2015年江蘇高考應(yīng)用題錯(cuò)解分析及閱卷啟示

魏良亞+韋莉

筆者有幸參加了2015年江蘇省高考數(shù)學(xué)閱卷工作，評(píng)改第l7題應(yīng)用題，從閱卷點(diǎn)來(lái)看該題全省平均分約為75分，問題難度不是很大，但得分率不高.一線教師都清楚大部分學(xué)生不喜歡應(yīng)用題，難一些的應(yīng)用題考試時(shí)學(xué)生甚至放棄不做.究其原因，主要是因?yàn)閷W(xué)生經(jīng)常遇到較難的應(yīng)用題，讀不懂、做不出，久了自然就產(chǎn)生了畏懼心理.今年江蘇應(yīng)用題主要考查函數(shù)模型、函數(shù)最值等幾個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，該題的背景涉及公路交通布局，貼近生活，為考生所熟悉，數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)單.從閱卷情況看，學(xué)生的錯(cuò)誤五花八門，形態(tài)各異，本文試圖沿著學(xué)生外在的錯(cuò)誤去探尋它們的形成原因，并給出教學(xué)建議.1試題再現(xiàn)及標(biāo)準(zhǔn)答案

題目某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和25千米.以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=ax2+b（其中a，b為常數(shù)）模型.

（1）求a，b的值；

（2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.

①請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f（t），并寫出其定義域；

②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度.

標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（5，40），（20，2.5）.

將其分別代人y=ax2+b，得a25+b=40，

a400+b=2.5，解得a=1000，

b=0.

（2）①由（1）知，y=1000x2（5≤x≤20），則點(diǎn)Ρ的坐標(biāo)為t，1000t2，

設(shè)在點(diǎn)Ρ處的切線l交x，y軸分別于Α，Β點(diǎn)，y′=-2000x3，

則l的方程為y-1000t2=-2000t3（x-t），由此得A（3t2，0），B（0，3000t2）.

故f（t）=（3t2）2+（3000t2）2=32t2+4×106t4，t∈[5，20].

②設(shè)g（t）=t2+4×106t4，則g′（t）=2t-16×106t5.令g′（t）=0，解得t=102.

當(dāng)t∈（5，102）時(shí)，g′（t）<0，g（t）是減函數(shù)；

當(dāng)t∈（102，20）時(shí)，g′（t）>0，g（t）是增函數(shù)；

從而，當(dāng)t=102時(shí)，函數(shù)g（t）有極小值，也是最小值，所以g（t）min=300，

此時(shí)f（t）min=153.

答：當(dāng)t=102時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為153千米.2錯(cuò)解及錯(cuò)因分析

錯(cuò)因1數(shù)學(xué)閱讀能力差，基本概念模糊，導(dǎo)致題意理解錯(cuò)誤.

第1小題中求a，b的值，很多考生將點(diǎn)M，N的坐標(biāo)寫成（40，5），（2.5，20），從而導(dǎo)致求a，b的值出錯(cuò).錯(cuò)誤的主要原因是學(xué)生對(duì)點(diǎn)坐標(biāo)的概念理解不到位，將題意中的距離與坐標(biāo)混淆.事實(shí)上點(diǎn)M到的l1（即y軸）的距離應(yīng)該是點(diǎn)M橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，點(diǎn)M到l2（即x軸）的距離應(yīng)該是點(diǎn)M縱坐標(biāo)的絕對(duì)值.同樣，點(diǎn)N到l1（即y軸）的距離應(yīng)該是點(diǎn)N橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，點(diǎn)N到l2（即x軸）的距離應(yīng)該是點(diǎn)N縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，即點(diǎn)M，N的坐標(biāo)為（5，40），（20，2.5）.

第2小題第1問中，求公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f（t），首先必須求出切線l的方程，然后再求出其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，從而求出f（t）.解題時(shí)學(xué)生首先要知曉導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為切線的斜率，再結(jié)合切點(diǎn)的坐標(biāo)求出含有參數(shù)t的直線l的方程.

第一種錯(cuò)誤是，學(xué)生對(duì)題干信息“公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t”束手無(wú)策，主要是對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的幾何本質(zhì)認(rèn)識(shí)不清，不知道曲線在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率，所以就不能正確地將描述幾何特征的文字語(yǔ)言“公路l與曲線C相切”轉(zhuǎn)化成可解決的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，無(wú)法求出切線方程.

第二種錯(cuò)誤是，許多考生在求得切線l的方程y-1000t2=-2000t3（x-t）后，直接將y換成f（t），化簡(jiǎn)成f（t）=-2000t3（x-t）+1000t2后就結(jié)束了.誤認(rèn)為含有t的表達(dá)式就是要求的函數(shù)解析式f（t），審題不清，答非所問.

這一類錯(cuò)誤主要由于下面的兩方面原因所致：一是考生對(duì)一些基本的數(shù)學(xué)概念理解不透，從而無(wú)法正確應(yīng)用概念解題，就像一位棋手，如果他沒有搞清楚下棋的規(guī)則，就無(wú)法贏得下棋比賽一樣.二是部分考生的數(shù)學(xué)閱讀能力相對(duì)較差，不能將應(yīng)用題中的文字語(yǔ)言準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言.另外，考生將y直接換成f（t），是將問題中的“直線l的方程”和“線段的長(zhǎng)度”這兩個(gè)簡(jiǎn)單的概念混淆，說(shuō)明沒有養(yǎng)成對(duì)自己的解題過(guò)程進(jìn)行反思和利用自己的結(jié)果對(duì)過(guò)程進(jìn)行推理驗(yàn)證的習(xí)慣.

錯(cuò)因2運(yùn)算基本技能差，導(dǎo)致解題思路正確但過(guò)程錯(cuò)誤.

第1小題，很多學(xué)生在得出方程組a25+b=40

a400+b=2.5后，不能正確地求解方程組，從而失分.第2小題第1問中，在求解切線y-1000t2=-2000t3（x-t）與坐標(biāo)軸交點(diǎn)時(shí)，有部分考生不能正確求解出結(jié)果，從而導(dǎo)致線段長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f（t）不正確而失分.第2小題第2問中，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解f（t）最值時(shí)，部分考生直接對(duì)f（t）=（3t2）2+（3000t2）2進(jìn)行求導(dǎo)，而沒有將根號(hào)下面的式子單獨(dú)拿出處理，從而使求解過(guò)程復(fù)雜易錯(cuò)，再加上對(duì)導(dǎo)數(shù)公式運(yùn)用不熟練，這樣直接求導(dǎo)的不少考生沒有處理出正確的導(dǎo)函數(shù).可見考生缺少必要的化歸意識(shí).事實(shí)上，文科考生也不要求掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.另外，在求解導(dǎo)數(shù)g′（t）=2t-16×106t5的極值點(diǎn)時(shí)，關(guān)于方程g′（t）=2t-16×106t5=0，很多考生求得的結(jié)果錯(cuò)誤，如t=88×106、t=1002等根式運(yùn)算、化簡(jiǎn)錯(cuò)誤導(dǎo)致失分.還有考生沒有化簡(jiǎn)，如t=1068、t=68×106、t=320002、當(dāng)然沒化簡(jiǎn)不會(huì)扣分，這些都說(shuō)明考生的基本運(yùn)算和處理數(shù)據(jù)的能力還有所欠缺.

第2小題第2問有些考生直接應(yīng)用基本不等式g（t）=t2+4×106t4≥2t2·4×106t4，得出錯(cuò)誤的結(jié)論.這主要是因?yàn)榭忌鷽]有考慮到基本不等式應(yīng)用條件中的“定值”.也有很多學(xué)生將f（t）=（3t2）2+（3000t2）2變形為9t28+9t28+9×106t4，對(duì)9t28+9t28+9×106t4應(yīng)用推廣的均值不等式進(jìn)行求解，可能是沒搞清楚補(bǔ)充的推廣式，出現(xiàn)較多的錯(cuò)誤，如9t28+9t28+9×106t4≥39t28·9t28·9×106t4、9t28+9t28+9×106t4≥29t28·9t28·9×106t4、9t28+9t28+9×106t4≥39t28·9t28·9×106t4、9t28+9t28+9×106t4≥239t28·9t28·9×106t4等錯(cuò)誤，推廣的均值不等式a+b+c≥33abc是理科選修內(nèi)容，大部分考生是通過(guò)老師課堂補(bǔ)充而知道的，但似懂非懂，對(duì)式子的形式不是很熟悉，從而導(dǎo)致應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)了各種錯(cuò)誤.可見教師在課堂上補(bǔ)充超出課程標(biāo)準(zhǔn)要求的一些概念公式并非是明智之舉，不僅會(huì)給學(xué)生造成額外的負(fù)擔(dān)，更可怕的是學(xué)生應(yīng)用這些似懂非懂的知識(shí)解題會(huì)犯錯(cuò).3關(guān)于教學(xué)的建議

從整體的答卷情況來(lái)看，大部分考生應(yīng)用題出錯(cuò)，不僅有其主觀原因，也反映出我們教學(xué)中存在的不足.筆者認(rèn)為在日常教學(xué)過(guò)程中關(guān)注以下幾點(diǎn)，有助于提升考生解答應(yīng)用題的得分率.

31加強(qiáng)概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念往往具有較強(qiáng)的概括性，概念性知識(shí)的學(xué)習(xí)主要要求學(xué)生能夠理解概念的內(nèi)涵，從心理學(xué)的角度看就是要求學(xué)生將新的概念知識(shí)與大腦中原有知識(shí)體系建立聯(lián)系.基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，對(duì)概念性知識(shí)的理解是學(xué)生在教師引導(dǎo)下自己主動(dòng)建構(gòu)得來(lái)，不是教師以組織好的最佳方式直接傳輸給學(xué)生.概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，概念本身應(yīng)該是概念課的思維結(jié)果，是學(xué)生要掌握概念，所以概念的生成要由學(xué)生自己完成，不能由教師直接呈現(xiàn).否則概念仍然是老師的而不是學(xué)生的.教師需要做的事就是設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)學(xué)生思考概念的本質(zhì).明了概念提出的必要性和合理性.設(shè)法讓學(xué)生切實(shí)感知這個(gè)概念是我們已有知識(shí)系統(tǒng)的必要完善，從而使學(xué)生新學(xué)習(xí)的概念可以自然融入已有知識(shí)系統(tǒng).習(xí)得的知識(shí)只有融入到學(xué)生已有的知識(shí)體系中才能長(zhǎng)久保持和適時(shí)提取應(yīng)用.需要指出的是課堂必須給學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)概念本質(zhì)、生成概念的時(shí)間，我們教師不必也不能人為地加速學(xué)生概念生成過(guò)程.可以說(shuō)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)一大部分是概念的教學(xué)，學(xué)生如果吃透概念的本質(zhì)，搭建好概念框架，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)必然會(huì)游刃有余.

3.2提升學(xué)生的基本能力

應(yīng)用題對(duì)學(xué)生的閱讀能力、探究能力、概括能力、運(yùn)算能力等都提出了較高的要求.在這些基本能力中閱讀能力是求解應(yīng)用題的基礎(chǔ)，也是我們學(xué)生特別欠缺的.所以，在日常的應(yīng)用題教學(xué)中要特別注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力.應(yīng)用題來(lái)自生活中的一些實(shí)際問題，而我們學(xué)生社會(huì)閱歷尚淺，對(duì)不少應(yīng)用題的背景難以理解，這就造成了他們無(wú)法讀懂題目，更談不上將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)表達(dá)式.因此，教師在應(yīng)用題教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)問題背景的分析梳理.另外，從本題的計(jì)算過(guò)程來(lái)看，很多考生的計(jì)算能力比較薄弱，這就要求我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中加強(qiáng)對(duì)復(fù)雜的數(shù)值運(yùn)算及含參數(shù)表達(dá)式的運(yùn)算練習(xí)，在練習(xí)中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、提高運(yùn)算準(zhǔn)確性，只有這樣學(xué)生才能在考場(chǎng)上穩(wěn)操勝券.

3.3注意解題規(guī)范

高考閱卷評(píng)分實(shí)行“按點(diǎn)評(píng)分”，考生答題時(shí)要特別注意表達(dá)準(zhǔn)確、考慮周密、書寫規(guī)范，關(guān)鍵步驟清晰.這就要求我們教師在講解題目的過(guò)程中，要注重板書規(guī)范，表達(dá)科學(xué)準(zhǔn)確.強(qiáng)調(diào)分步求解，避免因“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”而失分，要給出適當(dāng)?shù)奈淖终f(shuō)明，不能只列幾個(gè)式子或單純的結(jié)論，讓學(xué)生清楚需要寫出哪些必要的證明過(guò)程與演算過(guò)程，其中每一步驟按照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)都占多少分值，使解題步驟繁簡(jiǎn)適當(dāng)，在爭(zhēng)取更多答題時(shí)間的同時(shí)減少不必要的失分，從而有效提高數(shù)學(xué)成績(jī).