期望效用理論淺述

【摘要】本文簡(jiǎn)要回顧了期望效用（EU）理論以及反映投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的具體效用函數(shù)形式，并給出了EU理論在單期投資組合優(yōu)化中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，文章最后討論了EU理論的缺點(diǎn)及Allias悖論。

【關(guān)鍵詞】期望效用理論 效用函數(shù) 投資組合優(yōu)化

發(fā)端于19世紀(jì)70年代的“邊際革命”將經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究對(duì)象從社會(huì)財(cái)富的創(chuàng)造轉(zhuǎn)化為了對(duì)人的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的邊際效用分析。經(jīng)濟(jì)學(xué)被重新定義為“快樂(lè)和痛苦的微積分學(xué)”。以主觀效用為基礎(chǔ)的微觀經(jīng)濟(jì)理論體系使經(jīng)濟(jì)學(xué)從馬爾薩斯時(shí)代的“沉悶的科學(xué)”變?yōu)榱恕靶腋５臄?shù)理表達(dá)”。20世紀(jì)中期誕生的期望效用（Expected Utility， EU）理論將效用的分析從確定性環(huán)境帶入了不確定性環(huán)境，成為了理性人在不確定性環(huán)境下的決策準(zhǔn)則。

一、期望效用理論（EU）簡(jiǎn)述

（一）風(fēng)險(xiǎn)與不確定性

期望效用理論描述理性人在風(fēng)險(xiǎn)或不確定性環(huán)境下的消費(fèi)（投資）選擇。“風(fēng)險(xiǎn)”及“不確定性”二詞在大多數(shù)情況下可以相互替代使用，但有些經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書(shū)也討論了二者間的細(xì)微差異。風(fēng)險(xiǎn)與不確定性均用于描述一個(gè)決策的后果由于缺乏充分信息而并非確定獲知的情況。若一個(gè)決策是在風(fēng)險(xiǎn)下做出的，則意味著決策者能夠列出該決策可能產(chǎn)生的所有后果及其相對(duì)應(yīng)的可能性（概率）。如果一個(gè)決策是在不確定性下做出的，則意味著該決策產(chǎn)生的所有可能后果或其可能性是無(wú)法預(yù)測(cè)的。以統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，風(fēng)險(xiǎn)意味著決策者對(duì)于決策結(jié)果的概率分布是已知的，而不確定性則相反。所以從嚴(yán)格意義上說(shuō)，EU理論討論的是決策者在風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境下的選擇。

（二）效用函數(shù)與期望效用理論

微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，效用函數(shù)用于衡量消費(fèi)者在不同消費(fèi)束中獲得的滿足感。從任何消費(fèi)束獲得的效用取決于其對(duì)應(yīng)的特定狀態(tài)。比如人們從一把傘中獲得的效用取決于當(dāng)時(shí)的天氣，晴天帶傘對(duì)多數(shù)人來(lái)說(shuō)是累贅，而暴雨天的一把傘卻是大多數(shù)人的“救命稻草”。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用函數(shù)U（w）則被用于度量投資者在不同財(cái)富等級(jí)上的相對(duì)偏好。效用理論第一次完整意義上的公理化發(fā)展來(lái)自于JohnvonNeumann和OskarMorgenstern（1944）提出的期望效用函數(shù)理論。此后，理論界普遍使用該理論為投資者的資產(chǎn)選擇方式建模。將博彩定義為一項(xiàng)有風(fēng)險(xiǎn)支付的資產(chǎn)，一種特定的博彩方式可以被看作是一個(gè)概率有序集P={p1，p2，…，pn}，其中∑ni=1pi=1，且pi≥0。令>，<和～分別表示對(duì)不同博彩方式的偏好和無(wú)差異。如果投資者的偏好滿足下面的五個(gè)公理，那么它們就可以用定義在給定博彩概率之上的期望效用函數(shù)V（p1，p2，…，pn）來(lái)表示。

1.完備性公理。對(duì)于任何兩種博彩方式P*和P，只存在P*>P，

P*

2.傳遞性公理。如果P**≥P*，并且P*≥P，那么P**≥P。這表明理性人的選擇具備邏輯性和一致性。

3.連續(xù)性公理。如果P**≥P*≥P，那么存在某個(gè)λ∈[0，1]使得P*～λP**+（1-λ）P。連續(xù)性公理表明理性的決策者不僅具備邏輯性和一致性，而且該屬性（邏輯性和一致性）應(yīng)該是完美的。

4.獨(dú)立性公理。投資者關(guān)于兩種博彩方式的偏好獨(dú)立于其得到它們的方式，對(duì)于任何兩個(gè)博彩P和P*，P*>P，λP*+（1-λ）P**>λP+（1-λ）P**。

5.單調(diào)或占優(yōu)公理。令P1表示復(fù)合博彩λ1P**+（1-λ1）P*，P2表示復(fù)合博彩λ2P**+（1-λ2）P*，如果P**>P*，那么有P1>P2，當(dāng)且僅當(dāng)λ1>λ2。公理1、2、3描述理性人在確定性環(huán)境中的選擇邏輯，與微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中消費(fèi)者理論的偏好公理完全一致。公理4和公理5則是對(duì)前三條公理在不確定性環(huán)境中的運(yùn)用的擴(kuò)展。

對(duì)于每一個(gè)簡(jiǎn)單賭局G={p1w1，p2w2，…，pnwn）|pi>0，∑ni=1pi=1}，其中W={w1，w2，…wn}為結(jié)果集。如果效用函數(shù)U（W）=U（∑ni=1piwi）=∑ni=1piU（wi），則稱U（W）為vonNeumann—Morgenstern（VNM）期望效用（EU）函數(shù)。EU理論認(rèn)為，假如決策者選擇風(fēng)險(xiǎn)決策備擇方案的過(guò)程符合上述五條公理，那么他一定是選擇期望效用值最大的那項(xiàng)備擇方案。期望效用值可以用備擇方案的結(jié)果發(fā)生的概率與該備擇方案所對(duì)應(yīng)的效用值的函數(shù)來(lái)表示。期望效用函數(shù)在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)里的一個(gè)重要作用在于它能夠用于判斷投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。對(duì)于某個(gè)行為人，如果u[E（W）]>Eu（W）她是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，其效用函數(shù)具有凹性特征；如果u[E（W）]

常見(jiàn)的效用函數(shù)可歸納為以下六種形式：

1.負(fù)指數(shù)效用函數(shù)：u（w）=-exp（-rAw），由于rA（w）=-■=■=r■，該效用函數(shù)亦被稱為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)（CARA）不變的效用函數(shù)。

2.冪效用函數(shù)：u（w）=■W1■-rR■，由于rR（w）=-■·w=■·w=rR，該效用函數(shù)亦被稱為相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)（CRRA）不變的效用函數(shù)。

3.冪指數(shù)效用函數(shù)：u（w）=-exp（-βwα），α<0，αβ>0，rA（w）=-■=-■·αβwα-1，由此可推出■=■+αβ（α-1）w■<0，該效用函數(shù)具有遞減的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避（DARA）傾向。

4.對(duì)數(shù)效用函數(shù)：u（w）=ln（w），rA（w）=■=■，rR（w）=■·w=1由此可見(jiàn)該效用函數(shù)的投資者的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)隨財(cái)富的增加而減少，相對(duì)規(guī)避系數(shù)為常數(shù)1。

5.二次效用函數(shù)：u（w）=aw-■w■當(dāng)w為一個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，期望效用可以表示為Eu（w）=aE（w）-■σ2w，因此該效用函數(shù)可以用收入的期望和方差表示。

6.雙曲線效用函數(shù)：u（w）=■（a+■w）1-r，rA（w）=-■=■，該效用函數(shù)表面隨著財(cái)富的增加，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)將遞減。

二、期望效用理論的一個(gè)簡(jiǎn)化應(yīng)用

作為現(xiàn)代資產(chǎn)定價(jià)理論的基石，EU模型在投資組合優(yōu)化中有著重要的應(yīng)用價(jià)值。在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中，投資者的目標(biāo)并非最大化自己投資組合的價(jià)值而是最大化投資組合產(chǎn)生的期望幸福感，換言之，投資者追求的是自身的期望效用最大化。因此做出最優(yōu)資產(chǎn)組合選擇的關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)一個(gè)投資比例使其令該投資者的期望效用最大化。假設(shè)投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度符合對(duì)數(shù)效用函數(shù)u（w）=ln（w）的描述，初始財(cái)富值為10000人民幣。假定她有兩種選擇，投資x元于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（如股票），則其留存的財(cái)富值投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（如固定收益證券）并獲取5%的年化收益率?，F(xiàn)考慮以下兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的單期損益情形，第一種情形下投資者的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值在一年后會(huì)增值50%變?yōu)?.5x； 第二種情形下投資者的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值在一年后會(huì)損失30%至0.7x。那么在上述兩種情形下，投資者一年后的財(cái)富分別為

1.5x+（10000-x）（1+0.05）=10500+0.45x（情形一）

0.7x+（10000-x）（1+0.05）=10500-0.35x（情形二）。

假設(shè)兩種情形發(fā)生的概率相等，則其期望效用可表示為

Eu（x）=0.5u（10500+0.45x）+0.5u（10500-0.35x）

=0.5ln（10500+0.45x）+0.5ln（10500-0.35x）

一旦得出期望效用函數(shù)的顯性式，該投資者則可以通過(guò)選擇風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資份額x使其自身效用最大化。為此，我們僅需對(duì)上式一階求導(dǎo)并令其等于0{1}，即

Eu'（x）=■+■=0

■=■

解得x≈3333.3，與之對(duì)應(yīng)的期望財(cái)富E*（x）為10666.6，期望效用E*u（x）約為9.27。

在上一節(jié)中，我們簡(jiǎn)要回顧了效用函數(shù)的六種常見(jiàn)形式，了解到了對(duì)數(shù)函數(shù)的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)隨財(cái)富的增加而增加。相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)為常數(shù)1，不隨財(cái)富的增減而改變。下面我們通過(guò)本例來(lái)考察上述性質(zhì)的直觀含義。假設(shè)初始財(cái)富減少50%至5000，投資者的期望效用函數(shù)則可定義為Epooru（x）=0.5ln（5250+0.45x）+0.5ln（5250-0.35x），令

Epooru'（x）=■+■=0

解得x≈1667，與之對(duì)應(yīng)的期望財(cái)富E*poor（x）為5333.35，期望效用E*pooru（x）約為8.57。假設(shè)初始財(cái)富增加50%至15000，則可定義投資者的期望效用函數(shù)為Erichu（x）=0.5ln（15750+0.45x）+0.5ln（15750-0.35x），令

Erichu'（x）=■+■=0

解得x=5000，與之對(duì)應(yīng)的期望財(cái)富E*rich（x）為16000，期望效用E*richu（x）約為9.67。

由此可見(jiàn)，當(dāng)初始財(cái)富減少50%至5000時(shí)，投資者的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資數(shù)額從3333.3減少到1667，降幅為50%。當(dāng)初始財(cái)富增加50%至15000時(shí)，投資者的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資額從3333.3增至5000，增幅為50%。因此，在本例中，投資者初始財(cái)富的減少使其減少對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資數(shù)額，初始財(cái)富的增加使其增加對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資數(shù)額。此外，我們還發(fā)現(xiàn)，投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資增加（減少）比例恰好等于初始財(cái)富的增加（減少）比例，均為50%。以上結(jié)果印證了風(fēng)險(xiǎn)偏好理論的兩條結(jié)論：令X為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資額，W0記為初始財(cái)富——（1）如果投資者的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)隨財(cái)富增加而遞減，則隨著財(cái)富的增加，投資者會(huì)增加投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富數(shù)量， ■>0；（2）如果投資者的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)為常數(shù)，則隨著財(cái)富的增加，她對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資的增加比例等于初始財(cái)富的增加比例， ■=■。

對(duì)比初始財(cái)富變化對(duì)期望財(cái)富與期望效用的影響，我們還發(fā)現(xiàn)■≈■=50%，■=

7.60%>■=4.3%。因此在本例中，初始財(cái)富增減相同的比例會(huì)使?jié)M足期望效用最大化的期望財(cái)富呈同比變動(dòng)，但是其對(duì)應(yīng)的期望效用的增減卻呈現(xiàn)非對(duì)稱變化——初始財(cái)富減少引發(fā)的效用損失遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于初始財(cái)富增多引起的效用增加，這說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)厭惡者從自身期望財(cái)富的增加獲取的滿足感遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能抵消相同程度的期望財(cái)富減少對(duì)其造成的失落感。此外，初始財(cái)富增減帶來(lái)的期望財(cái)富增減比例同樣遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于與之對(duì)應(yīng)的期望效用增減比例，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際效用遞減的規(guī)律在此例中表現(xiàn)地格外明顯。

三、EU理論的缺陷

盡管EU理論自提出以來(lái)便一直被奉為理性人在不確定情況下的行動(dòng)準(zhǔn)則，然而正如兩位創(chuàng)始人所言：“要把效用這個(gè)東西界定清楚并加以應(yīng)用是非常困難的，要將其描述為一個(gè)數(shù)字則更為困難。”對(duì)EU理論的一個(gè)經(jīng)典質(zhì)疑當(dāng)屬Allias（1953）悖論。給定兩組試驗(yàn)，每組試驗(yàn)包含兩個(gè)選項(xiàng)，試驗(yàn)者面臨的支付矩陣歸納如下

大多數(shù)受驗(yàn)人在面臨試驗(yàn)一的時(shí)候都選擇了擁有肯定收入的A選項(xiàng)，按照EU理論的邏輯，選擇A選項(xiàng)的受驗(yàn)人在面臨試驗(yàn)二的時(shí)候應(yīng)該選擇C選項(xiàng)，因?yàn)榧热籙（1，000，000）>0.10U（5，000，000）+0.89U（1，000，000）+0.01U（0），就能推出0.11U（1，000，000）+0.89U（1，000，000）>0.10U（5，000，000）+0.89U（1，000，000）+0.01U（0）即0.11U（1，000，000）>0.10U（5，000，000），然而實(shí)際情況卻是大多數(shù)受驗(yàn)人在試驗(yàn)二中選擇了D選項(xiàng)，這表明0.11U（1，000，000）<0.1U（5，000，000）。以上結(jié)果與EU理論中的獨(dú)立性公理相矛盾，獨(dú)立性公理認(rèn)為人們對(duì)選項(xiàng)A/B與C/D的偏愛(ài)不應(yīng)受到由0.89的概率所產(chǎn)生的共同結(jié)果值的影響。直觀理解就是：如果兩個(gè)行為的期望效用值的大小關(guān)系為Eu（A）>Eu（B），那么在這個(gè)不等式的兩邊同時(shí)加上共同的值對(duì)于原不等式依然成立。拋開(kāi)人們行為上的選擇偏差，從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度來(lái)考慮，獨(dú)立性的公理之所以被違背還在于它忽略了商品間的互補(bǔ)性或替代性。比如對(duì)于一臺(tái)任天堂3ds游戲掌機(jī)和一臺(tái)索尼PSVita游戲掌機(jī)，筆者更偏好前者，但如果對(duì)于一臺(tái)3ds加五盤PSVita游戲卡帶的組合與一臺(tái)PSVita加五盤同樣的PSVita游戲卡帶的組合，筆者肯定更偏好后者。

EU理論的另一爭(zhēng)論點(diǎn)在于其假定決策者具有完全理性。在面臨不確定環(huán)境時(shí)，決策者能夠通過(guò)其掌握的信息，分析出每種可能的結(jié)果并計(jì)算出相應(yīng)的概率。然而，在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，決策者受到自身心智的限制而很難在一個(gè)高度不確定環(huán)境下設(shè)想出各種行為后果，更缺乏對(duì)客觀概率的估計(jì)能力?，F(xiàn)實(shí)生活中，信息的搜集本身就具有高昂的成本，意圖掌握完整的信息本身就是不理性的。此外，經(jīng)濟(jì)學(xué)家（Kahneman&Tversky 1979）還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)行為人同時(shí)面對(duì)兩件對(duì)其財(cái)富產(chǎn)生損益的事件時(shí)，人們會(huì)單獨(dú)衡量每一事件，并認(rèn)為收益的重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于損失——哪怕兩件事情的組合會(huì)增加他們的總財(cái)富。有鑒于此，Kahneman和Tversky（1979）用價(jià)值函數(shù)去代替?zhèn)鹘y(tǒng)的效用函數(shù)，將效用函數(shù)里唯一的自變量——財(cái)富，分解為收益與損失兩個(gè)自變量，并使用主觀決策權(quán)重去替代客觀概率。

簡(jiǎn)言之，正如EU理論的批判者所說(shuō)，現(xiàn)代主流經(jīng)濟(jì)學(xué)將行為人在不確定環(huán)境下的決策建立在期望效用理論之上，但大量的行為或選擇悖論卻證明建立在數(shù)理邏輯上的先驗(yàn)假設(shè)與現(xiàn)實(shí)中的行為人選擇并不一致。但是，從經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)來(lái)看，期望效用理論的產(chǎn)生促成了金融學(xué)理論特別是資產(chǎn)定價(jià)和證券組合選擇的大跨越。以期望效用理論為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)金融學(xué)說(shuō)至今仍保持著旺盛的生命力并被不斷地修正與擴(kuò)展以解釋不完全信息及有限理性條件下的真實(shí)市場(chǎng)行為。

注釋

{1}由于對(duì)數(shù)效用函數(shù)是凹函數(shù)，其二階導(dǎo)數(shù)恒小于0，故其在定義域上存在最大值。

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作者簡(jiǎn)介：庹思偉（1988-），男，漢族，四川成都人，任職于成都龍騰小額貸款股份有限公司，研究方向：行為金融學(xué)，資本市場(chǎng)的理論與實(shí)踐。