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    四狼大圍捕兔子巧脫險(xiǎn)

    2015-10-27 16:47蔡歷亮
    關(guān)鍵詞:競(jìng)賽題正方形兔子

    在正方形的中心坐著一只兔子,在四個(gè)頂點(diǎn)上各有一只狼.如果狼只能沿著正方形的邊跑,且狼的最大速度是兔子最大速度的1.4倍.試問兔子能否從正方形中逃出?(1985年莫斯科數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)

    分析 設(shè)正方形ABCD的中心為O點(diǎn),兔子在O點(diǎn).設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)上各有一只狼,分別稱為狼A、狼B、狼C、狼D.不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,兔子速度為1,狼的速度為1.4.

    (4)四只狼改為三只狼,設(shè)狼在B、C、D兩點(diǎn).

    解法1 如圖4,兔子沿OA走,t(兔子由O到A)=2÷1=2,t(狼B到A)=2÷1.4>2÷2=2,即t(狼B到A)>2,狼B抓不住兔子.又因?yàn)閠(狼D到A)=t(狼由B到A),t(狼C到A)>t(狼D到A),所以狼D、狼C也抓不住兔子.

    解法2 如圖5,在CD上取一點(diǎn)E,使DE=0.01.過E作EM∥AD交OD于M,過M作MF∥CD交AD于F,連接EF交OD于N,兔子視情況沿ONE或沿ONF走.

    t(兔子沿ONE走)=t(兔子沿ONF走)=t(兔子沿OD走)=2÷1=2,t(狼C到F)>t(狼C到E)=1.99÷1.4>1.981÷1.4=1.415>2,狼C抓不住兔子.t(狼B到F)=t(狼B到E)>t(狼C到E),狼B更抓不住兔子.兔子現(xiàn)在可以不考慮狼B和狼C了,只要對(duì)付好狼D就行了.兔子先由O走到N點(diǎn),觀察一下狼D的位置(記狼D此時(shí)位置為P).若P在DC上(不包括D),兔子沿NF走.t(兔子由N到F)=時(shí)間(兔子由D到F)÷2<時(shí)間(兔子由D到F)÷1.4=時(shí)間(狼D由D到F)

    (5)當(dāng)四只狼堅(jiān)持崗位.

    如圖6(圖中,E、M、F、N位置同圖5),兔子沿ON走,走到N點(diǎn)時(shí),觀察狼D該時(shí)刻的位置P,若P在DC上(不包括D),兔子沿NF走,若P在AD上(不包括D),兔子可沿NE走,若P剛好就在D點(diǎn)上,兔子沿NE或沿NF走均可,但無論走那條路線,兔子所花t均為2.由(4)的解法2知兔子能逃脫狼B、狼C、狼D的追捕,而t(狼A到E)>t(狼A到F)=t(狼C到E)=1.99÷1.4>1.981÷1.4=1.415>2,狼A同樣也抓不住兔子.因此兔子完全可以逃脫“四狼大圍捕”!

    反思 本題是一道較復(fù)雜和困難的競(jìng)賽題,題中兔子所走路徑、四只狼所走路徑看似都可以千變?nèi)f化、你變我也變,呈現(xiàn)出一派紛繁復(fù)雜的圖象,令人難以梳理,但其結(jié)果卻是出人意料的簡(jiǎn)單.這里我們采用的解題策略是:先把問題退到一個(gè)最簡(jiǎn)單地方,著手解決這個(gè)最簡(jiǎn)單的問題,再逐步加深問題,而對(duì)每一步所加深的問題,都想全想透,讓每一步啟發(fā)著下一步,這樣,一步一步進(jìn)而解決原先較難的問題.事實(shí)上,這種“退”的方法,在當(dāng)代數(shù)學(xué)的研究中應(yīng)用非常廣泛,同時(shí)這種方法也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、思考數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的好方法.

    作者簡(jiǎn)介 蔡歷亮,男,中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員,發(fā)表文章50余篇.

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