收斂的概念，而收斂又是與距離有關的.

在距離的定義中，d（x，y）≥0可用三角不等式推出.另外，定義中非負性、對稱性、三角不等式等三個條件等價于下面兩條：

（1）d（x，y）≥0，d（x，y）=0？圳x=y;

（2）d（x，y）≤d（x，z）+d（y，z）.

在同一個集合上，可以定義多個距離，就得到不同的距離空間.例如在R 中，設p>1是一個確定的實數，可以定義距離d（x，y）= |ζ -η | ?.由于p的不同值，就有無限多個不同的距離空間.

應用較多的是C[a，b]中的距離：

d（x，y）= |x（t）-y（t）|.

對于C[a，b]的這個距離，如果x是所要求的某個函數，y是它的一個近似表達式，要求d（x，y）<10 ，則是指給出近似表達式y(tǒng)的數值與真值x的偏離在任何地方都不超過10 .逼近論中的許多問題都能用這個距離表示.維爾斯特拉斯證明了閉區(qū)間C[a，b]上的任意連續(xù)函數都能用多項式作任意逼近，這里的逼近就是用上面定義的距離來度量的.

也應該注意到在C[a，b]中，依距離d（x，y）= |x（t）-y（t）|是完備的距離空間，但把它看作L [a，b]的子空間，依距離

d（x，y）= ? |x（t）-y（t）| dx 卻是不完備的.

二、注意巴拿赫不動點定理的條件

設X是完備距離空，T：X→X，d（Tx，Ty）≤αd（x，y）（0≤α<1）是壓縮映射，則T在X中存在唯一的不動點x ，x =Tx .這就是巴拿赫不動點理.

對于不動點定理，有幾點需要說明：（1）壓縮映射使得X中的任意兩點x，y的像比該兩點自身更接近.此外，壓縮映射是連續(xù)的.（2）X的完備性保證了不動點是存在的，至于不動點的唯一性是直接從映射的壓縮性來的，并不要假設空間是完備的.定理中完備性與壓縮性兩個條件缺一不可.例如考察（0，+∞）到它自身的映射Tx=αx，這里α是小于1的一個正數，它顯然是壓縮映射，但是它在（0，+∞）中沒有不動點.原因就是空間（0，+∞）不完備.（3）條件α不能等于1.例如，設X={x|1≤x<+∞}，取實軸上的通常距離，定義映射T：X→X為x→x+1/x，當x≠y時，|Tx-Ty|<|x-y|，但映射T沒有不動點，就是因為α等于1.

三、理解共軛空間

X上的全體有界線性泛函記為X ，稱X 為X的共軛空間.

有很多物理現象具有這樣的特點，當用函數來描述它們時，其自變量在極小的范圍內取值很大，而在其他范圍內取值為零.例如，力學中瞬間發(fā)生作用力的沖擊力，數字信號處理中的抽樣脈沖，直線上的質量集中在一點附近時的密度，電學中點電荷的密度等.為了刻畫這種物理現象，需要一種抽象的數學模型，即需要一種“函數”，除某點（如原點）外處處為零，在這一點其值等于無窮，而在整個直線上的積分值為1，這種“函數”后來被稱為δ函數，它是由物理學家狄拉克（Dirac）最先引進的，其表示式為：

δ（x）=0，x≠0，∞，x=0，？搖 δ（x）dx=1.

這樣表示的函數與數學命題：若f=0 a.e.，則 f=0矛盾，因此δ函數的上述表示一直不能被數學家接受.數學家經過長期的努力，在共軛空間中找到了δ函數的位置和理論依據.

我們來看一下δ函數的數學定義.

對C[-1，1]中任意一個連續(xù)函數f（t），對應一個C[-1，1]→R的泛函：

f（x）= ?f（t）x（t）dt.

線性泛函是顯然的，現證其連續(xù)性.

對任意的x ∈C[-1，1]，有

|f（x）-f（x ）|= ?f（t）[x（t）-x （t）]dt

≤ |x（t）-x （t）| ?|f（t）|dt=||x-x || ?|f（t）|dt.

當x→x ，即||x-x ||→0時，f（x）→f（x ），故f在x 點連續(xù).由x 的任意性得，f在C[-1，1]上連續(xù).考察C[-1，1]中的如下函數列f ：

f （t）=n-|t|n ， |t|≤1/n，0， ? |t|>1/n.

當t≠0時， f （t）=0，且 ?f （t）dt=1.設想f （t）的極限應當就是有廣泛應用的δ函數，所以稱f （t）為δ函數序列.但由于在t=0時， f （t）不收斂，故不能采用 f （t）來作為δ函數的數學定義.

在C[-1，1]的共軛空間來考察.δ函數序列f （t）對應于f （x）= ?f （t）x（t）dt= ?f （t）x（t）dt

=x（ζ ） （n-|t|n ）dt=x（ζ ），|ζ |<1/n.

當n→∞時， f （x）= x（ζ ）=x（0），

即在C[-1，1]的共軛空間中，f （x）的極限函數（記為δ（x））應是C[-1，1]的如下泛函：

δ（x）=x（0），？坌x∈C[-1，1].

這就是δ函數嚴格的數學定義.因此有些事情借助共軛空間可以辦到，而在原空間卻是不可能做到的.

四、內積空間的新定義

我們從另一個角度看內積的定義.先看下面的例題.

例 設x=（ζ ）∈l ，x=（η ）∈l ，則

||x+y|| = ζ +η |

= ζ | + ζ ? + η ? + η | ，||x-y|| = ζ -η | = ζ | - ζ ? - η ? + η | .

上面兩式相加得到所謂的平行四邊形法則：

||x+y|| +||x-y|| =2||x|| +2||y|| .

五、理解點列的弱收斂

點列的弱收斂是一個比較難理解的概念.先看一下什么是弱收斂.

設X是賦范線性空間，x ，x∈X.如果對任一x ∈X，都有 x （x ）=x （x），則稱x 弱收斂于x，記作x x.

要理解弱收斂的原始意義，我們看Riemann-Lebesgue引理：設f∈L [0，2π]，則

f（x）cos（nx）dx= ?f（x）sin（nx）dx=0.

這個引理最早是由Riemann在1876年提出來的，而一般的情形即f∈L 則是由Lebesgue在1903年提出的.從這個引理可看出{cos（nx）}或{sin（nx）}的極限并不存在，這些函數要收斂必須借助積分，這正是弱收斂的原始意義，而其極限稱之為弱極限，即cos（nx） 0或sin（nx） 0.

上面是我們在教學中的一些體會.總之，要培養(yǎng)學生的創(chuàng)造精神和解決問題的實際能力，就必須加強基本概念的教學，培養(yǎng)學生勤奮讀書、刻苦鉆研、求實、嚴謹的學風，以提高其學習興趣和數學素養(yǎng)，當然更重要的是要通過實踐.在數學教學過程中，鼓勵學生相互探討、相互爭論，大膽提出不同的思想和方法，并進而推動學生解決一些理論和實際的問題，親身體驗數學的創(chuàng)造過程，取得在書本上所無法獲得的寶貴經驗.