基于多元Taylor法的并聯(lián)機器人運動學(xué)研究*

張少芳，徐曉昭

（石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院計算機系，石家莊050021）

基于多元Taylor法的并聯(lián)機器人運動學(xué)研究*

張少芳，徐曉昭

（石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院計算機系，石家莊050021）

機器人技術(shù)發(fā)展到現(xiàn)在，雖然已經(jīng)得到了突飛猛進的進步，但是對于并聯(lián)機器人運動學(xué)正解的封閉解問題依然是機器人技術(shù)的瓶頸，在實際應(yīng)用中采用廣義幾何法和方程組的數(shù)值解法等，不過首先推導(dǎo)過程非常的復(fù)雜，且在求解的過程中還存在解不唯一等問題。因此，為了避免上述問題，文中根據(jù)多元函數(shù)的Taylor公式推導(dǎo)出了一種基于三元非線性方程組牛頓迭代法的并聯(lián)機器人運動學(xué)正解算法，同時，基于其數(shù)學(xué)原理，也可以得到并聯(lián)機器人的反解。Taylor法以其自身的優(yōu)勢，巧妙地解決繁瑣的并聯(lián)機器人運動學(xué)正解多解取舍問題，直接獲得了工作空間內(nèi)滿足運動連續(xù)性的合理解，該算法的迭代次數(shù)少，收斂速度快，是一種非常有潛力的方法。

非線性方程；牛頓迭代；Taylor公式；并聯(lián)機器人；多元函數(shù)

0 引言

并聯(lián)機器人有結(jié)構(gòu)簡單、造價低、承載能力強、精度高和易于控制等特點，是國內(nèi)外高新技術(shù)研究的熱點。正是由于并聯(lián)機構(gòu)獨特的優(yōu)越性，其被廣泛的應(yīng)用于數(shù)控機床、醫(yī)療機器人以及微電子制造中的精密定位裝置等領(lǐng)域［1］。但并聯(lián)機器人的研究與發(fā)展存在不可逾越的三大瓶頸問題，即正向運動學(xué)求解、工作空間求解、奇異性分析［2］。

近年來，并聯(lián)機器人運動學(xué)得到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究。Stefan Ulbrich等提出了一種離線訓(xùn)練法，該方法是用高斯混合模型使精確度大幅提高［3］；Honghai Liu等研究了一種模糊定性（FQ）方法對機器人運動學(xué)進行了研究，最后在MATLAB上證明了其正確性［4］；Ying Hu等提出了一種六自由度MPR的3PPUU MPR模型，精確的控制了機器人的位姿［5］；M.E.Daachi等提出了基于傅里葉級數(shù)的C5并聯(lián)機器人逆動力學(xué)模型，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)很好的控制了機器人的姿態(tài)［6］。Lu Ren等開發(fā)了一種自適應(yīng)控制方法，有效的控制了同步誤差［7］。但是，一般形式的并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)解析正解問題依然沒有一個令人滿意的解決方案，因此本文對并聯(lián)機器人研究的一大瓶頸問題——正向運動學(xué)求解進行了深入研究。

圖1 并聯(lián)機器人

圖1為本文所研究的Delta并聯(lián)機器人機構(gòu)，其運動學(xué)求解也面臨著上述問題。但是由于Delta機構(gòu)是一類特殊的并聯(lián)機構(gòu)，其簡單的機構(gòu)本質(zhì)決定了它能得到顯式的解析正解。本文提出了一種基于三元非線性方程組牛頓迭代法，同時將該方法應(yīng)用到并聯(lián)機器人運動學(xué)的正解計算問題，使得方程組得到最優(yōu)唯一解。三元非線性方程組的原理是基于三元函數(shù)的Taylor公式建立的，利用多元函數(shù)的Taylor公式可以推導(dǎo)出三元非線性方程組的牛頓迭代法。其推導(dǎo)過程簡單、直觀 ，并能直接給出解析解實時控制時滿足運動連續(xù)條件的封閉解。

1 基本定理

三元函數(shù)的Taylor公式：

如果函數(shù)X=G（x，y，z）在某一點（x0，y0，z0）的某個鄰域內(nèi)連續(xù)且具有直到（n+1）階的導(dǎo)數(shù)，（x0+ h，y0+w，z0+k）為此鄰域內(nèi)任一點，則有

其中（0＜θ＜1），式（1）即為三元函數(shù)的Taylor公式。

2 三元非線性牛頓迭代法

2.1 三元非線性方程牛頓迭代格式的確立

設(shè)X=G（x，y，z）在點（px，py，pz）的某一鄰域連續(xù)且有至少二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，（px+m，py+n，pz+k）為此鄰域內(nèi)任一點，則有

其中m=x-px，n=y-py，k=z-pz

于是方程G（x，y，z）=0可近似的表示為

同理設(shè)Y=M（x，y，z）在點（px，py，pz）的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，（px+m，py+n，pz+k）為此鄰域內(nèi)任一點，則同樣有：

其中m=x-px，n=y-py，k=z-pz；于是方程M（x，y，z）=0可近似表示為：

同理設(shè)Z=K（x，y，z）在點（px，py，pz）的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，（px+m，py+n，pz+k）為此鄰域內(nèi)任一點，則同樣有

其中m=x-px，n=y-py，k=z-pz；于是方程M（x，y，z）=0可近似表示為：

根據(jù)上述的結(jié)論聯(lián)立方程（7）、（9）、（11），得到三元非線性方程組，簡寫為：

求解上述方程組得：

本文設(shè)計的三元非線性方程組牛頓法迭代流程如下。

2.2 求解流程

（1）求G（x，y，z）=0的解。迭代流程為

①初始ω1=ω2=ω3=1，迭代一次之后得到G（px，py，pz）。若則（px，py，pz）即為最優(yōu)解，若不是，轉(zhuǎn)入②；

表1 迭代參數(shù)ωi與函數(shù)值Gi的關(guān)系

（2）求M（x，y，z）=0的解，迭代流程為

初始點為G（x，y，z）=0的解（pxk，pyk，pzk），ω1，ω2，ω3取ω1，ω2，ω3經(jīng)過一次迭代得到M（pxk+1，pyk+1， pzk+1），若 滿 足且，（σ1、σ2為允許誤差），則點（pxk+1，pyk+1，pzk+1）為G（x，y，z）=0且M（x，y，z）=0的解，若不滿足，則判斷是否成立，若成立，按照式（14）繼續(xù)迭代，若不成立，按照表2變換ω1，ω2，ω3可以得到7個候選迭代點。

表2 迭代參數(shù)ωi與函數(shù)值Mi的關(guān)系

在迭代過程中，若迭代點 （pxn，pyn，pzn）滿足迭代終止，迭代點 （pxn，pyn， pzn）即為G（x，y，z）=0且M（x，y，z）=0的解，記此時的ω1，ω2，ω3為ω1j，ω2j，ω3j。

（3）求K（x，y，z）=0的解，迭代流程為

初始點為G（x，y，z）=0且M（x，y，z）=0的解（pxn，pyn，pzn），ω1，ω2，ω3取ω1j，ω2j，ω3j，經(jīng)過一次迭代得到K（pxn+1，pyn+1，pzn+1），若滿足σ2且，則迭代點 （pxn+1， pyn+1，pzn+1）即為非線性方程組的解，若不滿足，則判斷是否成立，若成立，則繼續(xù)向下迭代，若不成立，按照表3變換ω1，ω2，ω3可以得到七個候選迭代點。

表3 迭代參數(shù)ωi與函數(shù)值Ki的關(guān)系

2.3 Taylor法的優(yōu)越性比較

目前對于機器人運動學(xué)主要以廣義幾何法和方程組的數(shù)值解法為主。與廣義幾何法相、數(shù)值法相比較，該方法不需要考慮整個運動鏈，也不需要求解機器人的自然約束方程。由Taylor法的特性可知，得到的解必然滿足

且由于并聯(lián)機器人的特性可知，得到的解一定是唯一解。如果應(yīng)用廣義幾何法，在考慮整個運動鏈的基礎(chǔ)之上，列出機器人的自然約束方程，在求解過程中，需要求解一個只包含未知量t的8次多項式的方程［8］。由阿貝爾定理可知，超過5次以上的一元高次方程必須用數(shù)值方法進行求解，對初值的選擇，虛根重根和增根和遺根等都要進行分類討論，之后再一一處理，這無疑大大增加了求解的難度和復(fù)雜度。

3 并聯(lián)機器人運動學(xué)分析

3.1 并聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)特點

圖2是三軸并聯(lián)機器人的結(jié)構(gòu)簡圖，K-ABC為動平臺，3個球形副在同一平面上；O-GHI為固定平臺，3個轉(zhuǎn)動副（球形副）在同一平面上，且三角形ABC和GHI為正三角形，3條支鏈具有相同的結(jié)構(gòu)形式。假設(shè)動平臺的幾何中心為K點，其在o-xyz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（xk，yk，zk），動平臺的外接圓半徑為r，固定平臺的外接圓半徑為R。其中Lij、θij分別為第i支鏈上的第j桿的桿長和轉(zhuǎn)角。

圖2 三軸并聯(lián)機器人機構(gòu)圖

3.2 運動學(xué)正反解問題

并聯(lián)機器人運動學(xué)的正解問題，是已知各個驅(qū)動桿的轉(zhuǎn)動角求解運動平臺中心店的位姿，反解問題即是已知動平臺中心點在空間中的位姿求得各個驅(qū)動桿的轉(zhuǎn)動角的問題。設(shè)末端執(zhí)行器中心的坐標(biāo)為（xtcp，ytcp，ztcp），這樣可以獲得位置變換的坐標(biāo)公式：

因為并聯(lián)機器人的三條支鏈基本一致，所以在動平臺位姿一定的情況下分析第一支鏈便可得到其他各個支鏈的解，因此對第一支鏈矢量閉環(huán)有方程：

利用上述的算法求解，即可得到結(jié)果。

4 實驗數(shù)據(jù)及分析

實驗?zāi)康模鹤C明算法的正確性以及優(yōu)越性。

實驗方法：使用正解驗證和反解驗證的方法。正解驗證時輸入八個初始點的輸入角，得到位置正解、迭代次數(shù)以及相對誤差，反解驗證時根據(jù)正解時的八個位置反解出位置角度，兩者具有很好的一致性。

我們又根據(jù)式（14）并聯(lián)機器人反解模型驗證所求得的正解信息，其反解結(jié)果如表5所示，對比表4和表5的結(jié)果可以看出，反解得出的角度和輸入角度基本一致，驗證了正反解算法的正確性。

表4 軸并聯(lián)機器人位置正解仿真結(jié)果

表5 軸并聯(lián)機器人位置反解仿真結(jié)果

機器人運行如圖3所示。

圖3 運行中的機器人

實驗結(jié)果：多元Taylor法迭代次數(shù)少，精度高，無需進行復(fù)雜的多解取舍過程，顯示了極大的優(yōu)越性。

5 結(jié)束語

針對并聯(lián)機器人運動學(xué)正解封閉解問題，本文利用多元函數(shù)Taylor公式推導(dǎo)出了求解3軸并聯(lián)機器人運動學(xué)正解的taylor迭代方法，同時推導(dǎo)了三元非線性方程組Taylor迭代方法的具體步驟，該方法有效地解決了多解情況下得取舍問題與運動學(xué)正解封閉解問題，大大提高了系統(tǒng)的魯棒性，從實驗可以看出，經(jīng)過正反解驗證，該方法經(jīng)數(shù)次迭代后機器人位姿精度高，充分證明了該算法的正確性。

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The Rresearch of Parallel Robot Kinematics Based on Multiple Taylor Method

ZHANG Shao-fang，XU Xiao-zhao
（Department of Computer，Shijiazhuang Vocational Technical College of Posts&Telecommunications，Shijiazhuang 050021，China）

So far，the problem of Kinematics of the closed-form solution is still a technical problem，now the most popular method in reality is the use of numerical solution method and the generalized geometric equations method.However，the derivations of these methods are very complicated，and there isa problem of no unique solution in the process of solving equations.To avoid these problems，a triple nonlinear equation of parallel robot New ton iteration algorithm is deduced based on Taylor formula multivariate function，at the same time，Based on the mathematical principles，the anti-parallel robot solutions can be obtained.Taylor algorithm avoid multiple solutions trade-offs skillfully，get the solution that meet the exercise of continuity directly.As the rate of convergence，this algorithm is a very promising algorithm.

the nonlinear equation；new ton-iteration；the taylor formula；parallel robot；multiple functions

TH166；TG659

A

1001-2265（2015）06-0008-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.06.003

2014-08-19

河北省自然科學(xué)基金資助項目（E2013210115）

張少芳（1982—），男，河北寧晉人，石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，碩士，研究方向為網(wǎng)絡(luò)安全與管理等技術(shù)，（E-mail）zhangshaofang102@sina.com；通訊作者：徐曉昭（1978—），男，河北衡水人，石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，博士，研究方向為計算機應(yīng)用技術(shù)。