問(wèn)題探究需要怎樣的探究？

朱玉祥

最近給學(xué)生講題，講了一道探究類的題目.該題的結(jié)構(gòu)是：先問(wèn)題探究，給出兩個(gè)小問(wèn)題讓學(xué)生解決；然后題鋒一轉(zhuǎn)，就進(jìn)入問(wèn)題解決，給出一個(gè)真正需要解決的問(wèn)題.顯然，給出的問(wèn)題一定和前面的兩個(gè)小問(wèn)題相關(guān)，或是解決問(wèn)題的方法相關(guān)，或是從小問(wèn)題中獲得的結(jié)論相關(guān)，或是把前面小題的探究作為起點(diǎn)，遷移到新問(wèn)題中繼續(xù)探究.筆者常把此類題目比喻成撐竿跳高，前面小題是熱身，是辨向，是起步，是助跑，而真正要解決的問(wèn)題是放置在高處的橫竿，能不能躍過(guò)橫竿，先要看熱身、辨向、起步、助跑后一竿撐起的高度.高度有了，才有躍過(guò)橫竿的可能.所以，解決此類題，筆者告誡學(xué)生，一定要讓自己通過(guò)解決前面小題有一竿“撐”起來(lái)的感覺(jué)，然后抓住這個(gè)感覺(jué)向橫竿飛躍.當(dāng)然，此類題如果小題設(shè)置得過(guò)于特殊，要靠小題“撐”對(duì)方向，“撐”出高度，還是有難度的.

講這道題時(shí)，課堂上就出現(xiàn)“辨向”錯(cuò)誤，從小題的解決中，似乎得到了“經(jīng)驗(yàn)”，似乎“撐”起了高度，但“撐”錯(cuò)了方向，結(jié)果離“竿”遠(yuǎn)了，解決問(wèn)題也就出現(xiàn)了錯(cuò)誤.接著糾錯(cuò)，重新調(diào)整方向，再次“撐”起一竿，最終問(wèn)題得到解決.從出現(xiàn)錯(cuò)誤到糾正錯(cuò)誤的過(guò)程中，學(xué)生明白了一個(gè)道理：特殊問(wèn)題中獲得的經(jīng)驗(yàn)可能僅僅在特殊情況下有用，要向一般化遷移，要繼續(xù)作一般化的探究.也就是說(shuō)，不要被特殊化的結(jié)論所迷惑，必須要繼續(xù)探究問(wèn)題的本質(zhì).否則，題目中具有“引導(dǎo)性”的小問(wèn)題很可能把我們拖入問(wèn)題解決的“歧途”.下面就來(lái)說(shuō)說(shuō)這道題解題教學(xué)過(guò)程中的一些問(wèn)題與思考.

一、思維阻滯

（一）原題呈現(xiàn)

問(wèn)題探究 （1）請(qǐng)?jiān)趫D1①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；

（2）如圖1②，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D1②中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M），使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說(shuō)明理由.

問(wèn)題解決 （3）如圖1③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB + CD=BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn).如果AB=a，CD=b，且b>a，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

（二）嘗試解答

上課時(shí)，先把題目發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生嘗試解答.

學(xué)生看到題（1）和題（2）比較興奮，認(rèn)為太容易了，幾乎沒(méi)經(jīng)過(guò)思考，就開(kāi)始畫圖.有的學(xué)生一邊畫圖還一邊說(shuō)，這么容易做的題竟然放在壓軸題中，真不敢相信.

可以看到，學(xué)生都能在圖1①中畫出兩條互相垂直的直徑；在圖1②中，很多學(xué)生也知道先找正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，然后畫出直線OM，最后再過(guò)點(diǎn)O畫出與直線OM垂直的另一條直線.在題（1）與題（2）的解答中，學(xué)生并沒(méi)有遇到太大困難.

但進(jìn)入題（3），學(xué)生不說(shuō)話了，壓軸題對(duì)他們的挑戰(zhàn)開(kāi)始了.筆者巡視中看到，有學(xué)生過(guò)點(diǎn)P畫AD的垂線（見(jiàn)圖2），就問(wèn)：這條直線能平分四邊形ABCD的面積嗎？為什么這樣畫？學(xué)生搖搖頭，說(shuō)，可能不對(duì).但題（1）與題（2）不就是這樣分的嗎？顯然，學(xué)生一邊覺(jué)得自己畫的直線PQ可能不對(duì)，一邊又覺(jué)得從題（1）、題（2）的垂直分割“經(jīng)驗(yàn)”看好像又只能這么畫.問(wèn)題是，學(xué)生既不能說(shuō)明直線PQ可以把四邊形ABCD分割成面積相等的兩部分的理由，也不知道如何求出BQ的長(zhǎng)度.問(wèn)題解決的思維受阻.

（三）難點(diǎn)分析

問(wèn)題探究的兩個(gè)小題應(yīng)該是問(wèn)題解決的起點(diǎn).但兩個(gè)小題選取的圖形都非常特殊，一個(gè)是具有旋轉(zhuǎn)不變性的圓，一個(gè)是集平行四邊形、矩形與菱形的所有性質(zhì)于一身的正方形，把它們分割成面積相等的四部分，思考方法幾乎不用變化，都是經(jīng)過(guò)它們的對(duì)稱中心做互相垂直的直線.學(xué)生在畫圖的時(shí)候，甚至都沒(méi)有任何“探究”，只是基于“經(jīng)驗(yàn)”，就想得到，做得出.正是因?yàn)槠瘘c(diǎn)比較低，沒(méi)有經(jīng)歷必要的“探究”，解決題（3）就有困難.

解決題（3）的困難有三.一是由中心對(duì)稱圖形變成非中心對(duì)稱圖形，題（1）、題（2）的經(jīng)驗(yàn)難以遷移過(guò)來(lái)；二是從畫兩條直線把所給圖形分成面積相等的四部分，變成畫一些直線，把所給圖形分成面積相等的兩部分，不知道前后問(wèn)題有什么關(guān)聯(lián)；三是轉(zhuǎn)化的困難.學(xué)生很難想到把圖1③通過(guò)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化成中心對(duì)稱圖形，再借鑒題②的經(jīng)驗(yàn)去思考問(wèn)題的解決.

困難的關(guān)鍵，是學(xué)生對(duì)題（1）、題（2）探究不夠.沒(méi)能從特殊到一般深入地探究.所以，講題時(shí)，要考慮到以上難點(diǎn)，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)，給學(xué)生以引導(dǎo).

二、重回問(wèn)題探究

（一）小題之間的關(guān)聯(lián)

筆者告訴學(xué)生，當(dāng)問(wèn)題解決思維受阻的時(shí)候，不妨重回問(wèn)題探究，看探究的兩個(gè)問(wèn)題與要解決的題（3）有什么可以關(guān)聯(lián)的知識(shí)和方法.

探究題（1）、題（2）所給的兩個(gè)圖形都是中心對(duì)稱圖形，那么，題（3）所給的圖形是不是也能轉(zhuǎn)化成中心對(duì)稱圖形？研究圖1③，因?yàn)辄c(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，把四邊形ABCD繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)前后的圖就可以拼成一個(gè)中心對(duì)稱圖形，點(diǎn)P為對(duì)稱中心.

繼續(xù)探究.題（1）、題（2）用兩條直線把所給圖形的面積四等分（兩條直線都過(guò)圖形的對(duì)稱中心），如果沿著其中一條直線剪開(kāi)來(lái)，取其一半，題目就改變成用一條直線把一半圖形面積兩等分，這樣，題（1）、題（2）就和題（3）在要解決的問(wèn)題上比較接近了.

圖3是題（1）取其一半后的圖.對(duì)半圓，過(guò)AB的中點(diǎn)O用一條直線把它兩等分，只有唯一的方法，即作OC⊥AB.圖4是題（2）取其一半后的圖.過(guò)EF的中點(diǎn)O用一條直線把它兩等分，也只有唯一的方法，即作OG⊥EF.那么，題（3）會(huì)不會(huì)也有唯一的方法，會(huì)不會(huì)如圖2那樣作PQ⊥AD？endprint

（二）換一個(gè)角度考慮

題（1）探究的是圓，題（2）探究的是正方形，為什么這兩個(gè)圖形的兩條四等分線都要過(guò)它們的對(duì)稱中心，并且相互垂直呢？圓很好解釋，因?yàn)橹荒墚媰蓷l直線，所以必須過(guò)圓心；因?yàn)榉殖傻乃牟糠侄际巧刃?，所以扇形的弧長(zhǎng)必須相等，于是每一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)恰是圓周的.當(dāng)然，扇形的弧所對(duì)的圓心角就是90°，所以，兩條四等分直線相互垂直.也就是說(shuō)，過(guò)圓心的兩條直線四等分圓面，把圓周四等分是關(guān)鍵.

正方形呢？如圖5，要保證分割成的每一部分都是正方形ABCD面積的，那么，S四邊形EBGO=S△OBC，所以S△OEB=S△OGC，又因?yàn)檎叫蔚膶?duì)稱中心O到正方形的四邊距離相等，所以，EB=GC.事實(shí)上，過(guò)正方形對(duì)稱中心O畫兩條直線把正方形面積四等分，若與一組鄰邊AB，BC交于點(diǎn)E，G，那么只要EB=GC或AE=BG即可.此時(shí)對(duì)正方形而言，EF與MG也互相垂直.但垂直不是本質(zhì)，過(guò)正方形對(duì)稱中心的兩條直線把正方形的周長(zhǎng)分成四等分是關(guān)鍵.

（三）一般化探究

之所以說(shuō)“垂直”不是本質(zhì)，是因?yàn)檫^(guò)對(duì)稱中心的兩條互相垂直的直線并不一定能把該圖形的周長(zhǎng)四等分，也就未必總能把所給圖形四等分.不妨來(lái)看菱形.

如圖6，在菱形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O到菱形ABCD的四邊距離相等.過(guò)點(diǎn)O任作直線EF⊥HG，分別交AB，BC，CD，AD于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，H，顯然，要想S四邊形EBGO=S△OBC，必須S△OEB=S△OGC，所以必須BE=CG才行.可是，EF⊥HG并不能保證有BE=CG.所以，過(guò)對(duì)稱中心的兩條垂直的直線只能把圓和正方形的面積四等分（也能把偶數(shù)邊的正多邊形的面積四等分），不能把菱形的面積四等分.

通過(guò)上面的分析，可以得到較為一般化的結(jié)論：如果中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心到各邊（圓周可以看作圓的邊）距離相等，那么把該圖形面積四等分的兩條直線必須同時(shí)滿足：一要過(guò)該圖形的對(duì)稱中心，二要能四等分該圖形的周長(zhǎng).所以說(shuō)，過(guò)對(duì)稱中心的兩條直線能等分周長(zhǎng)才是四等分面積的本質(zhì).

（四）進(jìn)一步思考

如果中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心到各邊的距離不相等，那么面積四等分線如何分其周長(zhǎng)呢？以矩形為例.

如圖7，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點(diǎn)O為對(duì)稱中心，OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分別為M，N，過(guò)點(diǎn)O的直線EF，GH分別交AB，BC，CD，AD于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，H，那么，OM=b，ON=a.要想由直線EF，GH把矩形ABCD的面積四等分，那么必有S四邊形EBGO=S矩形ABCD.連接OB，設(shè)BE=x，BG=y，則有S△OEB+S△OBG=S矩形ABCD，即·x··b+·y·a=ab.所以，有bx+ay=ab.即直線EF，GH四等分矩形ABCD，必須滿足條件bx+ay=ab.當(dāng)a=b時(shí)，矩形ABCD即為正方形ABCD，此時(shí)x+y=a.

換一個(gè)角度.事實(shí)上，由于點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，要滿足S四邊形EBGO=S矩形ABCD，只要滿足S四邊形EBGO=S矩形MBNO即可，此時(shí)只要S△OME=S△ONG，所以有ME·b=NG·a，所以=，所以BE=x=a-ME，BG=y=b+NG，直線EF，GH才能四等分矩形ABCD.當(dāng)a=b時(shí)，矩形ABCD即為正方形ABCD，此時(shí)ME=NG，所以BE+BG=a.

可以看到，四等分線如何分矩形的周長(zhǎng)，應(yīng)與矩形的鄰邊比值相關(guān).即中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心若到各邊的距離不等，那么，四等分該圖面積的兩條直線分其周長(zhǎng)應(yīng)與對(duì)稱中心到各邊距離的比值相關(guān).

三、問(wèn)題解決

從“問(wèn)題探究”到“問(wèn)題解決”，不是說(shuō)只解決題（1）和題（2）的問(wèn)題就算“問(wèn)題探究”了，還需要根據(jù)“問(wèn)題解決”中的問(wèn)題需要，將“問(wèn)題探究”中的問(wèn)題繼續(xù)作一般化探究.比如解決了用兩條直線將圓和正方形的面積四等分后，還要繼續(xù)探索用兩條直線四等分菱形面積的條件，甚至探索兩條直線四等分矩形面積的條件，然后再進(jìn)入問(wèn)題解決.當(dāng)然，由于題（3）給的圖形1③是菱形的一半，那么由題（1）和題（2）作為引子，繼續(xù)對(duì)菱形進(jìn)行探究是必不可少的.

回到題（3）.因?yàn)锳B∥CD，AB + CD=BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，將四邊形ABCD繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得菱形C′BCB′（如圖8），所以存在直線AD和PQ將菱形C′BCB′的面積四等分，點(diǎn)Q在BC上，此時(shí)，CQ=AB=a，BQ=CD=b.由此可得，在BC上存在點(diǎn)Q，且當(dāng)BQ=b時(shí)，PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.

四、點(diǎn)滴教學(xué)感悟

（一）探究不能流于表面

問(wèn)題探究類的題目總是先給出一些小問(wèn)題（或特殊問(wèn)題）探究.這個(gè)時(shí)候，探究不能止于所給問(wèn)題，還需要看探究的問(wèn)題與要解決的問(wèn)題之間還有多大的間隔，有多少阻礙.探究需要縮小間隔，排除阻礙.比如，探究的問(wèn)題比較特殊，而要解決的問(wèn)題又趨于一般化，之間相隔著一般化的認(rèn)識(shí)與探究，就需要把探究的問(wèn)題延展引申，做一般化的研究，拉近與要解決的問(wèn)題之間的距離.

（二）探究的一般方法

探究類問(wèn)題解題的一般方法就是化歸思想方法.化歸就是轉(zhuǎn)化并歸結(jié).比如在經(jīng)歷過(guò)“問(wèn)題探究”環(huán)節(jié)后，積累了一定的問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)，獲得了問(wèn)題解決的一些方法，那么，對(duì)“問(wèn)題解決”中需要解決的問(wèn)題就可以向“問(wèn)題探究”中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化，或者歸結(jié)到“問(wèn)題探究”中的已經(jīng)解決的問(wèn)題類型中，用探究獲得的方法和經(jīng)驗(yàn)解決新問(wèn)題.

（三）關(guān)注探究的起點(diǎn)

問(wèn)題探究實(shí)際上是給問(wèn)題解決提供解題的起點(diǎn).在“問(wèn)題探究”環(huán)節(jié)要著重關(guān)注兩類起點(diǎn)，一是知識(shí)起點(diǎn)，一是方法起點(diǎn).本文中題（1）與題（2）就是提供了方法起點(diǎn)，通過(guò)探究，強(qiáng)化了問(wèn)題解決的方法.尤其是題（2），通過(guò)“說(shuō)明理由”，讓方法更加明晰，更加有方向.這是繼續(xù)探究必不可少的出發(fā)點(diǎn).“問(wèn)題探究”說(shuō)白了，就是要找到“問(wèn)題解決”所需要的“起點(diǎn)”.

（四）要“撐”起一定的高度

有了起點(diǎn)，就要讓自己上升到一定的高度.從“問(wèn)題探究”到“問(wèn)題解決”，往往變化比較大，“橫竿”設(shè)置得比較高，那么，能不能發(fā)現(xiàn)“變化”，能不能讓自己的思維“撐”到超越“橫竿”的高度，是影響問(wèn)題解決的一大因素.其實(shí)，無(wú)論怎樣變化，都會(huì)有“起點(diǎn)”的影子，“探究”中用到的方法或知識(shí)，都將會(huì)在問(wèn)題解決中發(fā)揮作用.所以，在探究類問(wèn)題的解題教學(xué)中，需要讓學(xué)生看到怎樣做才能被“撐”起高度，怎樣分析才能發(fā)現(xiàn)“變化”，從而掌握解決此類問(wèn)題的一般方法.endprint