從“問題原型”變下去

李善國

一、理論研究

認(rèn)知心理學(xué)研究告訴我們，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程實(shí)際上是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程，在這個(gè)過程中學(xué)生在教師的指導(dǎo)下把教材知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求：教師要積極利用各種教學(xué)資源，創(chuàng)造性地使用教材，設(shè)計(jì)適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)過程。因此，教學(xué)過程中，教師必須聯(lián)系實(shí)際提高處理教材的能力，用自己的慧眼去發(fā)現(xiàn)教材中的生成點(diǎn)，變教教材為用教材。在數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生積極主動(dòng)發(fā)展的有效途徑就是讓學(xué)生積極參與到數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)探究過程中來，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成、法則的概括、公式的推導(dǎo)、規(guī)律的揭示過程。這一過程應(yīng)是在教師的精心設(shè)計(jì)下，學(xué)生運(yùn)用已有的知識、經(jīng)驗(yàn)積極探索未知的數(shù)學(xué)知識的過程，是學(xué)生數(shù)學(xué)知識的“發(fā)現(xiàn)”和數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造”的過程。

原型啟發(fā)是指從事物的相似或類比中看到或發(fā)現(xiàn)問題解決的途徑。其中具有啟發(fā)作用的事物或現(xiàn)象叫做原型。利用原型啟發(fā)，可以發(fā)展類比推理，有助于培養(yǎng)創(chuàng)造力。原型啟發(fā)在創(chuàng)造性地解決問題中起著很大的作用。原型之所以具有啟發(fā)作用，主要因?yàn)樵团c所要解決的問題有某些共同點(diǎn)或相似點(diǎn)，所以可以使人通過聯(lián)想把問題轉(zhuǎn)化，找到解決問題的方法。數(shù)學(xué)知識充滿著原型，它是對學(xué)生創(chuàng)新意識培養(yǎng)的良好載體，利用原型進(jìn)行啟發(fā)訓(xùn)練，不僅有利于問題的解決，而且能點(diǎn)燃學(xué)生創(chuàng)造性思維的火花。

二、實(shí)踐案例

在學(xué)習(xí)人教版數(shù)學(xué)八年級上冊“角的平分線的性質(zhì)”時(shí)，為了讓學(xué)生更好地掌握和理解本節(jié)知識，我把本節(jié)內(nèi)容安排成了2課時(shí)，第1課時(shí)主要讓學(xué)生動(dòng)手學(xué)會(huì)怎樣作一個(gè)角的平分線（尺規(guī)作圖），并通過證明明白其原理，在此基礎(chǔ)上猜想、探索角平分線的性質(zhì)并加以證明，得出定理。第2課時(shí)我先讓學(xué)生回憶并復(fù)述了角的平分線的性質(zhì)，再讓學(xué)生將定理的條件與結(jié)論“換位”得到一個(gè)新命題，說出這個(gè)新命題的內(nèi)容，并判斷命題是真命題還是假命題？學(xué)生分析、討論，用文字?jǐn)⑹鰞?nèi)容并加以證明。這兩課時(shí)中命題的證明都是應(yīng)用了三角形的全等進(jìn)行證明，學(xué)生能自主解決。我對本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行了簡單的小結(jié)：本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是角平分線的性質(zhì)定理，逆定理及它們的應(yīng)用。性質(zhì)定理和它的逆定理為我們證明線段相等（利用角平分線的性質(zhì)定理）、角相等（利用角平分線的性質(zhì)定理的逆定理）提供了新的方法。為了讓學(xué)生理解和應(yīng)用所學(xué)的定理，在頭腦中構(gòu)建起問題原型，以便在以后解決類似問題時(shí)能更快的識別和聯(lián)想，我利用教材中的例題作為問題原型對問題進(jìn)行了幾種變式。

例1： 如圖1，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等。

這是教材的例題，學(xué)生通過預(yù)習(xí)交流，已順利解決。我投放了問題2。

[圖1] [A][B][C][N][M][P][圖2][Q] [A][B][C][N][M][P]

問題2：如圖2，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。

求證：AP平分∠BAC。

學(xué)生獨(dú)立思考幾分鐘后，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)找到了證明的思路。

生1：要證明AP平分∠BAC，只要證明點(diǎn)P到∠BAC的兩邊AB、AC距離相等，而從例1中我們已經(jīng)得出了結(jié)論點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離都相等，所以……

生2：問題2實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為例1。

為了把問題更進(jìn)一步，我又投放了問題3。

問題3：求證：三角形的內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。

學(xué)生馬上畫出圖形，獨(dú)立思考后展開交流。

生3：通過圖形我們可以看，很顯然三角形的內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。

師：大家知道一個(gè)數(shù)學(xué)問題的結(jié)論要通過嚴(yán)格的證明和推理來獲得的，不能用顯然……那么應(yīng)該怎么證明呢？

學(xué)生展開熱烈的討論，我巡視時(shí)詢問后發(fā)現(xiàn)學(xué)生還是不知道如何表達(dá)解題過程。

生4：這道題的圖形和問題2是一樣的，但我還是不知道怎么說明三條線交于一點(diǎn)……

師：我們已經(jīng)學(xué)過，兩條直線相交……

生集體：只有一個(gè)交點(diǎn)。

師：如果第三條直線再……

生5：再和他們相交（生6插：應(yīng)該說再經(jīng)過這個(gè)交點(diǎn)），那么這三條線就交于一點(diǎn)。

生7：我知道了，應(yīng)該先把P點(diǎn)確定為∠ABC和∠ACB的交點(diǎn)，然后再證明點(diǎn)P在∠BAC的平分線上，這樣的話實(shí)際上就是問題2了。

師：說的很準(zhǔn)確，這也為我們提供了證明“三線共點(diǎn)”的一種常用方法：先確定兩條直線交于某一點(diǎn)，再證明這點(diǎn)在第三條直線上。

我繼續(xù)投放問題4和問題5。

問題4：如圖3，在三條兩兩相交的公路之間要建一座加油站，要使加油站到三條公路的距離相等，請你確定加油站的位置。

[圖3][圖4] [A][B][C][P]

問題5：如圖4，將例1中的內(nèi)角平分線改成外角平分線，請你說出會(huì)有哪些正確的結(jié)論？

問題4和問題5還是問題原型例1的變式，解題方法學(xué)生已掌握，學(xué)生都順利完成，積極回答，效果很好。為了加深學(xué)生對這道問題原型的了解，我還留了2道課外作業(yè)，讓學(xué)生繼續(xù)交流探索。

問題6：在△ABC所在的平面上，一共能找出幾個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到△ABC各邊的距離相等？

問題7：等腰三角形ABC中，腰AB=AC=5，BC=6，在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且P到△ABC各邊的距離都相等，求出這個(gè)距離？（提示：利用三角形的面積求）

三、教后反思

本節(jié)課的大部分時(shí)間都用在了都對問題原型的各種變式的探索研究上，但我相信通過這節(jié)課，學(xué)生能夠?qū)@道問題原型有著清晰的認(rèn)識和深刻的記憶，以后在解決此類問題是能夠真正做到舉一反三，而且通過這節(jié)課，學(xué)生對數(shù)學(xué)解題的思想——轉(zhuǎn)化思想會(huì)有更深的理解。

在教學(xué)時(shí)，教師要以問題原型為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生由眼前的知識聯(lián)想到相關(guān)的知識和經(jīng)驗(yàn)，從而探索出新的思路，以解決問題。為此，教師在教學(xué)時(shí)，一方面要注意組織啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，讓學(xué)生從“原型”中通過聯(lián)想，發(fā)展創(chuàng)造性思維，。另一方面應(yīng)幫助學(xué)生積聚“原型”，使學(xué)生在潛移默化中學(xué)到有關(guān)聯(lián)想以及轉(zhuǎn)化的思想和方法，學(xué)會(huì)把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化分解為簡單的問題原型，從而使學(xué)生在遇到困難時(shí)，能自覺地利用問題原型作為橋梁，準(zhǔn)確地找到問題的答案。

（責(zé)編 趙建榮）