探索和思考二次根式性質(zhì)的歸納及運(yùn)用

應(yīng)紅星

二次根式在我國(guó)初中數(shù)學(xué)科目中是一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，充分了解二次根式的性質(zhì)對(duì)于學(xué)習(xí)二次根式的知識(shí)有很大的意義。特別是在初中數(shù)學(xué)科目中，還需要有效地根據(jù)二次根式的一些性質(zhì)對(duì)其他題目進(jìn)行解答。下面根據(jù)以下這些題目對(duì)二次根式的性質(zhì)以及運(yùn)用方法進(jìn)行總結(jié)。

我們先對(duì)二次根式的概念進(jìn)行回顧。在教材上對(duì)二次根式是這樣進(jìn)行定義的：（a≥0）這樣的式子被稱作二次根式。二次根式具有以下幾種性質(zhì)：乘除、開(kāi)方以及平方的計(jì)算。開(kāi)方用公式表現(xiàn)為：=a=a（a≥0）

-a（a<0）、平方的表現(xiàn)公式為：（）2=a（a≥0）乘法的表現(xiàn)公式為：=·（a≥0，b≥0）、除法的表現(xiàn)公式為：=（a≥0，b≥0）。這四種公式看起來(lái)十分的簡(jiǎn)單與平常，但是如果將其進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)換就可以從不同的角度去考查學(xué)生對(duì)他們的掌握能力。

一、舉例，這是經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)：（a≥0）中a的范圍

這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在二次根式當(dāng)中屬于比較基礎(chǔ)的一種概念，但是卻又十分的重要。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)無(wú)論是在平常的測(cè)驗(yàn)還是期中期末的考試中都會(huì)很容易出現(xiàn)，這就意味著其包含的范圍十分的廣泛。在對(duì)二次根式進(jìn)行解答的時(shí)候只要中間被開(kāi)方的數(shù)不是一個(gè)具體的數(shù)字，我們都需要對(duì)其范圍進(jìn)行考慮，并且要牢牢記住中間被開(kāi)方數(shù)a是一個(gè)非負(fù)數(shù)。

例題1.已知（a+1）2與2a+b-5互為相反數(shù)，求a2+b2的值。

這道題我們進(jìn)行分析，這種題目是一種非常經(jīng)典的題目，我們對(duì)題目中所包含的兩個(gè)公式進(jìn)行觀察就可以發(fā)現(xiàn)，（a+1）2的值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，同樣也是一個(gè)非負(fù)數(shù)，也就是說(shuō)這兩個(gè)公式相加起來(lái)的總和也是0。當(dāng)兩個(gè)非負(fù)數(shù)是相反數(shù)并且相加起來(lái)的總和也是0的情況下只有一個(gè)結(jié)果可以解釋，就是說(shuō)這兩個(gè)式子的值也都是分別為0。將這道題解釋到這個(gè)步驟，結(jié)果已經(jīng)顯而易見(jiàn)了。

解：由題可知，（a+1）2+=0

因?yàn)椋╝+1）2≥0，≥0

所以就得出a+1=0

2a+b-5=0，

從而得到a=-1

b=7，

把得出的這個(gè)結(jié)果帶入到最后的式子中去就得出，a2+b2=（-1）2+72=50

二、當(dāng)這種情況出現(xiàn)后，就需要牢牢記住a≥0

當(dāng)出現(xiàn)在題目中的時(shí)候，就預(yù)示著是有存在的意義和價(jià)值的。我們就可以根據(jù)這一點(diǎn)得出a≥0，并且我們還可以根據(jù)這一個(gè)隱含的條件來(lái)對(duì)題目進(jìn)行有效的解析。

例題2.對(duì)+（）2進(jìn)行分析。

對(duì)其進(jìn)行分析：這種類型的題目就是對(duì)二次根式中（a≥0）性質(zhì)的掌握，其中特別是對(duì)=a=a（a≥0）

-a（a<0）的運(yùn)用進(jìn)行考查。這個(gè)性質(zhì)與去絕對(duì)值都是一樣的原理。在對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)的時(shí)候特別要注意化簡(jiǎn)后的值為非負(fù)數(shù)，并且如果a是兩個(gè)數(shù)字的差的話，就一定要對(duì)兩個(gè)數(shù)字的大小關(guān)系進(jìn)行考慮。

解：對(duì)原來(lái)的式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，原式=3a-1+（1-4a），因?yàn)轭}目中存在著，就得出一個(gè)隱形的條件1-4a≥0，也就是說(shuō)a≤，3a≤<1，這樣就得出一個(gè)結(jié)論，在去掉絕對(duì)值之后，3a-1+（1-4a）=1-3a+1-4a=-7a+2。

三、要對(duì)-a進(jìn)行正確的理解，對(duì)進(jìn)行牢固的掌握，并且a≤0

但是大部分的學(xué)生因?yàn)槭艿搅藗鹘y(tǒng)的影響，很容易認(rèn)為把帶有“-”的數(shù)字當(dāng)做為負(fù)數(shù)來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，就比如說(shuō)單看這是一個(gè)錯(cuò)誤的式子，但是我們可以給它加上一個(gè)條件就是a≤0，當(dāng)這個(gè)條件出現(xiàn)后，這就會(huì)變成一個(gè)正確的式子，也就是說(shuō)它是存在的。

例題3.將式子（a-b）中的根號(hào)外的因式轉(zhuǎn)移到根號(hào)之內(nèi)，并對(duì)其式子進(jìn)行簡(jiǎn)化。

分析：像對(duì)于這種因式的轉(zhuǎn)移（從根號(hào)外轉(zhuǎn)移到根號(hào)內(nèi)）最主要的就是注意其式子要保證大小不變，特別是式子中的符號(hào)不變，在對(duì)因式進(jìn)行轉(zhuǎn)移的時(shí)候要先對(duì)式子的符號(hào)進(jìn)行深度的分析，就比如說(shuō)是上述的題目，我們就可以先從式子中a與b的大小以及a-b的符號(hào)這兩方面進(jìn)行入手。

解：因?yàn)樵陬}目中-在根號(hào)當(dāng)中，我們就可以判斷到

->0，也就是說(shuō)a-b<0，b>a。

將其帶入原式當(dāng)中，也就是原式=-（b-a）=

-=-。

四、當(dāng)這種情況出現(xiàn)的時(shí)候，那么就意味著a=0

在對(duì)二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行熟悉與掌握后就會(huì)發(fā)現(xiàn)二次根式的性質(zhì)運(yùn)用是十分靈活的，就比如說(shuō)是這樣的式子存在時(shí)，a=0，這個(gè)結(jié)論就是通過(guò)（a≥0）這個(gè)式子引導(dǎo)出來(lái)的。學(xué)生在對(duì)二次根式進(jìn)行平常的學(xué)習(xí)的時(shí)候根本不需要進(jìn)行死記硬背，只需要將二次根式中最基本的公式性質(zhì)記下來(lái)就可以了，最為重要的就是要根據(jù)這些基本的公式性質(zhì)來(lái)進(jìn)行正確的推到與分析，做到舉一反三，靈活運(yùn)用。

綜上所述，對(duì)于二次根式的運(yùn)用是十分靈活的。老師在對(duì)二次根式的用法進(jìn)行教授的時(shí)候，千萬(wàn)不要讓學(xué)生死記硬背，這樣在很大的程度上會(huì)造成學(xué)生的混亂。要讓學(xué)生活學(xué)活用，并且熟練地對(duì)每一個(gè)性質(zhì)進(jìn)行掌握，做到舉一反三。

參考文獻(xiàn)：

張繼海.注意二次根式的合理化運(yùn)算[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1992（04）：9-10.

·編輯 王團(tuán)蘭