異形盾構(gòu)變異五桿切削機(jī)構(gòu)運動學(xué)分析

聶建軍 （中原工學(xué)院機(jī)電學(xué)院，河南 鄭州450001）

吳笑偉 （河南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車學(xué)院，河南 鄭州450005）

變異五桿切削機(jī)構(gòu)的合成運動軌跡豐富，能夠?qū)崿F(xiàn)各種異形斷面的切削以滿足實際隧道的需要，因而可以作為異形盾構(gòu)切削的高精度、高轉(zhuǎn)速、高負(fù)載且柔性較大的多自由度閉環(huán)混合驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)［1～5］的運動機(jī)構(gòu)。由于該機(jī)構(gòu)屬于阿蘇爾運動鏈或阿蘇爾組（阿式分類Assur group）的二級機(jī)構(gòu)［6，7］，能夠采用解析法得到機(jī)構(gòu)中已知的尺寸參數(shù)、運動變量與未知的運動變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式［8，9］，把機(jī)構(gòu)分析與機(jī)構(gòu)綜合相聯(lián)系，以便對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行更深入的研究。下面，筆者應(yīng)用桿組理論對混合驅(qū)動變異五桿切削機(jī)構(gòu)進(jìn)行運動學(xué)分析，建立其運動學(xué)模型，以獲得該機(jī)構(gòu)的輸出運動與輸入運動的位置、速度及加速度之間的關(guān)系，為進(jìn)行切削機(jī)構(gòu)動力學(xué)分析奠定基礎(chǔ)。

1 復(fù)數(shù)矢量法

復(fù)數(shù)矢量法是公認(rèn)的用于復(fù)雜多桿平面連桿機(jī)構(gòu)運動分析的最好方法，以機(jī)構(gòu)各桿件作為向量［10］，把在復(fù)平面上的連接過程用復(fù)數(shù)形式加以表達(dá)，對包括結(jié)構(gòu)參數(shù)和時間參數(shù)的解析式對時間求導(dǎo)后，即可得到機(jī)構(gòu)的運動性能。

1.1 矢量的復(fù)數(shù)表示

平面內(nèi)的點與矢量一一對應(yīng)，而平面內(nèi)的點與復(fù)數(shù)也是一一對應(yīng)的，故可以建立復(fù)數(shù)與平面矢量之間的一一對應(yīng)關(guān)系。

設(shè)單位矢量以復(fù)數(shù)表示為：

圖1中所示的矢量可表示為：

圖1 復(fù)數(shù)矢量及其導(dǎo)數(shù)

式中，r為矢量的模；θ為的幅角（逆時針為正）；為矢量在實軸（x軸）上的投影；為在虛軸（y軸）上的投影。

1.2 復(fù)數(shù)矢量的導(dǎo)數(shù)

M點的速度vM和加速度aM分別為式（2）對時間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)：

式（3）的運動學(xué)意義表明，M點的速度vM由2部分組成：第1項表示徑向速度，第2項表示切向速度。式（4）的運動學(xué)意義表明，M點的aM由4部分組成：第1項和第2項表示徑向加速度，第3項和第4項表示切向加速度。如果M為滑塊上的點，且該滑塊沿轉(zhuǎn)動導(dǎo)軌OM移動，則第1項表示M相對導(dǎo)桿OM的相對加速度，第2項表示牽連向心加速度，第3項表示哥氏加速度，第4項表示牽連切向加速度。

2 變異五桿切削機(jī)構(gòu)運動學(xué)分析

采用復(fù)數(shù)矢量法進(jìn)行機(jī)構(gòu)運動分析，需要首先在給定的機(jī)構(gòu)示意圖中畫封閉矢量回路圖，然后按封閉矢量以復(fù)數(shù)形式得到機(jī)構(gòu)位置矢量方程，并依次將位置方程對時間求一階、二階導(dǎo)數(shù)即可得到速度和加速度矢量方程，即先進(jìn)行位置分析，再進(jìn)行速度分析和加速度分析，可以最大限度地減少未知變量個數(shù)，且方程形式簡單，易于求解。

圖2所示為變異五桿切削機(jī)構(gòu)示意圖，取鉸鏈A為坐標(biāo)系原點，建立直角坐標(biāo)系xAy。桿l1由常速電機(jī)驅(qū)動，桿l4由可控電機(jī)驅(qū)動，P點為輸出點，則其軌跡方程為：

2.1 變異五桿切削機(jī)構(gòu)的位置方程分析

各構(gòu)件的尺寸參數(shù)l1、l2、l3、l4、l5、l6和2原動件l1、l4的運動學(xué)參數(shù)，即相位角θ1和θ4、角速度和、角加速度和為已知條件。

1）以 Ⅱ 級桿組ABC分析B、C點及θ1、θ2。B點的位置方程為：

圖2 混合驅(qū)動變異五桿切削機(jī)構(gòu)

ABC回路的復(fù)數(shù)矢量方程為：

將式（7）沿坐標(biāo)軸x、y方向分解，則得到C點的位置方程：

亦即：

由圖2得：

2）以Ⅱ級桿組ABP分析P點及θP。ABP回路的復(fù)數(shù)矢量方程為：

將式（12）沿坐標(biāo)軸方向分解為標(biāo)量形式，則得P點的位置方程：

亦即：

由圖2得：

式中，θP＝arctan2（xP，yP）表示雙輻角反正切函數(shù)；sgn（yP）表示符號函數(shù)：

3）以Ⅱ級桿組CDE分析D點及θ3、θ4。D點的位置方程為：

由圖2得：

將式（20）代入式（17）得D點位置為：

2.2 變異五桿切削機(jī)構(gòu)的速度方程分析

1）以Ⅱ級桿組ABC分析B、C點的速度。將式（6）和式（8）分別對時間求一階導(dǎo)數(shù)得B點和C點的速度方程分別為：

2）以 Ⅱ 級桿組ABP分析P點的速度及。將式（13）對時間求一階導(dǎo)數(shù)得P點的速度方程為：

將式（12）對時間求一階導(dǎo)數(shù)得：

根據(jù)式（1），分離式（25）的實部和虛部并整理得：

用克萊姆法則解方程組（26）得：

3）以Ⅱ級桿組CDE分析D點速度及。將式（17）對時間求一階導(dǎo)數(shù)得D點的速度方程為：

CDE回路的復(fù)數(shù)矢量方程為：

將式（30）對時間求一階導(dǎo)數(shù)得：

根據(jù)式（1），分離式（31）實部和虛部并整理得：

列出ACE回路的復(fù)數(shù)矢量方程：

將式（33）沿x、y方向分解為標(biāo)量形式得：

將式（34）對時間求一階導(dǎo)數(shù)得：

由式（35）和式（32）得：

用克萊姆法則解方程組（36）得：

2.3 變異五桿切削機(jī)構(gòu)的加速度方程分析

1）以Ⅱ級桿組ABC分析B、C點的加速度。將式（6）對時間求二階導(dǎo)數(shù)得B點的加速度方程為：

將式（8）對時間求二階導(dǎo)數(shù)得C點的加速度方程為：

2）以Ⅱ級桿組ABP分析P點加速度及¨θP、¨θ2。將式（13）對時間求二階導(dǎo)數(shù)得P點的加速度方程為：

將式（12）對時間求二階導(dǎo)數(shù)并整理得：

由式（1），分離式（42）的實部和虛部得：

式中：

用克萊姆法則解方程組（43）得：

3）以Ⅱ級桿組CDE分析D點加速度及。將式（17）對時間求二階導(dǎo)數(shù)得D點加速度方程為：

將式（30）對時間求二階微分并整理得：

由式（1），分離式（47）的實部和虛部得：

式中：

用克萊姆法則解方程組（48）得：

3 結(jié)語

利用復(fù)數(shù)矢量法對異形盾構(gòu)變異五桿切削機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運動學(xué)分析，推導(dǎo)了變異五桿切削機(jī)構(gòu)的位置方程、速度方程和加速度方程，得到了輸出運動與輸入運動的位置、速度以及加速度之間的關(guān)系。在后續(xù)的研究中，將根據(jù)不同異形斷面切削的實際需要進(jìn)一步分析可控電機(jī)的運動規(guī)律，并在此研究基礎(chǔ)上進(jìn)行該機(jī)構(gòu)的運動學(xué)仿真模擬，為該機(jī)構(gòu)的實際運用提供技術(shù)支持。

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