從一題多解談發(fā)散思維

王莉

摘 要：以一個很經典的例題作引子，以一題多解的形式，試圖探索解題中發(fā)散思維的應用，期待能拋磚引玉。

關鍵詞：數(shù)學;發(fā)散思維;一題多解

現(xiàn)代教育，以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力為首要目標，而測定創(chuàng)造力的主要標志之一便是發(fā)散性思維，因此，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，是一個很重要的課題。而一題多解，無疑可以鍛煉發(fā)散思維，培養(yǎng)創(chuàng)造性。本文力圖從一題多解出發(fā)，探索發(fā)散思維的培養(yǎng)。

我們先來看一道極為經典的例題的多種解法。

例題：已知：如圖1所示，ABCD為長方形，短邊與長邊之比為1∶3;兩條長邊分別被分成三等份，各等分點聯(lián)結如圖。

求證：∠EDG+∠FDH+∠BDC=。

[A][B][C][D][E][F][G][H]

圖1

證法一：

如圖2所示，將長方形格子補成4×3的大格子。

很顯然，△BDC≌△B′D′C′，因此不難得出B′D′⊥BD。

設B′D′與C′F的交點為M，顯然，MB′=;因此，△MDB≈△FDH。

所以，∠BDC+∠FDH=∠BDC+MDB=∠MDC=∠EDC=。

故∠EDG+∠FDH+∠BDC=∠EDG+∠EDG=+=。

得證。

[A][C][D][E][F][G][H][B（D′）][M][B′][C′]

圖2

證法二：

由題設，不難得知：

tan（∠BDC）=;tan（∠FDH）=;tan（∠EDG）=1;由和角

公式：

tan（∠BDC+∠FDH）==

=1;

由題圖得知：0<∠BDC<∠FDH<∠EDG=，從而

0<∠BDC+∠FDH<;故

∠BDC+∠FDH=∠EDG=;從而

∠BDC+∠FDH+∠EDG=+=。

得證。

證法三：

由復數(shù)的乘法公式，復數(shù)的乘積的輻角，等于復數(shù)的輻角的和。聯(lián)想到題中所要證明的正是三個角度的和，因此，證法三油然而生。

由（3+i）（2+i）（1+i）=（5+5i）（1+i）=5（1+i）2=10i

由題圖得知：0<∠BDC<∠FDH<∠EDG=;

所以，0<∠BDC+∠FDH+∠EDG<;

因此∠BDC+∠FDH+∠EDG=。

得證。

至此，證法一運用三角形相似及全等、證法二運用三角函數(shù)、證法三運用復數(shù)運算，分別從不同的角度出發(fā)，運用不同的知識，殊途同歸，完美地解決了問題，這正是發(fā)散思維的魅力之所在。

參考文獻：

[1]謝恩澤，趙樹智.數(shù)學思想方法縱橫論[M].北京：科學出版社，1987.

[2]黃興贊，淺談數(shù)學創(chuàng)造發(fā)散思維能力的培養(yǎng)[J].科學時代，2014（07）.

·編輯 王團蘭