在數(shù)與形之間行走

崔靜　趙震　周衛(wèi)紅

[摘 要]數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要思想。通過(guò)讓學(xué)生觀察圖形與算式，促進(jìn)學(xué)生能從不同的角度思考問題，能把數(shù)形結(jié)合思想遷移到解決實(shí)際問題中，體會(huì)到數(shù)與形的完美結(jié)合。

[關(guān)鍵詞]數(shù)與形 數(shù)形結(jié)合思想 以形助數(shù) 以數(shù)解形

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）32-019

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，可以說(shuō)涉及數(shù)學(xué)學(xué)科的各個(gè)領(lǐng)域。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！薄皵?shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。數(shù)形結(jié)合主要指的是數(shù)與形之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”等抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題形象化。

“數(shù)與形”是人教版小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)教材第八單元“數(shù)學(xué)廣角”中的內(nèi)容?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）在原有基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的基礎(chǔ)上增加了基本思想，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性。本課內(nèi)容主要是通過(guò)觀察圖形與算式，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問題，在此基礎(chǔ)上再次創(chuàng)新，從不同角度思考問題，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決實(shí)際問題，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)。

在數(shù)與形的教學(xué)過(guò)程中，我進(jìn)行了一次嘗試，帶領(lǐng)學(xué)生行走在數(shù)與形之間。

片段一：靈活應(yīng)用教材，感悟數(shù)缺形時(shí)少直觀

教材上的呈現(xiàn)方式如下圖，教學(xué)目標(biāo)只要求學(xué)生通過(guò)觀察圖形和算式尋找規(guī)律。圖形和算式的指向性非常明確，學(xué)生無(wú)需太多的思考便能解決。這種觀察性的學(xué)習(xí)缺乏個(gè)性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

教材是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的有效載體，但是如果教師只停留在照本宣科上，恐怕學(xué)生獲得的只是單純的知識(shí)，而隱藏在學(xué)習(xí)過(guò)程中的思維經(jīng)驗(yàn)的積累就被忽視了。所以需要教師設(shè)計(jì)開放性、有過(guò)程的教學(xué)環(huán)節(jié)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維。

師（出示1+3+5+7+9+11和6×6）：哪位同學(xué)能很快算出結(jié)果？

生：6×6=36。

師：一個(gè)簡(jiǎn)單，一個(gè)復(fù)雜，結(jié)果卻相同，這里面有什么秘密嗎？剛才我們都是從數(shù)的角度分析，現(xiàn)在我們換個(gè)角度，借助圖形來(lái)幫助我們研究怎么樣？

師：由6×6你能想到什么圖形？

生：一個(gè)大的正方形。

師（課件出示圖1）：如果我們用一個(gè)小方格代表1，那么這一行就畫了6個(gè)，共畫了這樣的6行，也就是用6×6來(lái)表示。記得剛才1+3+5+7+9+11也得36。這個(gè)算式你們能在方格紙上用畫圖的方式表示出來(lái)嗎？請(qǐng)你先想一想、再動(dòng)手試一試。

生1：我是一個(gè)一個(gè)接著畫的。（如圖2）

師：她是按照數(shù)的順序依次一行一行地畫出來(lái)。

生2：我發(fā)現(xiàn)1和11能湊成12，3和9能湊成12，5和7也能湊成12，所以3個(gè)12就是36。（如圖3）

師：這位同學(xué)有了規(guī)劃的意識(shí)，能把數(shù)字分成組，也清楚地表達(dá)了算式的意思。

生3：可以這樣拐著彎畫，我覺得這樣畫更清楚。（如圖4）

生4：我喜歡用數(shù)字表示，這樣也能讓人看清楚數(shù)字在哪里。（如圖5）

師：你們更喜歡哪一種呢？生3的作品好在哪里？

生：這種更能一目了然地看出規(guī)律。

師：這樣不僅清楚地表示出數(shù)，而且還容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。咱們班同學(xué)可是非常了不起的，千萬(wàn)別小瞧這幅圖形，小小正方形在你們的筆下演繹著與以往不同的精彩。在這幅圖形里，除了6×6這個(gè)大正方形，還存在其他的正方形嗎？會(huì)不會(huì)也有這樣的算式和它對(duì)應(yīng)著呢？請(qǐng)你找一找。

生：1=1×1，

1+3=2×2，

1+3+5=3×3，

1+3+5+7=4×4，

1+3+5+7+9=5×5，

1+3+5+7+9+11=6×6，

……

分析與思考：這個(gè)環(huán)節(jié)并不是直接讓學(xué)生去觀察，而是給學(xué)生搭建了自主探索的空間，教師給學(xué)生提供了探究的素材，在學(xué)習(xí)的活動(dòng)中充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的原始認(rèn)知水平，讓他們?cè)趧?dòng)手畫圖的過(guò)程中感悟形中有數(shù)，數(shù)中有形的數(shù)形結(jié)合的方法，同時(shí)也體會(huì)了研究數(shù)學(xué)問題的方法，享受學(xué)習(xí)的過(guò)程，提高了數(shù)學(xué)思維能力。學(xué)生在匯報(bào)想法的過(guò)程中逐層深入，由淺入深地發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)正方形的特點(diǎn)，感受數(shù)與形內(nèi)在的奇妙之處。

片段二：創(chuàng)造性地使用教材，感悟形少數(shù)時(shí)難入微

在我們的教材上，關(guān)于數(shù)與形的問題，大部分內(nèi)容都是集中在用圖形幫助分析數(shù)，而缺少“以數(shù)析形”的素材，如何才能在教學(xué)中讓學(xué)生感受到形少數(shù)時(shí)難入微呢？

師：我們學(xué)過(guò)線段，也了解了數(shù)對(duì)，如果我們把線段和數(shù)對(duì)聯(lián)系在一起，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生1：我能看出這兩個(gè)點(diǎn)的位置。

生2：我能知道這條線段的長(zhǎng)度是4個(gè)格，但是我不知道它的具體長(zhǎng)度，因?yàn)闆]有單位。

生3：我還能知道它是一條水平的線段。

師：有了數(shù)對(duì)，我們知道了兩個(gè)端點(diǎn)的位置；有了數(shù)，我們可以知道線段的長(zhǎng)度（依據(jù)8和4）；有了數(shù)，我們可以知道這是一條水平的線段（依據(jù)3和3）。

師：你們知道這兩條線段的位置關(guān)系嗎？

生4：這兩條線段是平行的。

生5：下面的線段向上先平移了3個(gè)格，再向左平移了1個(gè)格。

師：有了數(shù)據(jù)的幫助，我們不僅能判斷線段的特點(diǎn)，還能知道兩條線段的關(guān)系。

師：下面的這兩條線段平行嗎？

（學(xué)生一開始異口同聲地說(shuō)“平行”，停頓數(shù)秒即刻又說(shuō)“不平行”）

生6：那個(gè)是8.1，只有是8才平行。

生7：如果平行的話，它們縱坐標(biāo)的數(shù)值應(yīng)該是相等的，可是現(xiàn)在相差了0.1。

師：光用眼睛看不行，有數(shù)據(jù)我們才能準(zhǔn)確判斷。有時(shí)候眼睛也會(huì)欺騙人，有句古話說(shuō)得好，失之毫厘，謬以千里。

分析與思考：雖然簡(jiǎn)單的幾條線段都是學(xué)生熟悉的，但是利用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是第一次。學(xué)生通過(guò)研究與梳理，構(gòu)架起知識(shí)之間的網(wǎng)絡(luò)，積累研究數(shù)學(xué)的方法和策略，在思考、交流的過(guò)程中真實(shí)感受到數(shù)據(jù)對(duì)圖形細(xì)致入微的刻畫。

通過(guò)經(jīng)歷與嘗試，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“形”的問題中包含著“數(shù)”的規(guī)律，“數(shù)”的問題也可以借助“形”來(lái)解決。教學(xué)時(shí)，通過(guò)學(xué)生的自主探究、合作交流，既讓學(xué)生充分利用圖形來(lái)表示數(shù)的規(guī)律性，感受化數(shù)為形的簡(jiǎn)潔性，又讓學(xué)生尋找圖形中所包含的數(shù)的規(guī)律，用數(shù)（或代數(shù)式）來(lái)表示圖形，建立模型，感受化形為數(shù)（或代數(shù)式）的概括性。在此基礎(chǔ)上再次創(chuàng)新，從不同角度觀察、發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律。學(xué)生在解決問題的過(guò)程中體會(huì)到數(shù)與形的完美結(jié)合，有效培養(yǎng)了學(xué)生的觀察、抽象及概括能力。

真實(shí)的經(jīng)歷和體驗(yàn)，讓“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”悄然植入學(xué)生的頭腦中。

（責(zé)編 金 鈴）