Riech型Edelstein不動點定理

魯書敏，賀 飛，路 寧

(內(nèi)蒙古大學數(shù)學科學學院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021)

1 預備知識

Banach不動點定理[1]在不動點理論中占據(jù)著非常重要的位置.1969年，Kannan[2]給出一種不同于Banach型的不動點定理，后人稱之為Kannan型不動點定理.之后，許多學者研究了不同空間下的Kannan型不動點定理[3-7].1971年，Riech[8]建立一類不動點定理，它是Banach型和Kannan型不動點定理的統(tǒng)一.

1961年，Edelstein[9]在距離空間中引入ε-可鏈的概念，并且在ε-可鏈的距離空間中建立了一類不動點定理，后人稱之為Edelstein不動點定理(Banach型).這一結(jié)果可以應(yīng)用于解決復變量的解析函數(shù)的不動點的存在性和唯一性問題.之后許多學者討論了Edelstein不動點定理[10-13].

定義1[9]設(shè)(X，d)是距離空間.對x，y∈X，若存在l∈和有限集{ξ0，ξ1，…，ξl}?X，使得

x=ξ0，y=ξl，且d(ξi-1，ξi)<ε，i=1，2，…，l，

則稱x與y是ε-可鏈的，其中l(wèi)稱為鏈長.若X中任意兩點都是ε-可鏈的，則稱距離空間(X，d)是ε-可鏈的.

定理1[9]設(shè)(X，d)是完備的距離空間，f：X→X是自映射且ε>0.若(X，d)是ε-可鏈的且存在λ∈[0，1)，使得

(x，y)∈X×X，d(x，y)<ε?d(fx，fy)≤λd(x，y)，

則f有唯一不動點.

文獻[9]認為Edelstein型不動點定理比Banach不動點定理更寬泛，但事實并非如此.事實上，雖然Edelstein不動點定理的壓縮條件比Banach型不動點定理的條件弱，但是定理1要求空間是ε-可鏈的.下面的例子可以應(yīng)用Banach型不動點定理但不能應(yīng)用Edelstein不動點定理證明不動點存在.

d(x，y)=|x-y|.

顯然(X，d)是完備的距離空間.對任意的ε>0，取n0滿足2n0>ε，x0=2n0+1，y0=2n0.可以證明，對任意的x∈X，d(x0，x)≥2n0>ε，故x0與y0不是ε-可鏈的，從而(X，d)不是ε-可鏈的.因此，在(X，d)上不可以應(yīng)用Edelstein不動點定理.對于任意的x，y∈X，

故由Banach型壓縮映射的不動點定理可得，f有唯一不動點x*.事實上，0是f的唯一不動點.

本文建立了Riech型Edelstein不動點定理.由此推出了Banach型Edelstein不動點定理和Kannan型Edelstein不動點定理.特別地，減弱了空間是ε-可鏈的條件，使得Riech型Edelstein不動點定理可以推出Riech不動點定理.同時，修改后的Edelstein不動點定理可以推出最初的Banach不動點定理.最后給出一個例子可以應(yīng)用修改后的Edelstein不動點定理，但不能應(yīng)用Banach不動點定理.

2 主要結(jié)果

定理2 設(shè)(X，d)是完備的距離空間，f：X→X是自映射且ε>0.假設(shè)存在x0∈X，使得x0與fx0是ε-可鏈的且鏈長為l.若存在α，β，γ≥0且α+l(β+γ)<1，使得

(x，y)∈X×X，d(x，y)<ε?d(fx，fy)≤αd(x，y)+βd(x，fx)+γd(y，fy)，

(1)

則f有不動點.

證明設(shè)x0∈X滿足x0與fx0是ε-可鏈的，則存在有限集{ξ0，ξ1，…，ξl}?X，使得

x0=ξ0，fx0=ξl，且d(ξi-1，ξi)<ε，i=1，2，…，l.

由(1)式可得

由此可得

由此可得

類似地，對于i=1，2，…，l，由(1)式可得

由此可得，對于i=1，2，…，l，

(2)

下面用數(shù)學歸納法證明對于i=1，2，…，l和任意的m∈，

d(fmξi-1，fmξi)≤λmε<ε.

(3)

當m=1時，由(2)式可得(3)式成立.假設(shè)對于i=1，2，…，l，d(fmξi-1，fmξi)≤λmε<ε成立，下證(3)式對于m+1成立.由(2)式可得

由此可得，對于i=1，2，…，l，

因此由數(shù)學歸納法可得(3)式成立.

下證{fmx0}是Cauchy列.由三角不等式，

對于任意的m，n∈且m

因此{fmx0}是Cauchy列.

d(fm+1x0，fx*)≤αd(fmx0，x*)+βd(fmx0，fm+1x0)+γd(x*，fx*).

令m→∞，可以得到

d(x*，fx*)≤αd(x*，x*)+βd(x*，x*)+γd(x*，fx*)=γd(x*，fx*).

由于γ>1，故d(x*，fx*)=0，即x*是f的不動點.

定理3 假設(shè)定理2的條件成立.若f的任意兩個不動點x，y是ε-可鏈的且鏈長p≤l，則f存在唯一的不動點.

證明由定理2可知，f存在不動點x.下證不動點是唯一的.設(shè)y是f的不動點，則存在有限集{η0，η1，…，ηp}?X使得

x=η0，y=ηp，且d(ηi-1，ηi)<ε，i=1，2，…，p.

下證對于任意的m∈，對于i=1，2，…，p，有

d(fmηi-1，fmηi)≤μmε<ε，

(4)

當m=1時，先證p為奇數(shù)時，(4)式成立.

d(fηi-1，fηi)≤αd(ηi-1，ηi)+βd(ηi-1，fηi-1)+γd(ηi，fηi)≤

αd(ηi-1，ηi)+β[d(ηi-1，ηi-2)+…+d(η1，η0)+d(η0，fη0)+d(fη0，fη1)+…+

d(fηi-2，fηi-1)]+γ[d(ηi，ηi-1)+…+d(η1，η0)+d(η0，fη0)

+d(fη0，fη1)+…+d(fηi-1，fηi)]≤

[α+2β(i-1)+γ(2i-1)]ε+γd(fηi-1，fηi).

由此可得

(5)

d(fηi-1，fηi)=d(fηi，fηi-1)≤αd(ηi，ηi-1)+βd(ηi，fηi)+γd(ηi-1，fηi-1)≤

αd(ηi，ηi-1)+β[d(ηi，ηi+1)+…+d(ηp-1，ηp)+d(ηp，fηp)+

d(fηp，fηp-1)+…+d(fηi+1，fηi)]+γ[d(ηi-1，ηi)+…+d(ηp-1，ηp)+

d(ηp，fηp)+d(fηp，fηp-1)+…+d(fηi，fηi-1)]≤

[α+2β(p-i)+γ(2p-2i+1)]ε+γd(fηi，fηi-1).

由此可得

(6)

d(fηi-1，fηi)≤αd(ηi-1，ηi)+βd(ηi-1，fηi-1)+γd(ηi，fηi)≤

αd(ηi-1，ηi)+β[d(ηi-1，ηi-2)+…+d(η1，η0)+d(η0，fη0)+d(fη0，fη1)+…+

d(fηi-2，fηi-1)]+γ[d(ηi，ηi+1)+…+d(ηp-1，ηp)+d(ηp，fηp)+

d(fηp，fηp-1)+…+d(fηi+1，fηi)]≤[α+β(p-1)+γ(p-1)]ε≤με.

(7)

因此，當m=1且p為奇數(shù)時，(4)式成立.

再證，當m=1且p為偶數(shù)時，(4)式成立.

(8)

(9)

因此，當m=1且p為偶數(shù)時，(4)式成立.

綜上可得，當m=1時，(4)式成立.

當m=2時，先證p為奇數(shù)時，(4)式成立.

d(f2ηi-1，f2ηi)≤[α+β(p-1)+γ(p-1)]με≤μ2ε.

因此，當m=2且p為奇數(shù)時，(4)式成立.

再證，當m=2且p為偶數(shù)時，(4)式成立.

因此，當m=2且p為偶數(shù)時，(4)式成立.

綜上可得，當m=2時，(4)式成立.

繼續(xù)上述過程，可以得到，對任意的m∈，對于i=1，2，…，p，(4)式成立.

下證x=y.對任意的m∈，由(4)式可得

故d(x，y)=0，即x=y.因此x是f的唯一不動點.

在定理3中，令β=γ=0可以得到下面的推論.

推論1 設(shè)(X，d)是完備的距離空間，f：X→X是自映射且ε>0.假設(shè)存在x0∈X，使得x0與fx0是ε-可鏈的且鏈長為l.若存在α∈[0，1)，使得

(x，y)∈X×X，d(x，y)<ε?d(fx，fy)≤αd(x，y)，

則f有不動點.進一步地，若f的任意兩個不動點x，y是ε-可鏈的且鏈長p≤l，則f的不動點唯一.

注1 推論1可以推出原始的Edelstein不動點定理，也可推出Banach不動點定理.顯然推論1可推出定理1.下證推論1可推出Banach不動點定理.

對任意的y0∈X，由Banach不動點定理的壓縮條件可得，對任意的n∈，

d(fny0，fn+1y0)≤λd(fn-1y0，fny0)≤λ2d(fn-2y0，fn-1y0)≤…≤λnd(y0，fy0)→0(n→∞)，

故對ε>0，存在N∈，使得d(fNy0，fN+1y0)<ε.取x0=fNy0，則

d(x0，fx0)=d(fNy0，fN+1y0)<ε，

從而x0和fx0是ε-可鏈的且鏈長l=1.設(shè)x，y是f的不動點，則由壓縮條件可得

d(x，y)=d(fx，fy)≤λd(x，y).

由于0≤λ<1，故d(x，y)=0<ε，即不動點x，y是ε-可鏈的且鏈長p=1=l.由推論1可得，f有唯一不動點.

在定理3中，令α=0，β=γ可以得到下面的推論.

(x，y)∈X×X，d(x，y)<ε?d(fx，fy)≤β[d(x，fx)+d(y，fy)]，

則f有不動點.進一步地，若f的任意兩個不動點x，y是ε-可鏈的且鏈長p≤l，則f的不動點唯一.

在推論2中，令l=1可以得到下面的推論：

(x，y)∈X×X，d(x，y)<ε?d(fx，fy)≤β[d(x，fx)+d(y，fy)]，

則f有不動點.進一步地，若f的任意兩個不動點x，y是ε-可鏈的且鏈長p≤l，則f的不動點唯一.

注2 推論3可以推出Kannan型不動點定理.

下面的例子可以用推論1證明不動點存在，但是不能應(yīng)用Banach不動點定理證明不動點存在.

又由于X中的任意兩點都是ε-可鏈的，故由推論1可得，f有唯一不動點.