函數(shù)y=lnxx的單調(diào)性及其應(yīng)用

1 函數(shù)y=lnxx的單調(diào)性及其相應(yīng)的結(jié)論

用導(dǎo)數(shù)可證得：

定理1 （1）函數(shù)y=lnxx在（0，e]，[e，+∞）上分別是增函數(shù)、減函數(shù)（其圖象如圖1所示）.

圖1

（2）①當(dāng)0

②當(dāng)e≤aba；

③當(dāng)0

④當(dāng)1e時(shí)，abba均有可能.

2 定理1的應(yīng)用

2.1 推廣2014年高考湖北卷文科壓軸題的結(jié)論

高考題1 （2014年高考湖北卷第22題）π為圓周率，e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)f（x）=lnxx的單調(diào)區(qū)間；

（2）（文）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；

（理）將e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論.

下面給出這道高考題的解法.

解 （1）增區(qū)間為（0，e），減區(qū)間為（e，+∞）.

（2）（文）由（1）的結(jié)論還可證得結(jié)論：當(dāng)e≤aba.

由此結(jié)論，得e3>3e，eπ>πe，3π>π3.

又由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得3π>eπ>e3，π3>πe>3e.

所以所求最大數(shù)與最小數(shù)分別是3π，3e.

（由此解法還可得結(jié)論：若e≤a

（理）由（1）的結(jié)論可得lnxx<1e（0

lnπ>2-eπ， （*）

3lnπ>6-3eπ>6-e>π，

π3>eπ，

由式（*），還可得

elnπ>e2-eπ>2.72-2.723.1>

2.7（2-0.88）=3.024>3，

πe>e3.

再由（文）的解法可得，3π>π3>eπ>πe>e3>3e.

定理2 （1）若0

（2）若e≤a1

證明 對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法來證.

（1）①由定理1（2）②知，n=2時(shí)成立.

②假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)成立：

若0

若0

Ak+1=Ak∪{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1，ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak}

又因?yàn)?/p>

max{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1}=akak+1，

max{ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak}=ak+1ak，

所以

maxAk+1=max{maxAk，max{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1}，max{ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak}}

=max{akak-1，akak+1，ak+1ak}=ak+1ak（因?yàn)橛啥ɡ?（2）②可得ak+1ak>akak+1>akak-1）.

又因?yàn)?/p>

min{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1}=a1ak+1，min{ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak}=ak+1a1，

所以

minAk+1=min{minAk，min{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1}，min{ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak}}

=max{a1a2，a1ak+1，ak+1a1}=a1a2（因?yàn)橛啥ɡ?（2）②可得a1a2

得n=k+1時(shí)也成立.

所以欲證結(jié)論成立.

（2）同（1）可證.

猜想 （1）若0

maxG=a3a2a1，minAn=a1a2a3；

（2）若e≤a1

maxG=a1a2a3，minG=a3a2a1.

例1 設(shè)G={aba，b∈{2，e，3，π，4}}，求maxG，minG.

解 由定理2（2），可得max{aba，b∈{e，3，π，4}}=π4，min{aba，b∈{e，3，π，4}}=3e.

由指數(shù)函數(shù)y=2x是增函數(shù)，可得max{2bb∈{e，3，π，4}}=24，min{2bb∈{e，3，π，4}}=2e.

由冪函數(shù)y=x2（x>0）是增函數(shù)，可得max{a2a∈{e，3，π，4}}=42=24，min{a2a∈{e，3，π，4}}=e2.

所以

maxG=max{{aba，b∈{e，3，π，4}}，

{2bb∈{e，3，π，4}}，

{a2a∈{e，3，π，4}}}=max{π4，24，42}=π4.

minG=min{{aba，b∈{e，3，π，4}}，

{2bb∈{e，3，π，4}}，{a2a∈{e，3，π，4}}}=

min{3e，2e，e2}=2e

（因?yàn)橛啥ɡ?（2）②可得2e

2.2

研究另3道高考題

高考題2 （2005年高考全國卷Ⅲ理科第6題）若a=ln22，b=ln33，c=ln55，則（ ）.

A.a

由定理1（1）、圖2及l(fā)n22=ln44，可得選C.

圖2

例2 設(shè)a=1e，b=ln2，c=lnππ，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）.

A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.b>a>c

原解 因?yàn)閍=1e=lnee，b=ln2=ln22，且2b，a>c.

又b-c=ln22-lnππ=πl(wèi)n2-2lnπ2π=ln2π-lnπ22π<0，所以b

因此，a>b>c，A正確.

訂正筆誤 原解的最后一行有誤，應(yīng)訂正為“因此，a>c>b，C正確”.

質(zhì)疑 原解中的“l(fā)n2π-lnπ22π<0”即“2π<π2”是怎么來的？

簡解 由定理1（1）及l(fā)n22=ln44，可得選C.

注 在本題中，由c>b，還可得2π<π2.

高考題3 （2001年高考全國卷理科第20題）已知i，m，n是正整數(shù)，且1

（1）證明niAim

（2）證明（1+m）n>（1+n）m.

證明 （1）略.

（2）即證nln（1+m）>mln（1+n），ln（1+m）m>ln（1+n）n.

設(shè)f（x）=ln（1+x）x（x≥2），得f′（x）=x1+x-ln（1+x）x2（x≥2）.

由x≥2，得x1+x<1f（n），即欲證成立.

注 用同樣的方法（但還須對(duì)由f′（x）的分子得到的函數(shù)y=x1+x-ln（1+x）（x>0）再求導(dǎo)）還可證得：若0（1+n）m.

高考題4 （1983年高考全國卷理科第9題）（1）已知a，b為實(shí)數(shù)，并且eba；

（2）如果正實(shí)數(shù)a，b滿足ab=ba，且a<1，證明a=b.

證明 （1）由推論立得.

（2）由正實(shí)數(shù)a，b滿足ab=ba，得blna=alnb.再由0

再由反證法及定理1（2）②可得欲證結(jié)論成立.

2.3

關(guān)于x的方程ax=bxα（a>0，b≠0，α≠0，α∈Z）根的個(gè)數(shù)

下面再用定理1來討論關(guān)于x的方程

ax=bxα（a>0，b≠0，α≠0，α∈Z） （*）

根的個(gè)數(shù).

定理3 （1）若b>0，α為奇數(shù)，則

（?。┊?dāng)且僅當(dāng)eαb-1αlna>α2時(shí)，方程（*）根的個(gè)數(shù)是0；

（ⅱ）當(dāng)且僅當(dāng)b=elnaαα或αlna≤0時(shí)，方程（*）根的個(gè)數(shù)是1；

（ⅲ）當(dāng)且僅當(dāng)[JB（{]αlna>0，

eαb-1αlna<α2時(shí)，方程（*）根的個(gè)數(shù)是2.

（2）若b<0，α為奇數(shù)，則

（?。┊?dāng)且僅當(dāng)eαb-1αlna>α2時(shí)，方程（*）根的個(gè)數(shù)是0；

（ⅱ）當(dāng)且僅當(dāng)b=elnaαα或a=1時(shí)，方程（*）根的個(gè)數(shù)是1；

（ⅲ）當(dāng)且僅當(dāng)[JB（{]αlna<0，

eαb-1αlna<α2，時(shí)，方程（*）根的個(gè)數(shù)是2.

（3）若b>0，α為非零偶數(shù)，則

（?。┊?dāng)且僅當(dāng)b1α

（ⅱ）當(dāng)且僅當(dāng)b1α=elnaα或a=1時(shí)，方程（*）根的個(gè)數(shù)是2；

（ⅲ）當(dāng)且僅當(dāng)[JB（{]a≠1，

b1α>elnaα，時(shí)，方程（*）根的個(gè)數(shù)是3.

（4）若b<0，α為非零偶數(shù)，則方程（*）根的個(gè)數(shù)是0.

證明 （1）易知方程（*）的根x>0.

可設(shè)d=b1α，c=ab-1[]α，t=b1αx，可得d，c，t均是正數(shù).

還可得關(guān)于x的方程（*）根的個(gè)數(shù)即關(guān)于t的方程

ct=tα（c>0，α是奇數(shù)；t>0）

也即

lntt=lncα（c>0，α是奇數(shù)）

根的個(gè)數(shù).

由定理1（1）及圖1，可得

（?。┊?dāng)且僅當(dāng)lncα>1e即eαb-1αlna>α2時(shí)，方程（*）根的個(gè)數(shù)是0；

（ⅱ）當(dāng)且僅當(dāng)lncα≤0或lncα=1e即b=elnaαα或αlna≤0時(shí)，方程（*）根的個(gè)數(shù)是1；

（ⅲ）當(dāng)且僅當(dāng)00，

eαb-1αlna<α2，時(shí)，方程（*）根的個(gè)數(shù)是2.

（2）易知方程（*）的根x<0.

可設(shè)x′=-x，得x′>0.

還可得關(guān)于x的方程（*）根的個(gè)數(shù)即關(guān)于x′的方程

1ax′=-bx′α（1a>0，-b>0，α是奇數(shù)）

根的個(gè)數(shù).

再由結(jié)論（1）可得結(jié)論（2）成立.

（3）易知方程（*）的根x≠0.

可設(shè)d=b1α，c=ab-1α，t=b1αx，可得d，c均是正數(shù)，t≠0.

還可得關(guān)于x的方程（*）根的個(gè)數(shù)即關(guān)于t的方程

ct=tα（c>0，α是非零偶數(shù)；t≠0）

也即

lntt=lncα（c>0，α是非零偶數(shù)）

根的個(gè)數(shù).

由定理1可作出函數(shù)y=lntt的圖象如圖3所示：

圖3

由圖3可得

（?。┊?dāng)且僅當(dāng)lncα>1e即b1α

（ⅱ）當(dāng)且僅當(dāng)lncα=1e或0即b1α=elnaα或a=1時(shí)，方程（*）根的個(gè)數(shù)是2；

（ⅲ）當(dāng)且僅當(dāng)0

b1α>elnaα，時(shí)，方程（*）根的個(gè)數(shù)是3.

（4）顯然成立.

讀者還可討論關(guān)于x的方程

ax=bxα（a>0，b≠0，α≠0，α∈R）

根的個(gè)數(shù)（可參考上面的研究方法和文獻(xiàn)[1]）.

參考文獻(xiàn)

[1]甘志國.冪、指函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的完整結(jié)論[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2008（9）：30-32.