Knight不確定環(huán)境下“基差風險模型”最優(yōu)對沖策略研究

李娟 （蕪湖職業(yè)技術(shù)學院經(jīng)濟管理學院，安徽 蕪湖241003）

費為銀 （安徽工程大學金融工程系，安徽 蕪湖241000）

在投資實務中，風險是指未來不確定因素的變動導致投資者收益變動的可能性，未來事件越不確定，風險也就越大，因此風險和不確定常常被混淆。事實上，在面對充滿不確定因素的金融市場，早在1921年Knight［1］就界定了兩者的差異，將投資者能夠準確地加以觀察、分析和預見的那部分不確定視為風險，又稱為概率不確定；余者視為“真正”的不確定，稱之為Knight不確定（Knightian uncertainty）或模型不確定（model uncertainty），Ellsberg［2］稱之為含糊（ambiguity）。在模型研究中，將風險限定為與決策相關(guān)事件的概率分布唯一存在、在數(shù)量上可確定、封閉和完備的那種不確定，而Knight不確定卻具有易受“潛在意外”和“新事物”影響而經(jīng)常變化、與決策相關(guān)事件不能用單一概率分布表示的特點。事實上，投資決策通常都是在Knight不確定環(huán)境下進行的，因而在Knight不確定環(huán)境下研究投資組合問題具有更加實際的意義。文獻 ［3］在區(qū)別風險和含糊的情形下研究了投資消費問題，此基礎上，文獻 ［4］運用α－極大極小期望效用（α－MEU）模型，區(qū)別了決策者的主觀信仰（含糊）和決策者的品味（含糊態(tài)度），推進了投資消費問題的研究；文獻 ［5～8］對Knight不確定環(huán)境下投資組合問題進行了研究。下面，筆者將基于文獻 ［9］中的“基差風險模型（basis risk model）”以及文獻 ［10］的帶有紅利支付的“基差風險模型”，運用文獻 ［4］中的 方法，區(qū)別含糊和含糊態(tài)度，進一步優(yōu)化“基差風險模型”中的最優(yōu)投資組合問題。

1 “基差風險模型”框架的構(gòu)建

在包含未定權(quán)益和2種不同類型風險資產(chǎn)的金融市場中，一類是不可交易風險資產(chǎn)（如股票價格指數(shù)），另一類是可交易風險資產(chǎn)（如股票），其動力學由2個相關(guān)布朗運動驅(qū)動，在僅僅獲悉不可交易資產(chǎn)信息的情形下，尋求可交易資產(chǎn)的最優(yōu)交易策略對沖未定權(quán)益，獲得期望指數(shù)效用最大化，Mania等［9］稱這一投資組合模型為“基差風險模型”。

為了研究需要，假設和Wt是定義在完備概率空間（Ω，A，（At）t∈［0，T］，P）上的標準布朗運動，相關(guān)系數(shù)～ρ∈（－1，1），其中A＝At表示從0時刻到T時刻來自于金融市場的全部信息。設H為T時刻未定權(quán)益的隨機支付，不可交易資產(chǎn)的價格動力學為：

式中，a（t，η）和b（t，η）分別表示不可交易資產(chǎn)價格的漂移項和擴散項。

可交易資產(chǎn)的收益率動力學為：

式中，μ（t，η）和σ（t，η）分別表示可交易資產(chǎn)的平均收益率和波動率；δ（t，η）是可交易風險資產(chǎn)派發(fā)的紅利率。

令信息集Ft＝＝，可觀測信息集為＝，其中，F(xiàn)W1，W（或FW）表示由布朗運動W1、W（或W）生成的增廣信息流。設市場無風險利率r＝0，式（1）中系數(shù)a、b和式（2）中系數(shù)μ、δ、σ均為適應泛函，且滿足：

（b）σ2＞0，b2＞0；

（c）式（1）存在唯一強解；

（d）H是關(guān)于σ－代數(shù)AT－可測、有界的隨機變量，且滿足E［eαH｜FT］＝E［eαH｜］。

設X0為投資人的初始財富，πt∈Π（Fη）（Π（Fη）稱為容許策略集，表示Fη－可料S－可積過程π的集類）為t時刻投資在可交易資產(chǎn)的金額，用來對沖未定權(quán)益的隨機支付H，則投資人的終端凈財富為：

2 Knight不確定環(huán)境的刻畫

在（Ω，A，（At）t∈［0，T］，P）上構(gòu)造一個投資人決策所依賴的先驗集PΘ，用來反映投資者的含糊性：

在Knight不確定環(huán)境下，關(guān)于投資人的終端凈財富XT的α－MEU為：

其中，效用折現(xiàn)率β＞0；交易時間t∈［0，T］；α∈［0，1］反映投資人的含糊態(tài)度或品味。當α＝0時，取最大期望效用，投資人為極端風險喜好者；當α＝1時取最小期望效用，投資人為極端風險厭惡者。

在部分信息框架（可觀測信息集＝?Ft?At）和Knight不確定環(huán)境下，區(qū)別投資人的含糊和含糊態(tài)度，求解“基差風險模型”的最優(yōu)對沖策略。提供如下假設：

（e）對于 ?π∈Π（Fη），＜ ∞ 和E［U2（XT）］＜ ∞。

根據(jù)文獻［4］和文獻［11］在條件（e）滿足時易得如下結(jié)論。

引理1 對任一實值過程（ρt），存在（ρt），（ρt））∈Θ使得如下等式成立：

引理2 令＝），＝），對于 ?π∈Π（Fη），t∈［0，T］，則：

（ii）簡記（）＝和（）＝（）分別是BSDE式（5）和式（6）的唯一解，進而：

由上述引理1和引理2以及文獻［4］，可導出如下定理。

定理1 若假設（e）滿足，先驗集Θ＝｛（γt）：｜γt｜≤κ，0≤t≤T，κ≥0｝為κ－無知的，則對于 ?π∈Π（Fη），則有：

（ii）設∈［0，1］，t∈［0，T］，（）0≤t≤Tγκ∈Θ，則Qγκ＝ΔQκ∈PΘ使得式（4）中的Jt滿足：

至此，將來自于投資人終端財富的α－MEU轉(zhuǎn)化成Qκ∈PΘ下的通常期望效用形式，這為最優(yōu)對沖策略的求解提供了可能。

3 求解指數(shù)效用下的最優(yōu)對沖策略

“基差風險模型”中，已知不可交易風險資產(chǎn)的價格動力學和可交易資產(chǎn)的收益率過程，在部分信息框架（僅僅擁有不可交易的風險資產(chǎn)信息）和Knight不確定環(huán)境下，區(qū)別投資人含糊和含糊態(tài)度，求解指數(shù)效用最大化時的最優(yōu)對沖策略。

3.1 部分信息框架轉(zhuǎn)化為完成信息框架

已知和Wt是概率測度P下相關(guān)系數(shù)為∈（－1，1）的2個布朗運動，可觀測信息集為＝，其他信息未可知，要求解上述問題，需要利用布朗運動的相關(guān)性和濾波理論將其轉(zhuǎn)化到完全信息框架下。為此，首先構(gòu)造：

式中，和是2個相互獨立的布朗運動，因而Wt是關(guān)于信息流FW1，W0（相當于FW1，W）的布朗運動。令由Girsanov定理，若滿足：

為P－鞅，則dv為新概率測度下的布朗運動，式（2）中的可交易資產(chǎn)收益率過程可表示成dSt＝σ（t，η）d，即為S的最小鞅測度。再根據(jù)式（11）可知：

也是下的布朗運動。

由文獻［9］知，在可觀測信息集Fη下，可交易資產(chǎn)的收益率過程可分解為：

滿足半鞅分解形式，其中：

由此，式（13）的微分形式可具體表示為：

將式（12）代入可得～P下的半鞅過程：

即轉(zhuǎn)化為可觀測信息集下的收益率過程。

3.2 Knight不確定環(huán)境下的最優(yōu)對沖策略求解

當投資人具有先驗集PΘ進行決策時，式（3）中的終端凈財富會隨著先驗集中不同取值而具有不同的表現(xiàn)形式，事實上，考慮任何一個測度Qκ∈PΘ導出的最優(yōu)性都是一致的。

如定理1（ii）的證明中所述，應用Girsanov定理，若滿足：

為鞅，則d＝dt＋d為新概率測度Qκ下的布朗運動。為了給出最優(yōu)對沖策略的精確表達式，假設：

因此，在新概率測度Qκ下：

和

均為更新的布朗運動過程。定義：

為市場的風險價格。

在指數(shù)效用函數(shù)U（x）＝－e－mx（m＞0）下，不失一般性，取X0＝0，式（8）可以寫成：

定義式（16）對應的價值過程：

定理2 若條件（a）～ （e）成立且（π）＝（π）＞0，在可觀測集Fη中：

（i）式（17）中的滿足：

（ii）最優(yōu)對沖策略為：

其中常數(shù)c＝（1－～ρ2），且h滿足等式：

證明 由式（15）可知，市場的風險價格為θt＝－（2α－1）κ，進而得到：

為考慮Knight不確定環(huán)境時的新概率測度Qκ下的布朗運動，再運用文獻［9］或文獻［10］的證明思路和方法可得結(jié)論。

推論1 在式（18）成立條件下，式（17）定義的價值過程為：

推論2 若條件（a）～（d）成立，μ、σ、δ、H≠0均為常量且－（2α－1）κ，則：

（i）價值過程為：

（ii）最優(yōu)對沖策略為：

證明 （i）若μ、σ、δ、H≠0均為常量，＝H，代入式（18）化簡可得：

由推論1知：

（ii）由＝H代入式（20），得泛函h＝0，進而得最優(yōu)對沖策略＝。

并且（i）和（ii）中的θ滿足式（15），即－（2α－1）κ。

特別地，當隨機支付H＝0，其他條件不變，模型就變成了一個純投資問題，則價值過程Vt＝，最優(yōu)交易策略為所得結(jié)果符合常規(guī)模型的研究結(jié)果［12］。

4 數(shù)值分析

為了能夠形象直觀地認識在Knight不確定環(huán)境下，不確定程度（含糊度）和投資人含糊態(tài)度的變化對投資策略和價值過程的影響，基于推論2給出的結(jié)論，根據(jù)相關(guān)參數(shù)的合理取值范圍，現(xiàn)設定μ＝0.5，σ＝0.5，δ＝0.25，m＝1，H＝10，β＝0.05，T＝10，t＝1，給出最優(yōu)對沖策略π＊t和價值函數(shù)Vt分別關(guān)于α∈［0，1］和κ∈［0，10］的函數(shù)圖像。

圖1和圖2分別表示不確定程度κ＝0.2、κ＝0.5、κ＝0.8時，最優(yōu)對沖策略π＊t和價值函數(shù)Vt在α∈［0，1］上的關(guān)系圖，π＊t關(guān)于α遞減，Vt關(guān)于α遞增。觀察可知，α＝0.5是π＊t和Vt的分界點，當0＜α＜0.5時，投資人為風險喜好者，隨著不確定程度κ的增加，投資在可交易風險資產(chǎn)的金額π＊t增加，此時投資人擁有的價值Vt卻在減小；當0.5＜α＜1時，投資人為風險厭惡者，情況正好相反，不確定程度κ越大，π＊t減小，而Vt卻增大。

圖3表示含糊態(tài)度α＝0.2、α＝0.5、α＝0.8時，最優(yōu)對沖策略π＊t在不確定程度κ∈［0，10］上的圖像。由圖3可知，3條曲線相交于（0，3）點，也就是說當不考慮金融市場Knight不確定（即κ＝0）時，無論投資人的含糊態(tài)度如何，都不影響投資策略，這將不能真實描述投資人的投資行為，也進一步說明了在投資組合研究中考慮Knight不確定的必要性和合理性。而在κ∈［0，10］時，對沖策略π＊t的變化是以投資人的含糊態(tài)度α＝0.5為分界線，當0＜α＜0.5時，π＊t隨著κ的增大而增大。相反，當0.5＜α＜1時，π＊t隨著κ的增大而減小，這與圖1反映的變化規(guī)律一致。

圖1 最優(yōu)對沖策略π＊t和含糊態(tài)度α關(guān)系圖

圖2 價值過程Vt和含糊態(tài)度α關(guān)系圖

圖3 最優(yōu)對沖策略π＊t和含糊態(tài)度κ關(guān)系圖

圖4 α＝0.2時價值過程Vt和含糊態(tài)度κ關(guān)系圖

圖4、圖5和圖6分別表示α＝0.2、α＝0.5、α＝0.8時，最優(yōu)對沖策略Vt在κ∈［0，10］上的圖像。當α＝0.2時，投資人是風險喜好者，價值過程Vt關(guān)于κ急劇遞減，直至價值過程無限趨向于零；當α＝0.5時投資人是風險中性的，價值過程Vt保持不變；而當α＝0.8時，投資人為風險厭惡者，價值過程Vt隨著不確定程度κ的變化先增后減，并在κ∈（0，10）內(nèi)取得極大值。

圖5 α＝0.5時價值過程Vt和含糊態(tài)度κ關(guān)系圖

圖6 α＝0.8時價值過程Vt和含糊態(tài)度κ關(guān)系圖

5 結(jié)語

基于文獻 ［9］中的“基差風險模型”，應用半鞅和BSED方程理論，考慮了部分信息框架和Knight不確定環(huán)境下的最優(yōu)投資組合問題，給出最優(yōu)對沖策略和價值過程的明確表達式，并進行了相關(guān)數(shù)值分析。該研究的主要特點是構(gòu)建的金融市場不僅包含可交易風險資產(chǎn)和不可交易風險資產(chǎn)，還包含了未定權(quán)益，使金融市場的刻畫更加真實貼切，同時還考慮了投資人在面對Knight不確定環(huán)境時的含糊態(tài)度，且研究結(jié)果更加貼近金融市場的實際情形，是對“基差風險模型”的推廣，可以為操作實務中的投資組合構(gòu)建提供更加有力的理論支撐。

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