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    再看6174

    2015-10-27 16:45:17彭文強(qiáng)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2015年5期
    關(guān)鍵詞:四位數(shù)求真黑洞

    引言:數(shù)學(xué)是科學(xué)與藝術(shù)的結(jié)合.科學(xué)求真,藝術(shù)求美,所以數(shù)學(xué)既求真又求美[1].張奠宙先生將數(shù)學(xué)美分為:對稱美、和諧美、簡潔美、奇異美等[2].在數(shù)字世界里,6147就盡現(xiàn)數(shù)字奇異美,奇異中蘊(yùn)含著奧妙與魅力,奇異中也隱藏著真理與規(guī)律.查閱文獻(xiàn),關(guān)于6174的文章不算少.大多數(shù)只是簡單介紹它的神奇之處,也有少量揭秘,即給出了數(shù)學(xué)證明的,包括用高等數(shù)學(xué)的變換觀點(diǎn)證明(如文[3])和計(jì)算機(jī)證明(如文[4]),但這些證明對于有好奇心的中學(xué)生來說,大多數(shù)情況下是理解不了的,自然也滿足不了他們的求知欲.那么,是否存在他們能夠明白的初等數(shù)學(xué)知識的證明呢?

    下面我們就來介紹6174的神奇之處,并逐步分析其中原因,即給出了一種初等得數(shù)學(xué)證明方法.

    黑洞原本指宇宙空間內(nèi)的一種密度非常大,體積非常小的天體,任何物質(zhì)到黑洞那里,即便是目前已知速度最快的光也會被吸進(jìn)去.在神秘的數(shù)字王國里,6174就是一個(gè)“數(shù)字黑洞”.數(shù)字黑洞,即滿足某種條件的所有數(shù),通過一種運(yùn)算,經(jīng)過一步或幾步運(yùn)算之后,結(jié)果會掉入一個(gè)“黑洞”,即循環(huán)出現(xiàn).我們來看6174神奇的地方.

    任取一個(gè)四位數(shù)(四個(gè)數(shù)字不全相同),按數(shù)字遞減順序排列構(gòu)成最大數(shù);再按數(shù)字遞增順序排列構(gòu)成最小數(shù),用最大數(shù)減去最小數(shù),所得差如不是6174,則按上述方法再作差,至多不過7步就都會得到6174,被稱為Kaprekar常數(shù).

    如取四位數(shù)6767,按以上方法作運(yùn)算如下:

    7766-6677=1089,

    9810-0189=9621,

    9621-1269=8352,

    8532-2358=6174,

    7641-1467=6174,

    ……

    對任意的一個(gè)四位數(shù)(四個(gè)數(shù)字不全相同),經(jīng)過作這種運(yùn)算,在7步之內(nèi),都會得到6174,這就是6174神奇之處,也是數(shù)學(xué)奇異美的魅力所在.

    這到底是為什么呢?數(shù)學(xué)求真,不僅要知其然,還要知其所以然.下面我們就來探索一下:

    四位數(shù)共9999-999=9000個(gè),其中除去四個(gè)數(shù)字全相同的,余下9000-9=8991個(gè)數(shù)字不全相同.設(shè)M是一個(gè)四個(gè)數(shù)字不全相同四位數(shù),把M的數(shù)字按遞減的次序排列得到的數(shù)記作M大;把M中的數(shù)字按遞增次序排列得到的數(shù)記作M小,作第一次運(yùn)算后得到的數(shù)為M1,作第二次運(yùn)算后得到的數(shù)為M2

    設(shè)四位數(shù)M是由數(shù)字a、b、c、d構(gòu)成,不妨設(shè)a≥b≥c≥d(等號不同時(shí)成立),則

    M大=1000a+100b+10c+d,

    M小=1000d+100c+10b+a,

    M1=M大-M小=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a=999(a-d)+90(b-c).

    所以,M1只依賴于(a-d)與(b-c),又由a≥b≥c≥d且等號不同時(shí)成立,可知:a-d≥b-c,b-c≥0,a-d>0,這就意味著a-d可以取1,2,…,9九個(gè)值,b-c只能取不大于a-d的值.

    若a-d=1,則b-c只能取0,1,此時(shí),M1只能取值:

    999×(1)+90×(0)=0999,

    999×(1)+90×(1)=1089,

    若a-d=2,則b-c只能取0,1,2,此時(shí)M1只能取1998,2088,2178.

    a-d=1,2,…,9的情況下,b-c所可能取值的個(gè)數(shù)加起來:2+3+4+…+10=54.

    所以M1只可能取54個(gè)值,又有一部分是數(shù)碼相同僅僅是數(shù)位不同的值,這些數(shù)值在作下一次運(yùn)算時(shí)得到M2是一樣的,我們把它看作是等價(jià)的,剔除這些因數(shù),在M1的54個(gè)可能值中,只有30個(gè)是不等價(jià)的,它們是:

    9990,9981,9972,9963,9954,9810,9711,9621,9531,9441,8820,8730,8721,8640,8622,8550,8532,8442,7731,7641,7632,7551,7533,7443,6642,6552,6543,6444,5553,5544.

    對于這30個(gè)數(shù)逐個(gè)地用上述法則把它換成最大與最小數(shù)的差,至多6步就出現(xiàn)6174這個(gè)數(shù).至此,神奇的四位數(shù)6174就被破解了!

    參考文獻(xiàn)

    [1] 文衛(wèi)星.引導(dǎo)學(xué)生欣賞與發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美—以極限教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2012(21):56-60.

    [2] 張奠宙.數(shù)學(xué)美與課堂教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2001(11):1-3.

    [3] 孫慶虎.奇怪?jǐn)?shù)6174與循環(huán)鏈[J].安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1996(1):21-23.

    [4] 郭繼展.計(jì)算機(jī)證明:數(shù)字黑洞6174[J].電腦,1997,6(15):66.

    作者簡介 彭文強(qiáng),男,1992年生,四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育方向碩士研究生.

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