具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問(wèn)題的Green函數(shù)

牡 丹

（湖北民族學(xué)院理學(xué)院，湖北　恩施　445000）

具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問(wèn)題的Green函數(shù)

牡 丹

（湖北民族學(xué)院理學(xué)院，湖北恩施445000）

考慮了具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問(wèn)題，即在有限區(qū)間上具有轉(zhuǎn)移條件的問(wèn)題，并給出了具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問(wèn)題的Green函數(shù).

Sturm-Liouville問(wèn)題；轉(zhuǎn)移條件；Green函數(shù)

Sturm-Liouville（S-L）算子是常微分算子理論中一類十分重要的微分算子.S-L問(wèn)題起源于固體熱傳導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型的描述，自問(wèn)世以來(lái)，S-L問(wèn)題在各種理論科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域里有著廣泛的應(yīng)用［1-3］.近些年，算子域中的函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)具有不連續(xù)性的問(wèn)題引起了廣泛的關(guān)注［4-8］.

在文獻(xiàn)［9-10］中，作者考慮了具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子，并證明了自共軛性.本文中我們研究在相鄰兩個(gè)區(qū)間［-1，0）和（0，1］上具有分離型邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題，給出具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題的Green函數(shù)按特征函數(shù)的展開式.

在經(jīng)典的S-L算子問(wèn)題中，可以利用S-L算子的Green函數(shù)，把微分算子問(wèn)題轉(zhuǎn)化成積分算子問(wèn)題來(lái)進(jìn)行研究.因此微分算子的Green函數(shù)是研究算子問(wèn)題的主要工具之一.與經(jīng)典的S-L算子類似，可以構(gòu)造具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子的Green函數(shù)，可以把具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的積分算子問(wèn)題.

在Naimark的著作［11］中作者討論了經(jīng)典的S-L算子以及其Green函數(shù)G（x，ξ，λ），并給出Green函數(shù)按特征函數(shù)的展開.本文中，考慮具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子，并給出具有轉(zhuǎn)移條件問(wèn)題的Green函數(shù)按特征函數(shù)的展開.

考慮如下Sturm-Liouville方程：

本文的結(jié)構(gòu)為：首先給出所考慮的Sturm-Liouville方程以及相應(yīng)的邊界條件和轉(zhuǎn)移條件.其次定義與轉(zhuǎn)移條件相關(guān)聯(lián)的內(nèi)積，得到一個(gè)新的Hilbert空間，在這一空間中研究具有分離型邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的SL問(wèn)題；并構(gòu)造了S-L方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解.最后一節(jié)給出具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題的Green函數(shù)，并利用具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)對(duì)Green函數(shù)進(jìn)行展開.

1　Sturm-Liouville方程的解

在這一節(jié)首先定義與轉(zhuǎn)移條件（4）～（5）相關(guān)聯(lián)的內(nèi)積，得到一個(gè)新的Hilbert空間，在這一新空間中研究具有分離型邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題（1）～（6），再構(gòu)造S-L方程（1）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解.

在L2（I）中定義一種依賴于轉(zhuǎn)移條件的新內(nèi)積：

定理1 具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題（1）～（6）是自共軛的，且具有可數(shù)多個(gè)特征值；在相應(yīng)的Hilbert空間H上，S-L問(wèn)題的特征函數(shù)系是完備的.

證明 見文獻(xiàn)［9-10］.

下面構(gòu)造S-L方程（1）的滿足轉(zhuǎn)移條件的兩個(gè)解.由文獻(xiàn)［10］中的定理1.5知：對(duì)于每個(gè)λ∈ CC，初值問(wèn)題：

有唯一解φ1（x，λ），且對(duì)于每個(gè)固定的x∈［-1，0），φ1（x，λ）是關(guān)于λ的整函數(shù).設(shè)φ2（x，λ）為如下初值問(wèn)題：

的解，則對(duì)于每個(gè)固定的x∈（0，1］，φ2（x，λ）是關(guān)于λ的整函數(shù).令φ（x，λ）為：

則φ（x，λ）是S-L方程（1）滿足邊界條件（2）和和轉(zhuǎn)移條件（4）～（5）的解.

用類似的方法定義S-L方程（1）的另一解χ（x，λ）.設(shè)χ2（x，λ）為初值問(wèn)題：

的解，則對(duì)于每個(gè)固定的x∈（0，1］，χ2（x，λ）是關(guān)于λ的整函數(shù).又設(shè)χ1（x，λ）為如下初值問(wèn)題：

的解，則對(duì)于每個(gè)固定的x∈［-1，0），χ1（x，λ）是關(guān)于λ的整函數(shù).令：

由式（9）～（10）知：χ（x，λ）是S-L方程（1）滿足邊界條件（3）和轉(zhuǎn)移條件（4）～（5）的解.

2　Sturm-Liouville問(wèn)題的Green函數(shù)

這一節(jié)我們構(gòu)造具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題（1）～（6）的Green函數(shù)，并給出Green函數(shù)按特征函數(shù)的展開.

考慮如下的非齊次的微分方程：

賦予邊界條件和轉(zhuǎn)移條件（2）～（5），其中f∈H，非齊次的微分方程（11）的通解可以表示成：

定理2 設(shè)f∈H，并設(shè)λ不是S-L問(wèn)題（1）-（6）的特征值，則S-L問(wèn)題（1）～（6）的Green函數(shù)為如下：

滿足方程（11）及邊界和轉(zhuǎn)移條件（2）～（5），其中G（x，ξ，λ）是S-L問(wèn)題（1）～（6）的Green函數(shù).

證明 見文獻(xiàn)［13-14］.

在本文中，假設(shè)λ=0不是S-L問(wèn)題（1）～（6）的特征值，那么：G（x，ξ）=G（x，ξ，0）.

引理2 具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題（1）～（6）等價(jià)于：

證明 見文獻(xiàn)［14］.

在文獻(xiàn)［14］中，對(duì)具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題的Green函數(shù)按特征函數(shù)進(jìn)行展開，得到：其中λn是具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題（1）～（6）的特征值，φn（x）為相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)特征函數(shù).

下面討論具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題（1）～（6）的Green函數(shù)的另一種展開形式.

定理3 設(shè)λ不是具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題（1）～（6）的特征值，則：

其中：λn是S-L問(wèn)題（1）～（6）的特征值，φn（x）為相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)特征函數(shù).

在給出定理3的證明之前，先考慮下面的引理.

引理3 設(shè)y，f∈H且滿足非齊次方程（11）.設(shè)λ不是具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題（1）～（6）的特征值，又設(shè)λn為S-L問(wèn)題（1）～（6）的特征值，則：

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責(zé)任編輯：時(shí) 凌

Green′s Function of Sturm-Liouville Problem with Transmission Conditions

MU Dan
（School of Science，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000，China）

We consider the Sturm-Liouville problems with a very general transmission condition on a finite interval and give the eigenfunction expansion of Green′s function of the Sturm-Liouville problems with transmission conditions.

Sturm-Liouville problems；transmission conditions；Green′s function

0177.1；0175.3

A

1008-8423（2015）04-0379-05DOI：10.13501/j.cnki.42-1569/n.2015.12.006

2015-10-13.

湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（B2015099）；湖北民族學(xué)院博士啟動(dòng)基金項(xiàng)目（4148009）.

牡丹（1980-），女（蒙古族），博士，講師，主要從事常微分算子譜理論的研究.