梅涅勞斯（Menelaus）定理的十種證明

楊春波

梅涅勞斯定理是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要作用，其具體內(nèi)容為：設(shè)直線l分別與△ABC的三邊（或邊的延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D、E、F，則有AFFB·BDDC·CEEA=1.

直線l與三角形的三邊相交，有兩種情形：（1）其中兩個(gè)交點(diǎn)在邊上，一個(gè)交點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，如圖1；（2）三個(gè)交點(diǎn)均在邊的延長(zhǎng)線上，如圖2.圖1圖2

梅涅勞斯定理在處理直線形中線段長(zhǎng)度比例的計(jì)算時(shí)，尤為快捷.值得一提的是，其逆定理也成立，可作為三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問(wèn)題的判定方法.下面給出梅涅勞斯定理的十種精彩證明，證明中僅以圖1作為示例.

證法1平行線法

如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CG∥DF交AB于點(diǎn)G，則BDDC=BFFG，CEEA=GFFA，故

AFFB·BDDC·CEEA=AFFB·BFFG·GFFA=1.

圖3圖4

證法2共邊定理法

如圖4，由共邊定理知AFFB·BDDC·CEEA=AEDBED·BEDCED·CEDAED=1.

證法3共角定理法

如圖1，由共角定理知

△AEF△BFD=AF·EFFB·DF，BFDCDE=BD·DFDC·DE，CDEAEF=DE·CEEA·EF，

三式相乘得1=AF·EFFB·DF·BD·DFDC·DE·DE·CEEA·EF=AFFB·BDDC·CEEA，得證.

注共邊定理和共角定理源自于張景中院士的面積法[1]，下面是定理的具體內(nèi)容.

共邊定理若直線AB和PQ相交于點(diǎn)M（如圖5，有4種情形），則有PABQAB=PMQM.

圖5圖6

共角定理如圖6，若∠ABC和∠XYZ相等或互補(bǔ)，則有ABCXYZ=AB·BCXY·YZ.

證法4輔助平面法

如圖7，過(guò)截線l作平面α，設(shè)頂點(diǎn)A、B、C到該平面的距離分別為dA、dB、dC，則有

AFFB=dAdB，BDDC=dBdC，CEEA=dCdA，

三式相乘即得證.

圖7圖8

該證明曾在網(wǎng)上被大量轉(zhuǎn)載，被稱(chēng)為令人感動(dòng)的證明.文[2]中也收錄了該證明，并稱(chēng)“上面這種方法恐怕是最帥的一種了.它解決了其他證明方法缺乏對(duì)稱(chēng)性的問(wèn)題，完美展示了幾何命題中的對(duì)稱(chēng)之美”.其實(shí)，何必要在空間中作一個(gè)輔助平面呢，且看單墫先生在文[3]中給出的精彩證明.

證法5垂線法

如圖8，分別自A、B、C向l作垂線，設(shè)垂線段的長(zhǎng)度分別為p、q、r，則

AFFB=pq，BDDC=qr，CEEA=rp，

三式相乘即得證.

證法6正弦定理法

在△AEF、△BDF、△CDE中，由正弦定理得

AFFB·BDDC·CEEA=AFEA·BDFB·CEDC=sin∠AEFsin∠AFE·sin∠BFDsin∠FDB·sin∠EDCsin∠CED，

因∠AEF=∠CED，∠BFD+∠AFE=180°，∠EDC=∠FDB，故上式右端乘積為1，得證.

證法7向量法

設(shè)AF=λFB，BD=μCD，CE=γEA，即證λμγ=1.

DE=DC+CE=1μ-1CB+γγ+1CA=1μ-1AB-（1μ-1+γγ+1）AC；

EF=AF-AE=λλ+1AB-1γ+1AC.

由D、E、F三點(diǎn)共線，知DE與EF共線，故1μ-1·1γ+1=λλ+1（1μ-1+γγ+1），整理即λμγ=1.

證法8坐標(biāo)法

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且AF=λFB，BD=μDC，CE=γEA，則

F（x1+λx21+λ，y1+λy21+λ），D（x2+μx31+μ，y2+μy31+μ），E（x3+γx11+γ，y3+γy11+γ）.

設(shè)直線l的方程為ax+by+c=0，代入點(diǎn)F的坐標(biāo)，即

ax1+λx21+λ+by1+λy21+λ+c=0，

解得λ=-ax1+by1+cax2+by2+c，同理有

μ=-ax2+by2+cax3+by3+c，γ=-ax3+by3+cax1+by1+c，于是λμγ=-1，即AFFB·BDDC·CEEA=1.

這樣的坐標(biāo)法并沒(méi)有建立坐標(biāo)系，而是直接設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)算過(guò)程對(duì)稱(chēng)、簡(jiǎn)潔！

證法9質(zhì)點(diǎn)法[4]

設(shè)（1+r）F=A+rB，（1+s）E=A+sC，兩式相減消去點(diǎn)A得

（1+r）F-（1+s）E=rB-sC，

此式表明FE與BC交于一點(diǎn)，即（r-s）D=rB-sC，于是AFFB·BDDC·CEEA=r·sr·1s=1.

質(zhì)點(diǎn)法直接讓幾何學(xué)里最基本的元素——點(diǎn)參與運(yùn)算，稍微修改就可得向量證法：在△ABC所在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，設(shè)AF=rFB，AE=sEC，則有

（1+r）OF=OA+rOB，（1+s）OE=OA+sOC，

兩式相減得（1+r）OF-（1+s）OE=rOB-sOC，又FE與BC交于點(diǎn)D，故有

rOB-sOC=（r-s）OD，

則BD=srCD，于是AFFB·BDDC·CEEA=r·sr·1s=1.

以上過(guò)程中點(diǎn)O是任意的，并不起實(shí)質(zhì)性作用，完全可以省略不寫(xiě)，用一個(gè)字母表示向量，這就是質(zhì)點(diǎn)幾何了.質(zhì)點(diǎn)法的最新研究成果是建立了能處理希爾伯特交點(diǎn)類(lèi)命題的仿射幾何機(jī)器證明算法MPM（Mass-Point-Method），并編寫(xiě)了Maple程序，驗(yàn)算了幾百個(gè)非平凡命題，不僅效率高，程序自動(dòng)生成的證明也有可讀性，這一工作是廣州大學(xué)鄒宇博士在張景中院士的指導(dǎo)下完成的.最后給出梅涅勞斯定理的機(jī)器證明，算作第十種證法.

證法10機(jī)器證明Points（A，B，C）；Mratio（D，B，C，r1）；Mratio（E，C，A，r2）；Inter（F，D，E，A，B）；ratioproduct3（A，F(xiàn)，F(xiàn)，B，B，D，D，C，C，E，E，A）A，B，C（1+r1）D=B+r1 C（1+r2）E=C+r2 AF=（A B）∩（D E）D-r1（1+r2）E[]1+r1=-r1r2 A1+r1+B1+r1F=r1r2 A-1+r1 r2-B[]-1+r1 r2A-F=-F-B[]r1 r2B-D=r1（D-C）C-E=r2（E-A）[AF][BD][CE][][FB][DC][EA]=-1

參考文獻(xiàn)

[1]彭翕成，張景中.仁者無(wú)敵面積法[M].上海：上海教育出版社，20116.

[2]顧森.思考的樂(lè)趣：Matrix67數(shù)學(xué)筆記[M].北京：人民郵電出版社，20127.

[3]單墫.平面幾何中的小花[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，20113.

[4]彭翕成.向量、復(fù)數(shù)與質(zhì)點(diǎn)[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，20145.

[5]張景中，彭翕成.繞來(lái)繞去的向量法[M].北京：科學(xué)出版社，20109.